解決函數(shù)綜合問題中的“放大鏡”和“望遠(yuǎn)鏡”

北京 崔 鵬

一、問題分析

1.1 問題1：函數(shù)圖象“細(xì)節(jié)處”的矛盾

要求圖中的直線與曲線恰好有一個(gè)公共點(diǎn).

考慮到如下的情況：

這道題目難度很大，這種局部的交點(diǎn)問題確實(shí)是我們?nèi)菀追稿e(cuò)的地方.解決此類函數(shù)問題時(shí)，“放大鏡”發(fā)揮了奇效.

同樣作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，按照上例的分析特點(diǎn)，我們判斷在拋物線頂點(diǎn)A的左側(cè)應(yīng)該還會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)B，圖象放大如下：

在不能確定函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn)時(shí)，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)用代數(shù)法試驗(yàn)一下，得到下列方程組：

1.2 問題2：函數(shù)圖象“遠(yuǎn)處”的困惑

【問題】方程(x-1)4=2|x|-2的實(shí)根有________個(gè).

【分析】本情境的實(shí)質(zhì)是考查該方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并沒有要求求解.實(shí)際上，這樣的方程沒有很好的代數(shù)解法，只能借助函數(shù)的圖象進(jìn)行處理.考查兩個(gè)函數(shù)y=(x-1)4和y=2|x|-2，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象：

方程的根即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).我們應(yīng)該很容易從圖上看出兩個(gè)函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，但是在很遠(yuǎn)處有沒有交點(diǎn)，并不能看清楚.因此，此題僅依托圖象不足以確定答案，為得到函數(shù)在x取值很大時(shí)的變化特征，可以考慮用特殊值試驗(yàn)一下，列得下表：

3456…100y=(x-1)41681256625…≈108y=2x-26143062…≈2100

僅列出前幾個(gè)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)二者函數(shù)值的差距越來越大，因此便“坐實(shí)”了兩個(gè)實(shí)根的結(jié)論.但是考慮到“指數(shù)爆炸”現(xiàn)象，應(yīng)該進(jìn)一步分析，在距離很遠(yuǎn)處，即x取值很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值會(huì)超過四次函數(shù)的函數(shù)值，因此可以考慮代入一些比較大的數(shù)，如最后一列數(shù)：2100≈1031，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于四次函數(shù)的函數(shù)值，因此在x軸正半軸很遠(yuǎn)處還有一個(gè)交點(diǎn)，并且在其之后不會(huì)再有，同理，在x軸負(fù)半軸也會(huì)同樣存在一個(gè)交點(diǎn)，因此本題的正確答案為四個(gè)交點(diǎn)，即原方程有四個(gè)實(shí)根.

這道題給我們的啟發(fā)是數(shù)形結(jié)合并不是簡(jiǎn)單的畫畫圖象，觀察一下就可以了，而是要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算特征進(jìn)行細(xì)致的分析，而不能停留在表面.這也就是“望遠(yuǎn)鏡”的奇效了.這類問題的變式很多，大都是聚焦在指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)及其相關(guān)函數(shù)的交點(diǎn)問題上.我們“會(huì)”作圖，但實(shí)際上只停留在簡(jiǎn)單的草圖層面，如何分析出函數(shù)“遠(yuǎn)處”的圖象要依托對(duì)函數(shù)性質(zhì)深刻理解，更重要的是要借助代數(shù)處理，即做到真正的“數(shù)形結(jié)合”.

二、問題遷移

上面的兩個(gè)例子重點(diǎn)討論了針對(duì)函數(shù)綜合題的具體解題策略，在平時(shí)的解題過程中，還應(yīng)該通過不斷的積累，能夠?qū)Σ煌瘮?shù)的模型進(jìn)行合理的選擇，從而規(guī)避以上“細(xì)處”看不清、“遠(yuǎn)處”看不到的困境.例如，我們討論以下問題：

【題目】當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，求證：ex>x2；

三、問題小結(jié)

“直觀想象”是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).主要表現(xiàn)為建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.

在本文中，無論是問題1中“細(xì)節(jié)處”的矛盾，還是問題2中“遠(yuǎn)處”的困惑，包括問題遷移中關(guān)于函數(shù)模型構(gòu)造的選擇，都是代數(shù)和幾何綜合問題中常見的難點(diǎn).而文中提到的“放大鏡”“望遠(yuǎn)鏡”，只是將突破這些難點(diǎn)的方式做了一個(gè)比喻，也就是要“向細(xì)處深究”“向遠(yuǎn)處預(yù)判”.解決函數(shù)綜合題首先建立在對(duì)函數(shù)性質(zhì)的深刻理解上，建立在對(duì)解析式和函數(shù)圖象的靈活切換上，我們做這方面的分析研究，都是在培養(yǎng)思考問題的全面性，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地.