聚焦新高考“創(chuàng)新性”研究 培養(yǎng)命題創(chuàng)新意識(shí)
——第二屆命題征集活動(dòng)解析幾何專題優(yōu)質(zhì)創(chuàng)新試題選登

甘肅 羅文軍 彭長(zhǎng)軍

所以c=2，所以黃金雙曲線C的焦距長(zhǎng)2c=4.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】本題以傳統(tǒng)文化為背景，考查雙曲線的離心率，以黃金分割雙曲線為依托，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦距，考查方程思想、閱讀理解能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力以及數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

(作者單位 姓名：甘肅省秦安縣第二學(xué)校 羅文軍)

【解題思路】解法1：由橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a.在△PF1F2中，由余弦定理，得

4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4a2-3|PF1||PF2|.

由基本不等式，得

∴4c2≥4a2-3a2=a2,

當(dāng)|PF1|=|PF2|=a時(shí)，y0=±b，

所以4b2c2≥3(a2-2c2)2，

即4(a2-c2)c2≥3(a2-2c2)2=3(a4-4a2c2+4c4)，

化簡(jiǎn)整理，得16c4-16a2c2+3a4≤0，

兩邊同除以a4，得16e4-16e2+3≤0，

此時(shí)P(0,b),∴|PF1|=|PF2|=a,以下同解法1.

解法4：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在橢圓的上半部分，直線PF1的傾斜角為α,直線PF2的傾斜角為β，則β-α=60°，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=180°-β.

在△PF1F2中，由正弦定理，

由α是△PF1F2的一個(gè)內(nèi)角，知0°<α<120°,

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】本題主要考查橢圓的相關(guān)知識(shí)以及其他知識(shí)(余弦定理、基本不等式、三角函數(shù)及三角形面積公式等)的綜合應(yīng)用.考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).試題以橢圓為主干，將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系在一起，通過(guò)設(shè)問(wèn)考查橢圓的定義及性質(zhì)、余弦定理、基本不等式、平面向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示、三角函數(shù)及三角形面積公式、比例的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用.試題難易適中，具有一定的區(qū)分度，屬常規(guī)題.在第一個(gè)空(最小值)后，不失時(shí)機(jī)地增加了第二個(gè)空，進(jìn)一步考查取得最小值的條件及三角形面積公式的應(yīng)用.

(作者單位 姓名：甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué) 彭長(zhǎng)軍)

【解題思路】解法1：設(shè)直線F1P的方程為y=k(x+c)(k>0)，即kx-y+kc=0(k>0).

1.政策逐漸削減導(dǎo)致電動(dòng)汽車發(fā)展必將由政策驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)向市場(chǎng)牽引。政策扶持力度削弱后，市場(chǎng)會(huì)進(jìn)行再定位，在沒(méi)有政策扶持的誘惑，以及失去地方區(qū)域市場(chǎng)優(yōu)勢(shì)和政府干涉的非自然狀態(tài)下，電動(dòng)汽車將恢復(fù)到市場(chǎng)定位，電動(dòng)汽車市場(chǎng)中的企業(yè)更傾力于增強(qiáng)供給側(cè)的能力，關(guān)注顧客要求，不斷增強(qiáng)自身技術(shù)，使市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境更加真實(shí)。

即16a2c2=21b2(c2-a2)=21(c2-a2)2，

化簡(jiǎn)整理，得21c4-58a2c2+21a4=0，

兩邊同除以a4，得21e4-58e2+21=0，

本題也可畫出符合題意的圖象(如圖)，利用平面幾何知識(shí)并結(jié)合斜率的定義求解,過(guò)程如下：