從一題多解到多題一解，發(fā)散思維，發(fā)展素養(yǎng)
——以2022年全國甲卷文科第12題為例

四川 張 君 王奮際

“雙減”背景下高考數(shù)學(xué)全國卷的命題，要求減少“機(jī)械刷題”，加強(qiáng)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.本文以2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第12題為例，從一題多解著手，研究比較大小類題目的通性通法，尋求解題本質(zhì)，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，最后形成多題一解，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1.真題再現(xiàn)

【例】(2022·全國甲卷文·12)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

2.試題分析

羅增儒教授把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向”，解題的本質(zhì)是找條件與結(jié)論的關(guān)系，故本題從兩種角度思考解題方案：一是綜合考慮條件與選項(xiàng)，做等價(jià)變形；二是直接從條件出發(fā)，推導(dǎo)結(jié)論.

觀察已知條件，a,b均為指數(shù)式與常數(shù)之差，作差后不易比較大小，又由于a,b無法判斷正負(fù)，作商也不易比較；再觀察選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，a,b都需要與0比較，故可考慮等價(jià)變形為三個(gè)對數(shù)值log1011，log910，log89的大小比較，即思路1.

等價(jià)變形為三個(gè)對數(shù)值的大小比較，此時(shí)可以直接作差(解法1)，作商(解法2)比較，利用數(shù)列單調(diào)性(解法3)，函數(shù)單調(diào)性比較(解法4).解法1,2,3都可以使用均值不等式將對數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為加法，解法4則利用函數(shù)求導(dǎo)尋找單調(diào)性.

由于條件中的三個(gè)表達(dá)式結(jié)構(gòu)類似，可以考慮構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較，即思路2.此時(shí)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)和單調(diào)性問題(解法5)，也可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象分析問題(解法6)，也可轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)圖象增長速度問題(解法7).

若將9m作為整體，避開對數(shù)運(yùn)算，適當(dāng)放縮，轉(zhuǎn)化為尋找a的下界和b的上界的問題(解法8).

上海市特級教師文衛(wèi)星老師主張以思維導(dǎo)圖對解題思路以形象總結(jié)，此題可表示為如下思維導(dǎo)圖.

3.一題多解

3.1 思路1：綜合條件與選項(xiàng)，恒等變形轉(zhuǎn)化

由9m=10知m=log910，比較a=10m-11與0的大小，等價(jià)于比較10m與11的大小，等價(jià)于比較m=log910與log1011的大??；同理，比較b=8m-9與0的大小，等價(jià)于比較m=log910與log89的大小；至此，本題轉(zhuǎn)化為比較log1011,log910,log89三個(gè)數(shù)的大小.要比較這三個(gè)數(shù)又可以有如下幾種方案.

同理可證log91010log1011-11=0，b=8m-9=8log910-9<8log89-9=0，所以a>0>b，故選A.

解法3：將這三個(gè)數(shù)看作數(shù)列{logn(n+1)}的第8,9,10三項(xiàng)，先研究數(shù)列的單調(diào)性，比較logn(n+1)與logn+1(n+2)，其中n∈N,n≥2的大小.

所以ln2(n+1)-lnn·ln(n+2)>0，即logn(n+1)>logn+1(n+2).

由此可得,log89>log910>log1011，下同解法1.

點(diǎn)評：上述三種方法，先將對數(shù)化同底，基于同底對數(shù)沒有乘法，但可以相加，不約而同的利用均值不等式，最終完成解題.

解法4：令f(x)=logx(x+1)(x>1)，則通過求導(dǎo)易得f(x)單調(diào)遞減.

由1

所以xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

所以f(10)

3.2 思路2：形式同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，逆用單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合

解法5：令f(x)=xm-x-1(m=log910)，

則f′(x)=mxm-1-1，令f′(x)=0，

又因?yàn)閙=log910>1，

又因?yàn)閒(9)=0，所以a>0>b，故選A.

解法6：f(x)=xm-x-1(m=log910)，

則f(9)=0.則函數(shù)y=xm(m=log910)與y=x+1的交點(diǎn)為(9,10)如圖所示.

由圖可知，當(dāng)0

當(dāng)x>9時(shí)，xm>x+1，所以8m<9，即b=8m-9<0，10m>11，即a=10m-11>0.所以a>0>b，故選A.

