例談高中數(shù)學(xué)中的因式分解教學(xué)

安徽 李永林 劉 群

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.高中階段，因式分解在解決有關(guān)“函數(shù)零點(diǎn)”“函數(shù)極(最)值”“函數(shù)單調(diào)性”“多字母方程”“不等式”等方面問(wèn)題的過(guò)程中起著關(guān)鍵性的作用.數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中階段的主要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，運(yùn)算能力也是初中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，因式分解是一類(lèi)代數(shù)式的運(yùn)算，教師應(yīng)在實(shí)際教學(xué)中高度重視這部分內(nèi)容.

1 問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》規(guī)定：能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過(guò)二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù)).對(duì)于分組法，僅略有涉及.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》僅在一處用到了“因式分解”這個(gè)詞語(yǔ)，對(duì)因式分解更沒(méi)有具體要求.不難看出，對(duì)于因式分解，初中教學(xué)要求不高，高中又沒(méi)有深化，很多學(xué)生在應(yīng)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)、極(最)值、單調(diào)性、多字母方程及不等式中涉及的略為復(fù)雜的因式分解時(shí)，感到束手無(wú)策，最終導(dǎo)致解題失敗.在高中階段，如何深化因式分解教學(xué)，凸顯因式分解的解題價(jià)值呢？這是值得且應(yīng)該思考的問(wèn)題.

2 問(wèn)題的分析與解決

2.1 深化因式分解的方法

因式分解常用的方法有提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、求根法、特殊值法、拆項(xiàng)法、待定系數(shù)法、除式法等，高中應(yīng)深化十字相乘法、拆項(xiàng)法、待定系數(shù)法、除式法的教學(xué)，從而能快速對(duì)一個(gè)式子進(jìn)行因式分解.

2.1.1 拆項(xiàng)法

故利用拆項(xiàng)法進(jìn)行因式分解得x3-2x-4=x3-4x+2x-4=(x-2)(x2+2x+2)，

令h(x)=x2+2x+2-2ex，

則h′(x)=2x+2-2ex，

令m(x)=h′(x)，則m′(x)=2-2ex<0(x>0)，

點(diǎn)評(píng):分離參數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求最值是處理不等式恒成立問(wèn)題的一個(gè)通法，因式分解是破解函數(shù)極(最)值點(diǎn)問(wèn)題的利器.這里利用拆項(xiàng)法(將-2x拆成-4x與2x的和)對(duì)三次多項(xiàng)式x3-2x-4進(jìn)行了因式分解，也是順利解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.事實(shí)上，針對(duì)x3-2x-4的因式分解，還有如下方法.

另一種拆項(xiàng)法：

x3-2x-4=x3-8-2x+4=(x-2)(x2+2x+4)-2(x-2)=(x-2)(x2+2x+2).

2.1.2 待定系數(shù)法

所以x3-2x-4=(x-2)(x2+2x+2).

2.1.3 除式法

以上三種方法的前提是知道x-2是多項(xiàng)式x3-2x-4的一個(gè)因式.如何找到這個(gè)因式？我們可以作如下思考：若一個(gè)多項(xiàng)式f(x)可分解成n個(gè)因式f1(x)，f2(x)，f3(x)…fn(x)，即f(x)=f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·fn(x),根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，不難得到多項(xiàng)式f(x)的常數(shù)項(xiàng)等于各因式中的常數(shù)項(xiàng)的積，多項(xiàng)式f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)等于各因式中最高次項(xiàng)系數(shù)的積.如果多項(xiàng)式f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1，則該多項(xiàng)式可以分解成若干個(gè)最高次項(xiàng)系數(shù)為1的因式，于是，可通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式f(x)的常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行整因數(shù)分解去尋找f(x)的一次因式.

2.1.4 十字相乘法

十字相乘法：對(duì)于一個(gè)二次三項(xiàng)式，若存在這樣一個(gè)十字“×”，十字左邊兩數(shù)相乘等于二次項(xiàng)系數(shù),右邊兩數(shù)相乘等于常數(shù)項(xiàng),交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么左邊兩數(shù)和右邊兩數(shù)分別為兩個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).對(duì)于十字相乘法，大家都比較熟悉，這里不再舉例贅述.

2.2 強(qiáng)化因式分解的應(yīng)用

【例2】因式分解x3-4x2-3x-10.

解析：(-5)×2=-10，嘗試可以得到x-5是原多項(xiàng)式的一個(gè)因式，將-4x2拆成-5x2+x2，再分組分解即可.

x3-4x2-3x-10=(x-5)x2+(x-5)(x+2)

=(x-5)(x2+x+2).

點(diǎn)評(píng)：嘗試得到因式x-5后，也可以利用待定系數(shù)法和除式法進(jìn)行因式分解，方法多樣.

【例3】因式分解e2x+e-2x-2aex-2ae-x+4a-2.

解析：將ex+e-x當(dāng)作整體配方得，e2x+e-2x-2aex-2ae-x+4a-2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+4a-4，再利用十字相乘法得到(ex+e-x-2)(ex+e-x-2a+2).

點(diǎn)評(píng)：把ex+e-x當(dāng)作整體對(duì)原式進(jìn)行配方，再利用十字相乘法處理，簡(jiǎn)潔明了.

解析：此題sin2x，sinx，cosx共存，利用換元法或?qū)?shù)法很難處理，順著展開(kāi)后的式子采用局部因式分解得

點(diǎn)評(píng)：對(duì)展開(kāi)后的式子進(jìn)行局部因式分解，為均值不等式的利用創(chuàng)造條件.在均值不等式和輔助角公式的共同作用下，問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).需分析兩次等號(hào)能否同時(shí)取得，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

解析：①當(dāng)BC⊥x軸時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=x+a，

(b2+a2)x2+2a3x+a2(a2-b2)=0，

②當(dāng)直線(xiàn)BC的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y=kx+t，B(x1,y1)，C(x2,y2)，

(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2(t2-b2)=0，它的兩根分別為x1，x2,

代入化簡(jiǎn)得a4k2+a2t2+b2t2-a2b2k2-2a3kt=0,

分組分解得a4k2-2a3kt+a2t2+(b2t2-a2b2k2)=0，

進(jìn)一步分解得(t-ak)(b2t+ab2k+a2t-a3k)=0,

當(dāng)t=ak時(shí)，直線(xiàn)BC恒過(guò)頂點(diǎn)A(-a,0)(由①知，當(dāng)BC⊥x軸時(shí)不符合)，舍去；

點(diǎn)評(píng)：因式分解是解決多字母方程的有效方法，多字母的代數(shù)式及其運(yùn)算過(guò)程繁雜，因式分解后的結(jié)果簡(jiǎn)潔，便于計(jì)算，利于問(wèn)題解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇妙.

3 結(jié)語(yǔ)