基于現(xiàn)狀設(shè)計問題,培養(yǎng)學生數(shù)學思維
——以函數(shù)概念為例

江蘇省江浦高級中學文昌校區(qū)(211800)於有海

“函數(shù)概念”是蘇教版《高中數(shù)學必修第一冊》第五章的章起課,新版教科書刪去了老版中的“映射”一節(jié).這樣,以映射作為基礎(chǔ)來定義函數(shù)的概念就不再適用.對于這種新情況,我們的課堂教學該如何開展? 筆者通過學習章建躍博士的“三個理解”,并結(jié)合“函數(shù)概念”的課堂教學實踐,收獲的心得是:根據(jù)學生認知、思維的發(fā)展現(xiàn)狀,為他們提供有關(guān)聯(lián)的學習情境、設(shè)計合適的問題,使他們頭腦中已有的認知結(jié)構(gòu)與新知識進行相互作用,并通過學生積極的思維活動對新知識進行理解,將新知識同化到已有的認知結(jié)構(gòu)中,或改變已有的認知結(jié)構(gòu)以順應(yīng)新的知識,從而形成新的認知結(jié)構(gòu)[1].

1 學生的現(xiàn)狀

1.1 函數(shù)知識現(xiàn)狀

函數(shù)概念是中學數(shù)學的核心概念,對于高一學生來講,通過初中短暫的學習,初步接納了“變量說”的描述性函數(shù)概念.了解了函數(shù)的三種表示方法;了解了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等具體函數(shù)模型,并借助它們的圖象研究了這些函數(shù)的一些簡單性質(zhì);沒有涉及到因兩個變量的取值范圍不同,會產(chǎn)生不同函數(shù)的問題;初中所學的函數(shù)知識,與代數(shù)式、方程等聯(lián)系緊密,多數(shù)學生認為函數(shù)就是含有x和y的等式,而對“變量關(guān)系”、“對應(yīng)關(guān)系”等涉及函數(shù)本質(zhì)的內(nèi)容涉及較少.

1.2 思維發(fā)展現(xiàn)狀

初中學生的認知發(fā)展已實現(xiàn)由具體運算向形式運算過渡,但并未成熟,具體運算思維仍在繼續(xù)發(fā)揮作用.當學生進入高中學習,進行更高級別的抽象思維活動時,仍要借助于具體運算思維甚至是前運算思維,即已有活動經(jīng)驗對他們學習新的知識仍是必不可少的,學生需要在教師的引導下,經(jīng)過有目的地、有規(guī)則地、長期性地訓練,才能真正有效的發(fā)展形式運算,培養(yǎng)抽象思維,完善認知結(jié)構(gòu),提升思維水平,為進一步學習打好基礎(chǔ).

2 基于學生現(xiàn)狀設(shè)計問題的案例

以函數(shù)概念的課堂教學為例

問題1初中時學過哪些函數(shù)? 請例舉幾個.

高中為什么還要學函數(shù)概念:初中時,學生已經(jīng)接觸到函數(shù),對它有了一定地感性認識,但對函數(shù)的概念已經(jīng)模糊,對函數(shù)的認識僅僅局限于幾個常見的含有x和y關(guān)系的函數(shù)模型,約束了函數(shù)體系的形成,以及對函數(shù)性質(zhì)研究的進一步開展.問題1 的設(shè)計是基于學生知識的現(xiàn)狀,既可以避開回顧舊知的困難,又可以引起認知的沖突,為進一步建模和抽象埋下伏筆.下面是三個實例:

(1)一物體從靜止開始下落,下落的距離y(單位:m)與下落時間x(單位:s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2.

(2)GDP 即英文Gross Domestic Product 的縮寫,也就是國內(nèi)生產(chǎn)總值.它是宏觀經(jīng)濟中最受關(guān)注的經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)字,因為它被認為是衡量國民經(jīng)濟發(fā)展情況最重要的一個指標.

表1 某市2012 年——2020 年GDP(億元)

(3)圖1 為某市一天24 小時內(nèi)的氣溫變化.

問題2三個實例是函數(shù)嗎? 請給出理由.

圖1

找到高中函數(shù)概念的生長點:問題2 結(jié)合學生認知基礎(chǔ)和認知特點,以三個有真實背景的實例作為載體,提出相應(yīng)問題.先通過,引導學生運用初中函數(shù)的概念判斷實例中的兩個變量為函數(shù)關(guān)系,體會函數(shù)的本質(zhì).再通過,引發(fā)學生感知用集合表示變量取值范圍的特點,這也是高中函數(shù)概念的生長點.再通過③,促使學生體會一個函數(shù)關(guān)系可以有不同的表達方式;體會并不是所有的函數(shù)都可以用解析式來表達,與學生原有的認知產(chǎn)生沖突(高中函數(shù)概念產(chǎn)生的必要性);體會用表格和圖象表達對應(yīng)關(guān)系的不可替代性,這也為后面歸納用字母f表示對應(yīng)關(guān)系埋下伏筆.最后通過④引領(lǐng)學生嘗試用集合與對應(yīng)的語言清晰地表達函數(shù),進而完成數(shù)學抽象的準備工作.

問題3①對問題2 ④進行歸納,你發(fā)現(xiàn)變量之間的函數(shù)關(guān)系有哪些共同特點?

②將由實例歸納出的共同屬性與初中函數(shù)概念進行對比,你發(fā)現(xiàn)哪些變化?

③通過與問題3 ②的對比,你能(用集合與對應(yīng)的語言)重新給函數(shù)下定義?

