研究高考真題 提升核心素養(yǎng)
——以一道“爪型”三角形的變式探究為例

四川 鄧成兵

“爪型”三角形是指在給定的一個(gè)三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和對邊上的任意一點(diǎn)構(gòu)成的圖形.“爪型”三角形問題主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者就從“爪型”三角形的代數(shù)特征和幾何特征出發(fā)，力求在解法上尋求最簡潔的方法，總結(jié)解題規(guī)律，從整體上認(rèn)識把握，做到有的放矢.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》中指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，達(dá)到學(xué)生用科學(xué)方法分析問題、解決問題，才有利于引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為自己的思維方式.高考真題承載著引領(lǐng)教學(xué)的功能，作為重要的教學(xué)素材，試題的價(jià)值一直被教師在教學(xué)中深入思考、充分挖掘，變式探究、類比深化，全方位探究高考題的相關(guān)性及同源性.

從2015年到2022年，全國每年高考均出現(xiàn)“爪型”三角形，其中以解答題形式出現(xiàn)理科5次、文科4次，填空題文理科均為5次，選擇題文理科均出現(xiàn)1次(如下統(tǒng)計(jì)表所示).本文以2022·全國甲卷·16的探究、發(fā)現(xiàn)過程中，從解法探究，到變式推廣，再到獲得“爪型”三角形相關(guān)性質(zhì).整個(gè)過程可以說是順應(yīng)了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)與大家分享、交流.

“爪型”三角形在近八年高考中的地位及難度分析

1.試題呈現(xiàn)與解法探究

【命題意圖】本題是典型的“爪型”三角形問題，需要靈活應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化與基本不等式求解；從多維度多方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，綜合性較強(qiáng).

【解法一】(利用兩次余弦定理列方程求解，即代數(shù)法)

設(shè)BD=x，CD=2x，△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

在△ACD中，b2=4x2+4-2·2x·2·cos60°，

可得,b2=4x2-4x+4，

在△ABD中，c2=x2+4-2·x·2·cos120°，

可得，c2=x2+2x+4，

【解法二】(利用平面向量坐標(biāo)法求解，即幾何法)

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)BD=x(x>0)，

【解法三】(利用等面積法求解，即代數(shù)法)

設(shè)BD=x，CD=2x，如圖，過頂點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，

則BE=x+1,CE=2x-1，

在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2=(2x-1)2+3=4x2-4x+4，

在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2=(x+1)2+3=x2+2x+4，

評析：解法一先算“兩次”策略，依據(jù)余弦定理列方程求解，即代數(shù)方法，得到AC,AB兩邊關(guān)于x的關(guān)系式，再利用基本不等式進(jìn)行求解；解法二建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的模長公式得到AC,AB兩邊關(guān)于x的關(guān)系式，再運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解；解法三利用三角形的等面積法，得到AE的長度，結(jié)合直角三角形，利用勾股定理并結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.解法三相對解法一和解法二，運(yùn)算比較小，降低了運(yùn)算量，在教學(xué)中，應(yīng)該重視正余弦定理列方程組法、平面向量坐標(biāo)法及等面積法在“爪型”三角形中的應(yīng)用.

【解題思維導(dǎo)圖】

解法一：

解法二：

解法三：

2.變式探究

【解法一】(算“兩次”策略，依據(jù)正余弦定理列方程求解，即代數(shù)方法)

設(shè)BD=CD=m，AD=n，

在△ABD中，由余弦定理得c2=n2+m2-2×mn·cos∠ADB.①

在△ACD中，由余弦定理得

b2=n2+m2-2×mncos∠ADC.②

∵∠ADB+∠ADC=π，

∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，

所以①+②，得b2+c2=2n2+2m2， ③

在△ABC中，由余弦定理得

4m2=b2+c2-2bccos∠BAC，

又∠BAC=120°，所以4m2=b2+c2+bc， ④

聯(lián)立③④得，2b2+2c2-4n2=b2+c2+bc，

即b2+c2=bc+4n2≥2bc，

即bc≤4n2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2n時(shí)，等號成立.

即AD=2.

【解法二】(用基底法對向量進(jìn)行分解后平方轉(zhuǎn)化為模長和數(shù)量積問題探究b,c間關(guān)系，即利用向量或坐標(biāo)方法求解)

設(shè)AD=n,

∵D為BC的中點(diǎn)，

即b2+c2=bc+4n2，

而b2+c2≥2bc，

∴bc+4n2≥2bc即bc≤4n2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2n時(shí)，等號成立，

即AD=2.

