基于狀態(tài)反饋精確線性化Buck變換器的微分平坦控制

皇金鋒，李慧慧*，謝 鋒

(1.陜西理工大學 電氣工程學院，陜西 漢中 723001；2.國網(wǎng)西安供電公司，陜西 西安 710032)

隨著電力電子技術(shù)的日趨成熟，功率開關變換器被廣泛用于航空航天電源、新能源電能變換及直流驅(qū)動器等系統(tǒng)[1–3]。在這些系統(tǒng)中，需要能輸出可靠穩(wěn)定電壓的DC–DC開關變換器，其中，具有降壓功能的Buck變換器被廣泛使用[4–5]。但Buck變換器本身是一個時變、強非線性電路，各種不確定性因素，如輸入電壓和輸出電流的突變、電路參數(shù)的攝動等都會在一定程度上影響變換器的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，因此尋求性能優(yōu)良的控制策略具有重要意義[6–7]。

很多專家學者針對DC–DC變換器的控制策略進行了深入研究，目前主要集中在線性控制和非線性控制兩方面。線性控制中，具有代表性的是傳統(tǒng)PI、PID等控制。其基本思想是將系統(tǒng)輸出電壓與期望電壓對比形成偏差信號，再將偏差信號進行比例、積分等組合處理，獲得控制信號。線性控制結(jié)構(gòu)簡單，控制器參數(shù)容易獲取。但隨著工業(yè)科學技術(shù)的不斷發(fā)展，傳統(tǒng)PI、PID等控制在工程使用方面的局限性顯現(xiàn)出來，僅根據(jù)輸出電壓偏差信號獲得控制信號使得系統(tǒng)穩(wěn)定性不高，動態(tài)調(diào)節(jié)性差[8]。為了提高變換器的抗干擾能力，許多非線性控制，如單周期控制[9]、自適應控制[10]、滑?？刂芠11]、模型預測控制[12]和微分平坦控制[13]等被廣泛研究。其中，微分平坦控制由于具有控制效果優(yōu)良、控制結(jié)構(gòu)簡單、易于編程實現(xiàn)、平坦輸出量快速等優(yōu)點而被廣泛應用于各工業(yè)場合[14]。徐良材等[13]提出一種雙環(huán)微分平坦控制策略，以提高系統(tǒng)在內(nèi)外擾動作用下的穩(wěn)定性，其研究結(jié)果表明，與傳統(tǒng)PI控制相比，平坦控制在抵抗系統(tǒng)參數(shù)攝動與不匹配、輸入電壓突變、輸出電流突變，以及燃料電池應用上均具有明顯的優(yōu)勢，該控制方法相比其他非線性控制方法更加簡單。Mehrasa等[14]將微分平坦理論應用于模塊化多電平變換器，其將瞬時有功和無功功率值作為微分平坦輸出，建立了基于微分平坦輸出的MMC動態(tài)模型，實現(xiàn)了微分平坦控制器在穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)條件下通過管理有功和無功功率來維持MMC電流和電壓的穩(wěn)定能力。以上文獻表明微分平坦控制具有良好的控制效果，上述控制策略在一定程度上提高了變換器的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能，但是當變換器參數(shù)存在攝動或存在外界干擾時系統(tǒng)的魯棒性還需要進一步提升。

狀態(tài)反饋線性化的理論基礎是微分幾何理論，微分幾何方法可將能達子流形與能控李導數(shù)結(jié)合起來，合理選取輸出函數(shù)，可使系統(tǒng)實現(xiàn)狀態(tài)反饋精確線性化，從而將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為能控線性系統(tǒng)。但也存在一些缺點，如反饋線性化后的模型對于系統(tǒng)參數(shù)有較高的要求，需要再通過與各類線性或非線性控制方法結(jié)合，得到更為優(yōu)良的控制效果。帥定新[15]、鄧衛(wèi)華[16]等將狀態(tài)反饋精確線性化與二次型最優(yōu)控制結(jié)合應用于Buck變換器，其結(jié)果證明，該控制方法與傳統(tǒng)PI控制相比，控制精度更高，動態(tài)響應更快，但權(quán)矩陣的選取是通過經(jīng)驗試湊法，沒有明確的物理意義。張衡[17]、王寶華[18]等將精確線性化與滑模控制結(jié)合應用于Boost變換器，顯著提高了系統(tǒng)的暫態(tài)性能，但滑模系數(shù)選取復雜，不易工程實現(xiàn)。為此，本文以電感電流連續(xù)導電模式Buck變換器為例，提出基于狀態(tài)反饋精確線性化的微分平坦控制方法。利用精確反饋線性化將原非線性Buck變換器系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)，以簡化微分平坦控制器的設計，將擾動觀測器嵌入前饋控制器中，提高系統(tǒng)魯棒性。同時，為了定量分析出變換器參數(shù)變化對系統(tǒng)特征值的影響程度及趨勢，應用靈敏度理論進行了進一步分析。最后，搭建仿真與實驗平臺，驗證了理論分析的正確性，本文所提控制方法可推廣至其他Buck類變換器。

