在直觀想象素養(yǎng)導(dǎo)向下對(duì)“弦長(zhǎng)公式”的巧證和教學(xué)建議

廣東省廣州市南沙東涌中學(xué)(511453)江文釬

1 問題的提出

1.1 案例分析

高二理科的一道月考題:(2013 年浙江數(shù)學(xué)(文科)22 題)

已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1),

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn).若直線AO、BO分別交直線l:y=x-2于M、N兩點(diǎn),求|MN|的最小值.

(1)略;

這樣|MN|的表達(dá)式就較為容易得到,接下來(lái)就可以運(yùn)用基本不等式進(jìn)行最小值的求解了.

學(xué)生為什么想不到運(yùn)用“弦長(zhǎng)公式”來(lái)解決這一問題呢?經(jīng)過調(diào)查詢問,得知學(xué)生都認(rèn)為|MN|不是“弦長(zhǎng)”,只是線段,故沒有想到“弦長(zhǎng)”公式.那什么才是“弦長(zhǎng)”? 學(xué)生說(shuō):當(dāng)直線與曲線相交于兩點(diǎn),所截得的線段才叫“弦長(zhǎng)”.學(xué)生補(bǔ)充說(shuō):也就是弦長(zhǎng)的兩個(gè)端點(diǎn)是直線與曲線相交得到的.學(xué)生為什么會(huì)這樣“說(shuō)”呢?“弦長(zhǎng)”的本質(zhì)就是線段,學(xué)生為什么產(chǎn)生這樣的誤解?

1.2 問題的“禍根”分析

弦長(zhǎng)公式是在學(xué)習(xí)選修2-1(或者1-1)的直線與圓錐曲線時(shí)提出的.但人教版的教材中只有求弦長(zhǎng)的問題,而沒有給出弦長(zhǎng)公式,甚至在教材的第60 頁(yè)例6 中只給出了兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)解決求弦長(zhǎng)的問題.那么“弦長(zhǎng)公式”是怎樣來(lái)得?

在知網(wǎng)上進(jìn)行搜索,有大量的文章對(duì)“弦長(zhǎng)公式”進(jìn)行了推導(dǎo)證明.無(wú)論是鐘德光和關(guān)麗娜兩位老師在2017 年第二期的《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》中發(fā)表的“橢圓一般弦長(zhǎng)公式的妙推及應(yīng)用”,還是鄒成全老師在2014 年3 月上第485 期(高中)《中學(xué)生數(shù)學(xué)》中發(fā)表的“由習(xí)題談弦長(zhǎng)公式”,都存在著(或者說(shuō)是我們大部分老師在授課中存在的)兩個(gè)導(dǎo)致學(xué)生誤解“弦長(zhǎng)公式”的禍根:

第一,設(shè)定的前提條件:“直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)”設(shè)“A(x1,y1),B(x2,y2)”,這樣的條件設(shè)定把學(xué)生的思維固化了:都認(rèn)為這兩個(gè)點(diǎn)必須是由直線l與曲線C相交得到的;

第二,無(wú)論是采用“利用直線方程代入消元”,還是“仿射變換”等方法來(lái)證明的過程中都離開了“形”,更多的是通過“數(shù)”的運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)證明.這樣的推導(dǎo)過程讓學(xué)生脫離了“弦長(zhǎng)”的本質(zhì)——線段,加深了學(xué)生的誤解“兩個(gè)點(diǎn)必須是由直線l與曲線C相交得到”.

采用同一錨桿在干燥的實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下分別對(duì)金屬托盤與金屬托盤+木墊板進(jìn)行轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)化試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果見表1，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果繪制預(yù)緊轉(zhuǎn)矩-預(yù)緊力轉(zhuǎn)化關(guān)系曲線，如圖6所示。

所以這個(gè)“弦長(zhǎng)公式”推導(dǎo)過程,就是學(xué)生產(chǎn)生誤區(qū)的地方,下面在直觀想象素養(yǎng)導(dǎo)向下對(duì)“弦長(zhǎng)公式”再證明,讓公式回歸其本質(zhì),讓學(xué)生能靈活運(yùn)用公式解決問題.