④如何使用符號語言表達x,y和f之間的關(guān)系?

高中函數(shù)的概念是什么:基于學生在問題1、2 的解決中獲得的經(jīng)驗,并結(jié)合學生的思維特點.先通過①,引導學生有意識地去除非本質(zhì)的東西,歸納出共同屬性:(1)自變量與因變量的取值范圍都可用兩個非空數(shù)集A,B表示;(2)兩個變量之間都有一個對應(yīng)關(guān)系f(可以是解析式、表格或圖象);(3)雖然對應(yīng)關(guān)系的表示方法不盡相同,但是都具有以下特征:對于數(shù)集A中的任意一個x,按照對應(yīng)關(guān)系f,在數(shù)集B中都有唯一確定的y與之對應(yīng).然而,由實例反映出的共同屬性,重新定義函數(shù),對學生來說依然是一個難點.再通過②,引導學生發(fā)現(xiàn)共同屬性相對于初中函數(shù)概念有了幾處變化:(1)將“某一變化過程”抽象為“對應(yīng)關(guān)系f”;(2)將“兩個變量x與y”抽象為“兩個數(shù)”,將“兩個數(shù)的變化范圍”抽象為“兩個非空數(shù)集A,B”;(3)將“兩個數(shù)的對應(yīng)特點”抽象為“數(shù)集A中的任意一個x,按照對應(yīng)關(guān)系,在數(shù)集B中都有唯一確定的y與之對應(yīng)”,促使他們從集合與對應(yīng)的角度觀察已有認知中的函數(shù),完成前后知識的同化和順應(yīng),進而完成對③的回答,達到新的認知平衡,形成新的函數(shù)概念自然語言表達.為了實現(xiàn)函數(shù)概念的符號化(即④),可以引導學生對新的函數(shù)概念中x,y和f的邏輯關(guān)系進行分析,即自變量x在對應(yīng)關(guān)系f的作用下,得到因變量y的值.這種邏輯關(guān)系可以用“y=f(x),x∈A”來表示.至此,引導學生經(jīng)歷“實例——辨別——歸納——聯(lián)系(對比)——抽象——定義——表征”的概念形成過程,完成了對高中函數(shù)概念的概括.

問題4你認為y=是函數(shù)嗎? 請說明理由.

高中函數(shù)的概念有何用:再一次讓學生回答問題1 中先前未能解決的問題,既可以考查學生對新知的理解程度,促進他們對函數(shù)本質(zhì)的把握,幫助他們積累運用新知的活動經(jīng)驗;又可以培養(yǎng)學生運用概念等“原始”知識解決陌生問題的思維方式.這種從一般再次回到特殊的設(shè)計與問題1 共同形成了一個閉環(huán).

3 回顧反思

3.1 基于認知沖突,找準問題設(shè)計起點,開拓思維空間

學生從初中就開始接觸到函數(shù),對函數(shù)的概念有了一定地感性認識,對函數(shù)的理性認識也達到一定水平.因此,本節(jié)課應(yīng)從“數(shù)學知識的現(xiàn)實狀態(tài)”入手,充分利用函數(shù)概念在初高中階段存在著的轉(zhuǎn)換關(guān)系,激發(fā)學生的認知沖突,在學生認知發(fā)展過程中自然而然地提出的問題,激發(fā)學生將新知識和原有概念進行認知重構(gòu),整合進原有知識結(jié)構(gòu)中.楊振寧先生曾指出,直覺與知識沖突時是學習的最好時機.這充分說明,教師基于學生的認知沖突設(shè)計問題,是激發(fā)學生探索未知事物的啟動點,是保持學生持續(xù)學習意愿和熱情的中繼動力,是開拓學生思維空間的最佳時機.

3.2 基于知識生成,找準問題設(shè)計接點,培養(yǎng)思維品質(zhì)

自然的課堂教學過程應(yīng)包括兩方面:一是前后知識的連貫性、生成性自然;二是學生思維過程性、基礎(chǔ)性自然.因此,教師在實施課堂教學之前,務(wù)必基于學生的發(fā)展現(xiàn)狀設(shè)計好問題:從宏觀上為學生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學習過程,使學生能“抬頭看路”,知道往哪里走,這是課堂教學的重要任務(wù);從微觀上,引導學生通過類比、歸納,有序地完成知識的構(gòu)建,使學生能“埋頭思考”,理解知識的本質(zhì),這是知識生成的終極目標.教師通過這兩個層面設(shè)計問題,引導學生展開對函數(shù)概念的學習,不僅深化了對函數(shù)概念的理解,也促進了思維的細膩化.

3.3 基于思維規(guī)律,找準問題設(shè)計落點,提升思維層次

培養(yǎng)學生的思維,首先要了解學生的思維規(guī)律及所處的階段,只有深入了解學生的思維規(guī)律及所處的階段,才能知道如何設(shè)計適合的問題來引導學生的思維活動,有的放矢地進行課堂教學.通過函數(shù)概念課堂教學的問題設(shè)計,筆者認為,教師要認識到學生思維發(fā)展的規(guī)律,要尊重學生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平,并以此為依據(jù),制訂相應(yīng)的教學流程和確定問題設(shè)計的落點,以激起學生認知上的不平衡,促使新舊知識相互作用,通過同化或順應(yīng),使學生達到新的認知平衡,從而獲得新知,提升學生思維的層次.眾所周知,函數(shù)概念的抽象性和推理論證的邏輯性,歷來是培養(yǎng)學生的抽象思維和邏輯推理能力的最好載體.