1 狀態(tài)反饋精確線性化分析

1.1 仿射非線性模型分析

Buck變換器的電路拓撲如圖1所示。

圖1 Buck變換器Fig.1 Buck converter

圖1中，Vi為輸入電壓源，S為功率開關管，D為功率二極管，iL為流過電感L的電流，C為電容，io為流過負載R的電流，vo為輸出電壓。

根據(jù)狀態(tài)空間平均法建立變換器狀態(tài)方程為：

式中，u為S的占空比。

令系統(tǒng)狀態(tài)變量x=[x1,x2]=[iL,vo]，輸出變量y=h(x)=Vref–x2，其中，Vref為輸出電壓參考值，根據(jù)文獻[14]可得單輸入單輸出變換器的仿射非線性控制系統(tǒng)模型為：

1.2 精確線性化分析

1.2.1 精確線性化條件

若式（2）滿足以下限定條件[19]：

1）矩陣D=[g(x0),adfg(x0),g(x0),···,g(x0)]滿秩，其中，adf為李導數(shù)。

2）對于任意的τ1、τ2，其李括號[τ1,τ2] ∈D，即在鄰域D0對合分布。

則被控對象就可利用合適的坐標變換實現(xiàn)精確線性化。

根據(jù)式（2）計算李括號以驗證變換器的精確線性化條件：

分析式（4）可知，該系統(tǒng)相對階r取值為2，且等于狀態(tài)變量維數(shù)n，因此Buck變換器可實現(xiàn)狀態(tài)反饋精確線性化。

1.2.2 狀態(tài)反饋控制率

對式（2）定義如下坐標系：

將式（5）代入式（2）可得系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制率為：

由以上分析可得圖2所示的變換器狀態(tài)反饋精確線性的控制框圖[20]。

圖2 狀態(tài)反饋精確線性化控制框圖Fig.2 State feedback precise linearization control block diagram

分析式（3）可知，矩陣D滿秩，滿足精確線性化的第1個條件；g(x)、adfg(x)均與x無關，可視為恒向量場，因此，D為對合分布，Buck變換器可實現(xiàn)精確線性化。

此外，根據(jù)式（2）推導以下李導數(shù)以確定系統(tǒng)相對階：

2 微分平坦控制器設計

由第1節(jié)分析可知，Buck變換器可實現(xiàn)狀態(tài)反饋精確線性化，即原非線性系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為能控線性系統(tǒng)。本節(jié)將狀態(tài)反饋精確線性化與微分平坦控制結(jié)合設計系統(tǒng)控制器，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 Buck變換器控制結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Control structure diagram of the Buck converter

圖3中，該控制系統(tǒng)包含3部分，即：前饋控制器，反饋補償器及擾動觀測器。其中，前饋控制器中包含的微分項保證了變換器系統(tǒng)的快速性，反饋補償器中包含的偏差項保證了變換器系統(tǒng)的準確性；擾動觀測器將系統(tǒng)輸出電流作為外部擾動進行實時觀測，并將觀測值嵌入前饋控制中，以提高系統(tǒng)魯棒性。

2.1 微分平坦控制理論

微分平坦控制理論是在20世紀由法國人Fliess提出的，基本含義是能將系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤軌跡x與控制率u完整描述[21]。微分平坦控制主要包含前饋控制量生成和誤差反饋補償兩部分，前者包含的微分項保證了變換器系統(tǒng)的快速性，后者包含的誤差反饋項保證了變換器系統(tǒng)的準確性。下面進行詳細分析。