探究一類問題，形成結(jié)論

思考：把變式1中解法一③式中的m,n分別換成BD，AD，你會(huì)獲得什么結(jié)論？

由①+②化簡得，

∵D為BC的中點(diǎn),

∴|BC|=2|BD|,代入③化簡得,

【解法三】(結(jié)論應(yīng)用)

設(shè)BD=CD=m，AD=n，

在△ABC中，利用余弦定理可得，

4m2=b2+c2-2bccos120°，化簡得，

把②代入①化簡得，

4n2+bc=b2+c2，

而b2+c2≥2bc，

∴bc+4n2≥2bc即bc≤4n2，

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2n時(shí)，等號成立，

即AD=2.

評析：解法一利用兩次余弦定理，互為補(bǔ)角的兩余弦值為零及基本不等式求解，難度較大，運(yùn)算也比較大；解法二利用平面向量的中線公式，再運(yùn)用基本不等式求解，運(yùn)算較小,但難度較大；解法三與解法一和解法二比較，更加簡便、高效，難度較小.本類題型側(cè)重三角形的正余弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式、平面向量的中線公式及基本不等式，考查數(shù)形結(jié)合與化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

變式2：記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若AD為∠BAC的平分線，交BC邊于D點(diǎn)，AD=2,∠BAC=120°,求b+c的最小值.

【解法一】(等面積法求解，即代數(shù)方法)

由題意得，作出圖象，如圖所示.

設(shè)∠BAD=∠CAD=60°,∠BAC=120°，

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,

∵|AD|=2,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號成立,

∴b+c的最小值為8.

探究一類問題，形成結(jié)論

結(jié)論2.由(*)化簡得“爪型”三角形的角平分線公式：在△ABC中,∠BAC的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D，設(shè)∠BAD=∠CAD=θ,則∠BAC=2θ，則角平分線長度|AD|=

【解法二】(結(jié)論應(yīng)用)

∴b+c的最小值為8.

評析：角平分線型側(cè)重正余弦定理、三角形面積公式、兩角和差的三角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及角平分線定理的應(yīng)用.解法一運(yùn)用了三角形的等面積法及基本不等式的乘“1”法求解，學(xué)生難以想到，難度較大；解法二直接運(yùn)用“爪型”三角形的角平分線公式及基本不等式的乘“1”法求解，難度較小，學(xué)生容易想到，考查邏輯推理能力、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

思考：若點(diǎn)D不是角平分線與BC邊的交點(diǎn)，為BC邊上任意一點(diǎn)，也有相似的結(jié)論嗎？

【分析】在三角形中出現(xiàn)了邊和角的正弦，運(yùn)用S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形面積的第二公式得證.

證明：∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,

sinβ,

兩邊同時(shí)除以bc×|AD|,化簡得,

【解題思路】(用向量或坐標(biāo)方法求解)

∵|AD|=2，∠BAC=120°,

解得bc≤18，

評析：由此解法中的(*)可得一般情況下爪型三角形的向量表示.

證明：∵|BD|=m,|DC|=n,

變式4：記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若AD⊥BC，交BC邊于D點(diǎn),∠BAC=120°，AD=2,S△ABC的最小值為.

【解題思路】(等面積法和余弦定理求解)

在△ABC中，a2=b2+c2-2bc×cos120°,

∴bc≥16,

評析：該類題目側(cè)重直角三角形中互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系及兩角和差的三角公式的應(yīng)用.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等核心素養(yǎng).

每年高考真題都有源自于教材的例習(xí)題改編或組合，重在考查學(xué)生的基本知識、基本思想和基本技能，對學(xué)生的思維量、靈活性、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出較高要求.本題源于人教A版必修四第147頁A組第13題改編，如變式5.

變式5：如圖所示，l1,l2,l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3上，則△ABC的邊長是________.

【解題思路】(正弦定理和三角形兩角和與差公式求解)

設(shè)AC與l2交于D,設(shè)∠BDA=θ，∠DBA=β，設(shè)正三角形ABC的邊長為a，

兩式相除化簡得，2sinβ=sin(60°-β),

評析：該類題目側(cè)重三角形面積公式、兩角和與差公式、二倍角公式、正余弦定理及其應(yīng)用，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3.方法反思和素養(yǎng)展現(xiàn)

文章以2022年全國甲卷文理科第16題及變式,用不同的方法對“爪型”三角形進(jìn)行了深入探究，歸納出“爪型”三角形的中線、角平分線、高線常規(guī)解法及相關(guān)二手結(jié)論并對其證明；運(yùn)用了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程等思想；“爪型”三角形在高考試卷中屬于難度中等，解這類三角形方法很多，通常可以采用“鄰補(bǔ)角策略”“算兩次”策略依據(jù)正余弦定理列方程求解；也可以采用作高、作平行線等手段利用初等幾何知識求解；亦可借助向量工具采用基底法對向量進(jìn)行求解.但如果運(yùn)用本文總結(jié)的爪型三角形的四條性質(zhì)求解，不但可以簡化我們的運(yùn)算，還可以提高做題的速度及正確率.