還是坐標(biāo)平移好

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,210023)

解析幾何中的坐標(biāo)平移,簡(jiǎn)明清晰,解題時(shí)?？梢杂脕?lái)化繁為簡(jiǎn),而且體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)與變換,應(yīng)當(dāng)引入教材.

以2022年新高考為例,一個(gè)例子是今年新高考全國(guó)I卷第21題,原題如下.

(1)求l的斜率;

x2-2y2=2.

①

更一般地,考慮點(diǎn)A(x0,y0),曲線C:px2+qy2=t.作坐標(biāo)平移

則在uv平面中,A為原點(diǎn),而C的方程變?yōu)?/p>

p(u+x0)2+q(v+y0)2=t,

展開為

pu2+qv2+ru+sv=0,

②

因?yàn)榍€C過(guò)原點(diǎn)A,所以② 式中的常數(shù)項(xiàng)為0,不必計(jì)算,而r=2px0,s=2qy0.

設(shè)直線l的方程為mu+nv=1,則有齊次方程

pu2+qv2+(ru+sv)(mu+nv)=0,

③

它表示過(guò)原點(diǎn)A的直線AP,AQ.

另一個(gè)例子是今年新高考全國(guó)乙卷第20題,很多人反映計(jì)算量大，其實(shí)作一個(gè)平移即可化繁為簡(jiǎn).

(1)求橢圓E的方程;

(2)令v=y+2,平移x軸以A(0,-2)為新的原點(diǎn).則在xv坐標(biāo)系中,E的方程為4x2+3(v-2)2=12,即

4x2+3v2-12v=0.

④

3v=2x,

⑤

設(shè)過(guò)點(diǎn)P(新坐標(biāo)為P(1,0))的直線方程為

x=hv+1.

⑥

M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,v1),(x2,v2)滿足④ 和⑥ 式,所以也滿足4(hv+1)2+3v2-12v=0,即

(4h2+3)v2+(8h-12)v+4=0.

⑦

而v2(3v1-x1)-x2v1

=3v1v2-x1v2-x2v1

=(3-2h)v1v2-(v1+v2)

=0,

所以直線HN過(guò)點(diǎn)A(定點(diǎn)).

真不明白編課程標(biāo)準(zhǔn)的人為什么不將坐標(biāo)平移列入課程.