假設存在如下所示n階非線性系統(tǒng)：

且該非線性系統(tǒng)的平坦輸出量y滿足式（8），那么稱該系統(tǒng)為微分平坦系統(tǒng)。

式中，i與j為微分階數(shù)，φ與γ均為標量函數(shù)。

基于微分平坦控制理論的平坦控制框圖如圖4所示[21]。圖4中，yref為平坦輸出量的期望值，y為平坦輸出量的實際值。

圖4 微分平坦系統(tǒng)控制框圖Fig.4 Differential flat system control box diagram

2.2 前饋控制器設計

由文獻[21]可知，Buck變換器系統(tǒng)滿足微分平坦控制理論的條件，因此，選取vo為平坦輸出量，iL為狀態(tài)跟蹤軌跡，v為控制率，于是可得：

將式（9）代入式（1）可得：

化簡式（10）可得：

將式（11）代入式（6）可得系統(tǒng)前饋控制率u1為：

2.3 反饋補償器設計

實際系統(tǒng)由于未建模部分的影響和外部擾動的存在，實際平坦輸出與期望平坦輸出間存在偏差，可引入偏差的積分及其復合控制來消除，因此定義反饋控制率u2為：

聯(lián)立式（12）和（13）可得系統(tǒng)的控制率u為：

2.4 擾動觀測器設計

將式（1）轉(zhuǎn)化為如下形式：

根據(jù)式（15）設計的擾動觀測器為：

矩陣，l(x)為增益矩陣。

根據(jù)式（16）設計的q(x)為：

由式（17）可得l(x)為：

定義擾動觀測器的觀測誤差ed為：

聯(lián)立式（15）、（16）和（19）可得擾動量觀測誤差方程為：

分析式（20）可知，當l(x)g2(x)>0時，觀測器收斂?；谙到y(tǒng)收斂的條件，可設計觀測器反饋增益為l1=0，l2＜0。在設計l2時，應避免參數(shù)選取過大而導致系統(tǒng)控制困難，從而出現(xiàn)噪聲飽和等現(xiàn)象[22–23]。

3 穩(wěn)定性分析

3.1 系統(tǒng)特征值

根據(jù)式（1）可得Buck變換器閉環(huán)系統(tǒng)的雅克比矩陣J為：

式（21）描述的雅克比矩陣的特征方程為：

式中，I為單位矩陣，λ為閉環(huán)特征值。

將式（21）代入式（22）得到系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：

分析式（23）可知，工作于電感電流連續(xù)導電模式的Buck變換器是3階系統(tǒng)。根據(jù)勞斯–赫爾維茲判據(jù)即可得其穩(wěn)定性范圍：

分析式（24）可知，實際系統(tǒng)易滿足各項系數(shù)大于零的條件，因此著重分析ab–c>0的條件。

化簡式（24）中ab–c>0可得：

分析式（25）可知，當實際系統(tǒng)參數(shù)滿足各項系數(shù)大于零時，ki存在穩(wěn)定上界。

3.2 特征值靈敏度分析

為了進一步分析出變換器參數(shù)變化時對系統(tǒng)特征值的影響程度及趨勢，這里應用靈敏度理論進行研究。特征值靈敏度[24]的表達式為：

式中：pi為J的右特征向量；qi為J的左特征向量；特征值靈敏度為復數(shù)，其中，σ為其實部，ω為其虛部。σ的絕對值大小反映了參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響程度，當σ大于零時，減小該參數(shù)有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性；否則，反之。

給定一組Buck變換器參數(shù)：L=1 mH，C=50 μF，Vi=20 V，R=20 Ω，K1=0.83，K2=4.75。根據(jù)式（25）可得ki的取值范圍：0ki＜79 538.9，這里取ki=17 219。根據(jù)式（26）可計算出Buck變換器參數(shù)對系統(tǒng)特征值靈敏度的結(jié)果如表1所示。

