賞析函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用之美

李加軍 馬麗麗

(北京市第一0一中學(xué)懷柔分校,101407) (山東省濰坊市第七中學(xué),261021)

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中,學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融,構(gòu)成一個有機的整體,集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo),反映當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的主要方向和目標(biāo).

奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性是函數(shù)的常用的基本性質(zhì).在數(shù)學(xué)解題中,充分發(fā)現(xiàn)、分析、利用這些性質(zhì),既可以快速巧妙地解決問題,又可以感受到數(shù)學(xué)給人帶來的魅力和愉悅,有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、求函數(shù)值或最值

(A)8 (B)4 (C)-4 (D)-8

評注上述兩題中f(x)滿足f(x)=g(x)+c,其中g(shù)(x)是奇函數(shù),c為常數(shù),而所研究函數(shù)值對應(yīng)的兩個自變量互為相反數(shù),利用奇函數(shù)g(x)滿足g(x0)+g(-x0)=0,可知f(x0)+f(-x0)=2c.

評注在上述兩題中,從表面上看不易發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)的性質(zhì),此時通過運算進行大膽合理的等價變形,使得f(x)滿足f(x)=g(x)+c,其中g(shù)(x)是奇函數(shù),c為常數(shù),則根據(jù)奇函數(shù)g(x)滿足gmax(x)+gmin(x)=0,可知fmax(x)+fmin(x)=2c.

二、求解方程

例5(2013年復(fù)旦大學(xué)自主招生題)已知ex=4-x,lnx=4-x的兩個解分別是x1,x2,則x1+x2=______.

解令f(t)=et+t-4,則f(t)在R上是單調(diào)增函數(shù).又ex1+x1-4=0 且lnx2+x2-4=0,即eln x2+lnx2-4=0,所以f(x1)=f(lnx2),有x1=lnx2,進而有x1+x2=x2+lnx2=4.

例6(2012年河南預(yù)賽題)若α是方程xex=2 011的解,β是方程xlnx=2 011 的解,則αβ=______.

解令f(t)=tet,易知f(t)=tet在(0,+∞)是單調(diào)增函數(shù),由條件知αeα=2 011 且βlnβ=2 011,即αeα=2 011 且(lnβ)eln β=2 011,所以f(α)=f(lnβ),得α=lnβ,所以αβ=βlnβ=2 011.

評注在上述兩題中,利用其中一個方程構(gòu)造具有單調(diào)性的函數(shù)f(t),滿足f(x1)=c.然后將另一個方程由運算(如取對數(shù)或指數(shù))轉(zhuǎn)化為滿足f(h(x2))=c,再根據(jù)單調(diào)函數(shù)是一一映射的特點可得x1=h(x2),從而使研究問題得以解決.

則cos(x+2y)=______.

解由條件得

令f(t)=t2 011+t2 019+2 010t,則f(t)在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù).又f(x-1)=-f(y-1),所以f(x-1)=f(1-y),得x-1=1-y,即x+y=2.

評注在上述兩題中,將兩個方程經(jīng)過變形構(gòu)造出具有單調(diào)性和奇偶性的函數(shù)f(t),滿足f(s)=c和f(t)=-c,于是f(s)=-f(t),得f(s)=f(-t),從而s=-t,問題可獲解.

三、求函數(shù)值之和

評注在上述兩題中,觀察結(jié)構(gòu)易發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有運算上的對偶性,即f(x)+f(s-x)=c,于是類比等差數(shù)列倒序求和取半的思想方法求得所要計算的結(jié)果.

四、求解不等式

評注在上述兩題中,觀察結(jié)構(gòu)易發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有奇偶性,然后思考探究其單調(diào)性,使問題順理成章得到解決.