數(shù)列型不等式的一般性求解策略

廣東省佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院(528000)李靜依

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000)吳統(tǒng)勝

數(shù)列型不等式的放縮問(wèn)題常作為高考的中檔題或壓軸題,也是名校自主招生必考題,究其原因在于其不僅能很好地考查學(xué)生邏輯推理能力和創(chuàng)新能力,而且級(jí)數(shù)不等式的處理是高等數(shù)學(xué)特別重要的一部分,它是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)跨越的基礎(chǔ).因此,研究數(shù)列型不等式的放縮問(wèn)題顯得很有必要.數(shù)列型不等式放縮的核心是數(shù)列的極限思想.新高考全國(guó)卷常將數(shù)列作為中檔題考查,常涉及數(shù)列的求通項(xiàng)求和及數(shù)列型不等式的證明,浙江等好些省份還常將數(shù)列型不等式的證明作為壓軸題來(lái)考查.本文將結(jié)合高考題及高考模擬題較系統(tǒng)地舉例說(shuō)明數(shù)列型不等式的一般性求解策略,對(duì)證明中涉及的常見(jiàn)放縮方法也進(jìn)行了總結(jié)歸納,得到了一些易于操作的一般性、“套路化”的放縮策略和方法,希望對(duì)考生在解決這類問(wèn)題時(shí)有所幫助.

1 一般性求解策略

策略1 先裂項(xiàng)或放縮為裂項(xiàng)相消求和證明

(1)直接裂項(xiàng)求和證明

(2)放縮為裂項(xiàng)相消求和化簡(jiǎn)證明

評(píng)析本例將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消求和再化簡(jiǎn)證明,但需注意的是此類題目有些是將通項(xiàng)直接裂項(xiàng)相消,再求和化簡(jiǎn)證明,不需要將通項(xiàng)放縮,如前述例1,故要結(jié)合已知條件及要證結(jié)論進(jìn)行判斷并選擇適當(dāng)?shù)那蠼獠呗?

策略2 放縮為等比數(shù)列求和化簡(jiǎn)證明

例4(2012 年高考廣東省理科卷第21 題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*),且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

評(píng)析(方法提煉)放縮的目的是為了化簡(jiǎn)求和,本例中證法2 是先放縮為等比數(shù)列,再求和化簡(jiǎn)證明,但不易想到該放縮方法.證法1 則是通過(guò)分離出非負(fù)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行放縮,放縮為等比數(shù)列求和化簡(jiǎn)證明,此放縮方法可操作性強(qiáng),可實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)放縮,是通性通法.一般地,形如(a＞b＞1,an-bn＞c＞0)可放縮為

顯然放得大了些,稍作調(diào)整即可得如下證明:

證法2分離出非負(fù)數(shù)項(xiàng),放縮為等比數(shù)列求和化簡(jiǎn)證明

策略3 利用數(shù)學(xué)歸納法、不等式性質(zhì)或基本不等式放縮證明

例6(2009 年高考山東省理科卷第20 題)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b＞0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.

即可得q=.由此便可實(shí)現(xiàn)快速精準(zhǔn)放縮,得到該類數(shù)列不等式的程序化、套路化的證明方法,當(dāng)然也要注意是從第1 項(xiàng)還是從第2 項(xiàng)開(kāi)始放縮等細(xì)節(jié)問(wèn)題.若考生平時(shí)沒(méi)有掌握基本的放縮方法和技巧,是不可能在考試中快速解決該類數(shù)列不等式題型,從而導(dǎo)致在基礎(chǔ)題及中檔題失分,故在高考復(fù)習(xí)備考中要注意覆蓋好數(shù)列型不等式的基本的放縮方法和技巧.

所以,當(dāng)n=k+1 時(shí),不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

證法2利用不等式性質(zhì)放縮證明