分析表1可知：L對λ1、λ2和λ3的靈敏度的實部均大于零，說明減小L可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；C對λ1、λ2的靈敏度的實部小于零，對λ3的靈敏度的實部大于零，且對λ1、λ2的靈敏度實部絕對值大于對λ3的靈敏度實部絕對值，說明增大C可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；K1對λ1、λ2和λ3的靈敏度的實部均小于零，說明增大K1可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；K2對λ1、λ2和λ3的靈敏度的實部均大于零，說明減小K2可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；ki對λ1、λ2和λ3的靈敏度的實部均過小，說明ki對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響可忽略。因此，相較于控制器參數(shù)而言，電路參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響程度更大，所以這里著重分析電路參數(shù)變化時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響程度及趨勢。

表1 參數(shù)對特征值的靈敏度Tab.1 Sensitivity of the parameters to the eigenvalues

Buck變換器的參數(shù)設計需要考慮電感紋波電流、電容紋波電壓、效率、體積、功率密度、暫態(tài)性能等因素，通常取電感L=(1.2～1.5)Lmin，C=(1.5～2)Cmin來滿足系統(tǒng)要求；而在實際系統(tǒng)中，電感與電容均不能選取過大，否則，既會降低系統(tǒng)效率，又不符合電源設計的要求[25]。綜合考慮，本文對滿足系統(tǒng)要求范圍內(nèi)的電感（L∈[200 μH 1 mH]）與電容（C∈[50 μF 90 μF]）進行分析。減小電感L的取值，增大電容C的取值，得到系統(tǒng)特征值的變化趨勢如圖5所示。

圖5 電路參數(shù)改變時系統(tǒng)特征值的變化趨勢Fig.5 Variation trend of system eigenvalues when circuit parameters change

分析圖5（a）可知，當電感L∈[200 μH 1 mH]時，減小電感L，系統(tǒng)特征值均向著復平面的左半部分移動，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強。分析圖5（b）可知：當電容C∈[50 μF 90 μF]時，系統(tǒng)特征值λ3最靠近虛軸，因此，λ3是系統(tǒng)的主導極點，系統(tǒng)的暫態(tài)性能主要取決于λ3。并且，λ3向復平面左半部分移動的速度明顯快于λ1、λ2向右移動的速度，因此，增大電容C可以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性及暫態(tài)性能。

4 仿真與實驗分析

為了驗證所提控制方法的有效性，搭建仿真和實驗平臺，其中Buck變換器參數(shù)如表2所示；同時，將本文控制方法與傳統(tǒng)PI控制效果進行對比分析?？刂破鬟x擇STM32F103，功率開關管選擇IRF640NPBF，功率二極管選擇FQPF12N60C。

表2 Buck變換器電路參數(shù)Tab.2 Buck converter circuit parameters

4.1 仿真驗證

4.1.1 擾動觀測器增益選取過程

搭建變換器實驗平臺前，需要先選擇合適的擾動觀測器增益，由第2.4節(jié)可知觀測器反饋增益設計為l1=0，l2＜0。于是在相同的負載電阻擾動下，依次設置l2為0、–0.1、–0.2和–0.3，仿真結(jié)果如圖6所示。其中，l2=0是變換器未引入擾動觀測器的結(jié)果。

圖6 擾動觀測器增益選取過程Fig.6 Perturbation observer gain selection process

由圖6可知：變換器在51 ms時受到擾動后，歷時4.5 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為0.7 V；此外，當擾動觀測器增益的絕對值越大，輸出電壓的動態(tài)調(diào)節(jié)越差，綜合考慮，變換器的擾動觀測器增益選為l1=0，l2=–0.1。

4.1.2 抗輸入電壓、輸出電流突變測試

在電力電子仿真軟件中，對Buck變換器分別搭建本文所提控制與傳統(tǒng)PI控制的電路，使輸入電壓Vi和輸出電流io分別在15～30 V之間和250～500 mA之間突變，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 仿真對比結(jié)果Fig.7 Simulation comparison results

分析圖7（a）可知：當Vi由15 V突增至30 V時，PI控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為10.0 ms，電壓超調(diào)量為2.5 V；平坦控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為5.0 ms，電壓超調(diào)量為0.6 V。當Vi由30 V突減至15 V時，PI控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為8.5 ms，電壓超調(diào)量為1.2 V；平坦控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為4.0 ms，電壓超調(diào)量為0.4 V。

