從導(dǎo)數(shù)與定積分部分看高中數(shù)學(xué)教學(xué)

周受萍

摘 要： 基于對(duì)新型人才培養(yǎng)理念，高中數(shù)學(xué)老師，要注重學(xué)思結(jié)合，注重知行統(tǒng)一，注重因材施教，強(qiáng)調(diào)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)，不要采用題海方式，因?yàn)楸戎R(shí)更重要的是能力及滲透在能力中的解題策略，只有注重能力的培養(yǎng)才是真正的培養(yǎng)新型人才的途徑.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 概念 極限 微積分

十年前的新課程改革就提出我國(guó)數(shù)學(xué)教育存在的問(wèn)題要正視，數(shù)學(xué)教學(xué)不自然，強(qiáng)加于學(xué)生，缺乏問(wèn)題意識(shí)，重結(jié)果輕過(guò)程，重解題技能技巧普遍性思考方法的概括，輕能力的培養(yǎng)，論層次的內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多，獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不夠高，講邏輯而不講思想，等等，造成的后果是學(xué)生講過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講過(guò)的一定不會(huì).盡管通過(guò)種種嘗試，加強(qiáng)概念的理解，注重三維目標(biāo)的構(gòu)建，以及學(xué)生基本技能的培養(yǎng)，可高考看分?jǐn)?shù)的杠依然在那，因此為提高學(xué)生的高考分?jǐn)?shù)，題海戰(zhàn)術(shù)依然是首選，不離不棄。

2016年3月我有幸參加了中國(guó)大學(xué)先修課程《微積分》的培訓(xùn)，聽(tīng)了東北師范大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)教授的講座，我感受頗深：有些學(xué)生高中數(shù)學(xué)考得非常好，進(jìn)了大學(xué)卻一塌糊涂.用定理結(jié)論都會(huì)，用定理手法證明的不會(huì).高校數(shù)學(xué)系、物理系喜歡學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的，而不一定要高考成績(jī)高的，甚至高考數(shù)學(xué)140多分的，在高校老師看來(lái)是否有能力他們第一節(jié)課就見(jiàn)分曉.

的確，高中數(shù)學(xué)老師為了學(xué)生在高考中盡可能多地得到分?jǐn)?shù)，將題目歸納為類(lèi)型題，什么類(lèi)型什么類(lèi)型講得很詳細(xì)，講完學(xué)生反復(fù)練習(xí)，練到差不多就可以進(jìn)去考試，只要聽(tīng)話(huà)又勤奮的學(xué)生總能考個(gè)百來(lái)分，可是這樣的學(xué)生將來(lái)進(jìn)入大學(xué)或是走向社會(huì)又會(huì)有多少作為，我們的確擔(dān)心.而大學(xué)老師則從不會(huì)歸納什么類(lèi)型，還不會(huì)講太細(xì)，太細(xì)學(xué)生就沒(méi)有自己的思考空間了，這能說(shuō)大學(xué)老師就不夠盡責(zé)嗎？這值得我們思考.我認(rèn)為可以借鑒美國(guó)中學(xué)成功經(jīng)驗(yàn)放手讓我們的學(xué)生去做、去探索，這樣才能適應(yīng)未來(lái)新型的社會(huì)需求.

那么如何培養(yǎng)新型的高中生，適應(yīng)現(xiàn)代化科技的發(fā)展？根據(jù)高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，要注重學(xué)思結(jié)合，注重知行統(tǒng)一，注重因材施教.我就高二數(shù)學(xué)人教A版第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用談?wù)効捶?

1.突出實(shí)際背景培養(yǎng)認(rèn)知能力

教材直接通過(guò)實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例──速度﹑膨脹率﹑效率﹑增長(zhǎng)率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)概念，在對(duì)實(shí)際背景問(wèn)題研究的基礎(chǔ)上，抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念.而教材對(duì)微積分的定位，考慮到學(xué)生的實(shí)際水平，略去函數(shù)的連續(xù)性和極限.但由于教學(xué)實(shí)際，我認(rèn)為在授課之前應(yīng)用適當(dāng)?shù)男问阶寣W(xué)生感知函數(shù)的連續(xù)性和極限.例如：如果函數(shù)是連續(xù)的，那么它的圖像是一條連綿不斷的曲線；在一定條件下極限與某個(gè)常數(shù)A的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，可以小于預(yù)先給定的任意正數(shù)，可以通過(guò)表格定性分析和定量分析，把“無(wú)限趨近”給予確切的描述，或者舉例說(shuō)明求函數(shù)的極限，這樣學(xué)生就不會(huì)在諸如“的求法”，又如“a≤，x∈恒成立，求a的取值范圍”等問(wèn)題上存在的困惑.

教材用極限理論闡述導(dǎo)數(shù)定義之后，給出了幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，學(xué)生在此時(shí)會(huì)長(zhǎng)嘆：導(dǎo)數(shù)定義好麻煩，有公式真好。實(shí)際上重視該課程的人文性，而不過(guò)于強(qiáng)調(diào)其工具性，重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，不是簡(jiǎn)單的計(jì)算，而學(xué)生具有一定的演繹推理能力才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的.舉例說(shuō)明：

可見(jiàn)理解了導(dǎo)數(shù)的定義就能對(duì)此類(lèi)運(yùn)用自如.