解法7：如圖，從下到上分別是y=8x，y=9x，y=10x的圖象，直線x=1與三條曲線分別交于點(diǎn)A,B,C，

直線x=m(m=log910)與三條曲線分別交于點(diǎn)E,G,P，

分別過點(diǎn)A,B,C作x軸的平行線依次交直線x=m于點(diǎn)D,F,H.因?yàn)閥=8x，y=9x，y=10x的圖象上升速度依次加快，則DF

所以8m-8<9m-9=1<10m-10,∴8m-9<9m-10=0<10m-11,故選A.

點(diǎn)評：解法4至解法7都構(gòu)造了函數(shù)，但構(gòu)造的函數(shù)各不相同，構(gòu)造函數(shù)后，利用的函數(shù)性質(zhì)也不同，可見，通法之下也有很多變化.

3.3 思路3：化異為同，適當(dāng)放縮

解法8：顯然，m>1.

所以a>0>b，故選A.

4.一題多思

比較大小類題目是近年高考常考題，入口低，方法靈活，能全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.常見的方法主要有直接或變形后作差、作商比較；構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性比較；構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象比較；放縮法.此題中每一種通法都可以切入試題，而每種方法又不是獨(dú)立存在.通法之間可以交叉混合使用，比較log1011,log910,log89三個(gè)數(shù)不僅可以用基本不等式，還可以使用加糖不等式等方法(見5課本溯源).試題多角度、多層次進(jìn)行考查，兼顧基礎(chǔ)性、綜合性.

事實(shí)上，比較大小的題目還可以采用估值的方法，如果考生手上有計(jì)算器，直接輸入計(jì)算即可得出答案.考場上學(xué)生要估計(jì)一個(gè)數(shù)的大小，通?？梢钥紤]放縮法、利用常見的對數(shù)值(如lg2≈0.3,lg3≈0.477,ln2≈0.69,ln3≈1.1)、泰勒展開等.

5.課本溯源

(2019年人教A版《數(shù)學(xué)必修第一冊》第141頁13題)比較下列各題中三個(gè)值的大小：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；(2)log23,log34,log45.

我們來研究一下第(2)問.

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

點(diǎn)評：作差、通分后，利用基本不等式即可判斷l(xiāng)n23-ln2×ln4的符號，如果掌握了這種思想方法，那么考題中a-b的符號就容易聯(lián)想到利用基本不等式來判斷，此外，課本的結(jié)論還可以推廣為logn(n+1)>logn+1(n+2)(證明見上文解法3).

這說明這道考題源于課本高于課本，因此，指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)要立足課本，適當(dāng)提高，就能提質(zhì)減負(fù)！

6.通法遷移

國務(wù)院《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》提出要“改變相對固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”，這要求教學(xué)中要重視通性通法，尋找解題本質(zhì)，落實(shí)核心素養(yǎng).

本文對2022數(shù)學(xué)甲卷文科12題解法研究中，主要提出了三大類通法，一是綜合考慮條件和結(jié)論，等價(jià)變形后，作差、作商比較大??；二是結(jié)構(gòu)相似，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性、圖象，增長趨勢等比較大小；三是利用放縮，特殊值，甚至泰勒展開等估計(jì)參數(shù)值的范圍比較大小.

這些“通法”當(dāng)然也能遷移到其他高考題目，例如：

1.(2020·全國卷Ⅲ理·12)已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則( )

A.a

C.b

∴b

點(diǎn)評：以上解析用到了兩種通法，a,b的比較采用作商法，b,c的比較采用放縮法.

A.a

C.b

所以a

點(diǎn)評：以上解析用到了放縮法.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

點(diǎn)評：以上解析用到了兩種通法，b,c的比較采用作商法，b,a的比較采用構(gòu)造函數(shù)的方法.

從以上三個(gè)高考題的解析可以看到，高考題強(qiáng)調(diào)通性通法的考查，教學(xué)中教師應(yīng)注重通法的教學(xué).學(xué)生在理解掌握通性通法之后，根據(jù)題目的具體呈現(xiàn)形式，靈活選擇并做適當(dāng)變形，就能完成解題.

7.一題多變

在高考題基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)行了一些變式，讀者可以嘗試從通法入手，完成解題.

【變式1】已知a=101.1-6，b=91.1-5，c=81.1-4，則a，b，c的大小關(guān)系是( )

A.a

C.c

【變式2】已知，10m=11，a=8m-9，b=9m-10，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.0>b>aD.b>0>a

【變式3】已知9m=11，a=10m-12，b=8m-10，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【變式4】已知5m=31，a=6m-42，b=7m-55，則a，b，c的大小關(guān)系是( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a