高中解析幾何試題背景知識(shí)研究

北京市朝陽區(qū)北京中學(xué)(100018)孫鵬

1 定值子弦

定義:設(shè)過點(diǎn)P是某圓錐曲線的一個(gè)頂點(diǎn),PA,PB是該曲線過頂點(diǎn)P的兩條弦,當(dāng)直線PA,PB的斜率之積為定值λ時(shí),稱線段AB為該曲線頂點(diǎn)P的關(guān)于定值λ的斜率等積子弦;當(dāng)直線PA,PB的斜率之和為定值λ時(shí),稱線段AB為該曲線頂點(diǎn)P的關(guān)于定值λ的斜率等和子弦,這兩個(gè)子弦統(tǒng)稱為頂點(diǎn)P關(guān)于定值λ的定值子弦.

題目一(2022 年北京豐臺(tái)區(qū)高三期末第20 題)已知橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(diǎn)離心率為

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)D(4,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(均異于點(diǎn)A),直線AM,AN分別與直線x=4 交于點(diǎn)P,Q.求證:|DP|·|DQ|為定值.

1.1 試題分析

1.2 試題幾何本質(zhì)探究

說明結(jié)論1 中當(dāng)頂點(diǎn)為左頂點(diǎn)時(shí)亦成立,證明過程一致.

結(jié)論2橢圓C:=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)D(x0,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(均異于點(diǎn)A),則直線AM與AN斜率之積為常數(shù).

證明設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l方程為y=k(x-x0),則

圖1

結(jié)論3橢圓C:=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)D(x0,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(均異于點(diǎn)A),直線AM,AN分別與直線x=x0交于點(diǎn)P,Q,則|DP|·|DQ|為定值(如圖1).

2 橢圓的共軛直徑

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)(不在x軸上),M為AP中點(diǎn),過原點(diǎn)O作AP的平行線,與直線x=3 交于點(diǎn)Q.問:直線OM與FQ斜率的乘積是否為定值? 若為定值,求出該值;若不為定值,請說明理由.

2.1 試題分析

2.2 試題幾何本質(zhì)探究

圖2

結(jié)論4橢圓C:=1(a＞b＞0)左頂點(diǎn)為A,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)(不在x軸上),M為AP中點(diǎn),過原點(diǎn)O作AP的平行線,與直線x=x0交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q與直線OM垂直的直線經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)(如圖2).