2.關(guān)注知識(shí)的拓展應(yīng)用

2016年福建省回歸全國(guó)高考之后，強(qiáng)調(diào)注意二階導(dǎo)數(shù)的拓展應(yīng)用，雖然高中數(shù)學(xué)不涉及二階導(dǎo)數(shù)的提法和應(yīng)用，但將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示為新的函數(shù)，并繼續(xù)研究函數(shù)的性質(zhì)的試題比比皆是，尤其是課標(biāo)卷.因此有必要關(guān)注二階導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的拓展應(yīng)用，留意函數(shù)凸性的等價(jià)性，但要注意過(guò)程性的學(xué)習(xí)，而不是定理的記憶.

雖然福建省考試說(shuō)明的修訂與全國(guó)統(tǒng)一考試大綱一致，我們研讀的結(jié)果也發(fā)現(xiàn)沒(méi)有太大差異，但具體實(shí)施時(shí)，有些知識(shí)內(nèi)容的考查可能超出福建的要求，造成顛覆性失誤.需要引起我們的注意和重視，比如二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、反函數(shù)的概念等.以我之見(jiàn)，一些定理性質(zhì)只要遇到都是可以適時(shí)增加的.

如定義：設(shè)函數(shù)在f（x）區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x，x恒有f，那么稱(chēng)f（x）在I上的圖形是（向下）凹的；如果恒有f那么稱(chēng)f（x）在I上的圖形是（向上）凸的.

定理：設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）處具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

（1）若在（a，b）內(nèi)f″（x）>0內(nèi)時(shí)，則f（x）在[a，b]上的圖形是凹的；

（2）若在（a，b）內(nèi)f″（x）<0時(shí)，則f（x）在[a，b]上的圖形是凸的.

定理、結(jié)論很多人都知道，都說(shuō)得出來(lái)，用文字?jǐn)⑹鲆矝](méi)問(wèn)題.很直觀的東西用數(shù)學(xué)語(yǔ)言怎么描述出來(lái)就難了，要聯(lián)想到應(yīng)用、證明就更難了.特別強(qiáng)調(diào)：鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)得深一些、廣一些，不斷提升學(xué)科素養(yǎng)，養(yǎng)成學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)能力，為實(shí)現(xiàn)自身理想奠定扎實(shí)基礎(chǔ).以下例2的證明就需要考慮二階導(dǎo)數(shù)的拓展應(yīng)用.

例2.（2015年課標(biāo)Ⅱ卷·理21）設(shè)函數(shù)f（x）=e+x-mx

（1）證明f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意|≤e-1，求m的取值范圍.

再如例3，有參加過(guò)競(jìng)賽培訓(xùn)的學(xué)生在處理第二小題的時(shí)候，用了大學(xué)的知識(shí)拉格朗日中值定理巧妙地構(gòu)造并完美地證明出來(lái)，顯然比用導(dǎo)數(shù)顯得輕松得多，然而我們不要表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)學(xué)生有這樣的能力嗎？

例3.（2016年福建省4月質(zhì)檢·理21）已知函數(shù)f（x）=ax-ln（x+1），g（x）=e-x-1，曲線y=f（x）與y=g（x）在原點(diǎn)處的切線相同.

（1）求f（x）單調(diào)區(qū)間；

（2）若x≥0時(shí)，g（x）≥kf（x），求k的取值范圍.

3.注重概念的理解

比如定積分概念的教學(xué)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：定積分是一種“和”的極限；定積分的幾何意義.若f（x）≥0，則定積分？蘩f（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積S，即s=f（x）dx=-s.當(dāng)f（x）在區(qū)間[a，b]上有正有負(fù)時(shí)，積分？蘩

例4.一輛汽車(chē)在筆直的公路上變速行駛，設(shè)汽車(chē)在時(shí)刻t的速度為v（t）=2t-3，（0≤t≤2）（t的單位：h，v的單位：km/h），則這輛車(chē)在2小時(shí)內(nèi)行駛的路程？搖 ？搖km.

我們不幸地發(fā)現(xiàn)高中教學(xué)定積分部分基本上成了一種微積分基本定理的運(yùn)算，只追求怎樣用這個(gè)定理，卻忽視了定理本身的內(nèi)涵，而實(shí)際上定理本身的內(nèi)涵更重要.微積分作為一個(gè)強(qiáng)大的工具，可以幫助我們解決一些用初等數(shù)學(xué)思想處理比較繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.大學(xué)老師說(shuō)過(guò)這樣一句話(huà)：可微的力量比可導(dǎo)的力量強(qiáng)大得多，千萬(wàn)別誤導(dǎo)了學(xué)生.

顯然微積分學(xué)在數(shù)學(xué)以至整個(gè)自然科學(xué)中占有重要地位，微積分的思想方法不僅是學(xué)生以后學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力有很大的促進(jìn)作用.其中導(dǎo)數(shù)和積分是微積分學(xué)中最重要的兩個(gè)概念，它們是研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具.如果中學(xué)數(shù)學(xué)還一味地追求怎么用這個(gè)定理，怎么套入公式運(yùn)算，而忽視了定理本身的內(nèi)涵，一則對(duì)微積分強(qiáng)大的思想領(lǐng)域造成誤解；二則對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有很大的局限性.

是的，基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)理念，我們作為高中數(shù)學(xué)老師，要注重學(xué)思結(jié)合，注重知行統(tǒng)一，注重因材施教，強(qiáng)調(diào)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)，不要采用題海方式，要知道比知識(shí)更重要的是能力及滲透在能力中的解題策略，只有注重能力的培養(yǎng)才是真正培養(yǎng)新型人才的途徑.

參考文獻(xiàn)：

[1]中國(guó)大學(xué)先修課程—微積分.