2 在直觀想象素養(yǎng)導(dǎo)向下對(duì)“弦長(zhǎng)公式”的巧推

2.1 直觀想象核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》指出:直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).其主要包括:借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》還指出:通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能提高數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情景中感悟事物的本質(zhì).面對(duì)問題,要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)利用圖形去描述和分析問題,借助幾何直觀把復(fù)雜數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化、形象化.以“形”的直觀呈現(xiàn)問題的各種信息,借助“形”的直觀理解抽象的“數(shù)”,依托“形”的直觀產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系及事物本質(zhì)屬性的感知,幾何直觀有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué),尋求解決問題的思路.

2.2 “原”起兩點(diǎn)間的距離公式

“弦長(zhǎng)公式”的各種推導(dǎo)方法,都離開不了兩點(diǎn)間的距離公式,也就是說(shuō)“弦長(zhǎng)公式”的母體就是兩點(diǎn)間的距離公式,“弦長(zhǎng)”就是兩點(diǎn)間的距離.

平面上兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)過程就是數(shù)形結(jié)合的完美過程,充分體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).

2.3 巧推“弦長(zhǎng)公式”,回歸本質(zhì)問題

圖(1)

圖(2)

我們變量的角度來(lái)再認(rèn)識(shí)“弦長(zhǎng)公式”,它只是把兩點(diǎn)間的距離公式由四個(gè)變量x1,x2,y1,y2來(lái)表示,轉(zhuǎn)化為由斜率、兩個(gè)點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)三個(gè)變量來(lái)表示的一個(gè)過程.

下面借助兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)過程中構(gòu)建的這個(gè)直角三角形,“直觀”再證明“弦長(zhǎng)公式”.

這樣的推導(dǎo)證明,不僅能讓學(xué)生從舊知的基礎(chǔ)構(gòu)建新知,更能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“弦長(zhǎng)公式”的本質(zhì)就是兩點(diǎn)間的距離公式的另一種的表達(dá)形式.推導(dǎo)的過程滲透了“直觀想象”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),以“形”的直觀呈現(xiàn)問題的各種信息,借助“形”的直觀理解抽象的“數(shù)”,依托“形”的直觀產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系及事物本質(zhì)屬性的感知,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì),并尋求解決問題的思路.

3 教學(xué)建議

在“弦長(zhǎng)公式”推導(dǎo)的課堂上,我們應(yīng)該抓住“弦長(zhǎng)公式”的本質(zhì),它只是兩點(diǎn)間的距離公式由四個(gè)變量x1,x2,y1,y2來(lái)表示,轉(zhuǎn)化為由斜率、兩個(gè)點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)三個(gè)變量來(lái)表示的另一種表達(dá)形式.我們要認(rèn)真研讀教材,教材沒有給出“弦長(zhǎng)公式”的說(shuō)法,我們不應(yīng)濫用這一名稱和它常見的推導(dǎo)方法進(jìn)而固化了學(xué)生的思維,產(chǎn)生了誤解,給解題帶來(lái)困惑.

另外,我們?cè)谕茖?dǎo)出新的兩點(diǎn)間的距離公式后,要設(shè)計(jì)好相關(guān)系統(tǒng)的訓(xùn)練題目,讓學(xué)生對(duì)產(chǎn)生兩點(diǎn)的不同條件進(jìn)行歸納認(rèn)識(shí),從而能靈活的運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式.

例如下面的例題:

例1兩點(diǎn)都在圓錐曲線上,如人教版選修2-1 教材第48 頁(yè)練習(xí)第7題

例2僅有一點(diǎn)在圓錐曲線上,如2012 年四川數(shù)學(xué)(理科)第21 題.如圖,動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0)構(gòu)成ΔMAB,且∠MBA=2∠MAB,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

(Ⅰ)求軌跡C的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線y=-2x+m與y軸交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|＜|PR|,求的取值范圍.

例3兩點(diǎn)都不在圓錐曲線上,2013 年浙江數(shù)學(xué)(文科)第22 題.已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1).

(Ⅰ)求拋物線C的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn).若直線AO、BO分別交直線l:y=x-2于M、N兩點(diǎn),求|MN|的最小值.