分析圖7（b）可知：當io由250 mA突增至500 mA時，PI控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為7.0 ms，電壓超調(diào)量為3.2 V；平坦控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為4.0 ms，電壓超調(diào)量為1.2 V。當io由500 mA突減至250 mA時，PI控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為6.5 ms，電壓超調(diào)量為2.2 V；平坦控制Buck變換器的調(diào)節(jié)時間為3.0 ms，電壓超調(diào)量為1.0 V。

4.2 實驗驗證

4.2.1 抗輸入電壓、輸出電流擾動的實驗驗證

系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，使Buck變換器輸入電壓Vi由15 V突變至30 V，輸出電流io由500 mA突變至250 mA，實驗結(jié)果如圖8和9所示。其中，“→”表示突變。

分析圖8可知：當輸入電壓由15 V突增至30 V時，PI控制Buck變換器歷時12.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為3.0 V；平坦控制Buck變換器歷時6.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為2.0 V。

圖8 輸入電壓擾動的實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results of input voltage disturbance

分析圖9可知：當輸出電流由500 mA突減至250 mA時，PI控制Buck變換器歷時6.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為3.5 V；平坦控制歷時3.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為2.5 V。

圖9 輸出電流擾動的實驗結(jié)果Fig.9 Experimental results of output current disturbance

表3給出了在各種不同工況的擾動條件下兩種控制方法的性能對比情況。

表3 平坦控制與PI控制性能對比Tab.3 Performance comparison between flat control and PI control

分析表3可知，與PI控制方法相比，平坦控制Buck變換器的超調(diào)電壓明顯減小，在發(fā)生輸入電壓和輸出電流突變的情況下，有效提高了系統(tǒng)暫態(tài)響應速度。

4.2.2 電路參數(shù)靈敏度驗證

由第3.2節(jié)分析可知，減小電感L、增大電容C有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性及暫態(tài)性能，為了驗證理論分析的正確性，在本文平坦控制方法下，將電感L減小至200 μH，電容C增大至90 μF，進行實驗。

保持輸出電壓vo=10 V，使輸入電壓Vi從15 V突增至30 V，輸出電流io從500 mA突減至250 mA，輸出電流io從250 mA突增至500 mA，實驗結(jié)果如圖10所示。

圖10 參數(shù)改變后擾動的實驗結(jié)果Fig.10 Experiments of the experiment after the parameter change

分析圖10（a）可知，Vi由15 V突增至30 V時，平坦控制Buck變換器歷時3.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為1.5 V；分析圖10（b）可知，io由500 mA突減至250 mA時，平坦控制Buck變換器歷時2.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為2.0 V；分析圖10（c）可知，io由250 mA突增至500 mA時，平坦控制Buck變換器歷時2.0 ms趨于穩(wěn)定，超調(diào)電壓為2.0 V。與圖8和9對比可知，減小電感L、增大電容C提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性及暫態(tài)性能，驗證了理論分析的正確性。

5 結(jié) 論

以工作于電感電流連續(xù)導電模式Buck變換器為例，提出一種基于狀態(tài)反饋精確線性化的微分平坦控制方法。結(jié)論如下：

1） 建立了變換器的狀態(tài)反饋精確線性化模型，實現(xiàn)了系統(tǒng)的線性化?；诖?，設計了系統(tǒng)前饋控制器，并結(jié)合擾動觀測器實現(xiàn)對輸出電流的補償，提高了系統(tǒng)對外部干擾的魯棒性；設計了誤差反饋補償器，消除了系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。與傳統(tǒng)PI控制方法相比，本文控制方法顯著提高了系統(tǒng)抗干擾能力及暫態(tài)響應速度。

2） 相較于控制器參數(shù)而言，電路參數(shù)是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要因素。減小電感、增大電容有利于提高系統(tǒng)穩(wěn)定性及暫態(tài)性能。

3） 本文所提控制方法具有算法簡單、控制系統(tǒng)性能良好、編程易于實現(xiàn)等優(yōu)點，可推廣至其他工業(yè)應用場合。

下一步研究工作是：將基于精確線性化的微分平坦控制方法應用于電感電流斷續(xù)模式Buck變換器，使得該變換器可工作在寬輸入及寬負載范圍，同時進一步體現(xiàn)該控制方法的工程實用價值。