一道高考解析幾何題的思考與探索

常梨君 金一鳴

(江蘇省常州市田家炳高級中學,213000)

解析幾何在高中數(shù)學學習中占有舉足輕重的地位,近幾年高考對直線與圓錐曲線相交問題的考查更是主流.這類問題的常見解題思路為:將條件和結(jié)論坐標化,聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,利用韋達定理解決問題.解析幾何問題的解題思路是清晰的,但多元變量運算的繁、難是導致學生“畏算”的主要因素.若解題方法選取得當,則會將大大降低運算難度,實現(xiàn)“巧算”.本文以2022年新高考I卷第21題第(1)問為載體,探討解析幾何問題解決的常見解題策略(此題的背景和方法也可推廣到橢圓和拋物線).

一、試題呈現(xiàn)

(1)求l的斜率;

二、解法賞析

1.常見解法

解法1(設而不求)

2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0.

①

當m=1-2k時,直線PQ的方程為y=kx+1-2k,過定點A(2,1),不合題意,舍去.所以k=-1.

評注從結(jié)論出發(fā),設出目標直線PQ的方程(含雙參k,m),借助條件kAP+kAQ=0構(gòu)建k和m的方程,找出k和m的等量關系,得到定值,這是通性通法,易想但運算量不小.

解法2(設而求之)

設直線AP，AQ的斜率分別為k1,k2,點P(x1,y1),Q(x2,y2).

由k1+k2=0,得直線PQ的斜率

評注由kAP+kAQ=0聯(lián)想到設出直線AP,AQ方程,聯(lián)立雙曲線方程求出點P,Q的坐標,再由直線斜率的定義直接求定值,也是常見方法.但此法適用的前提是直線與雙曲線的兩個交點之一已知,利用韋達定理的積式可求另一交點,運算量同樣大.

由同一點出發(fā)的雙曲線的兩條割線(形似),應當具有類似的性質(zhì),如直線的方程、交點的坐標等相似性.以此為基礎,可從函數(shù)與方程的角度出發(fā),構(gòu)造同構(gòu)方程解決問題.

解法3(利用點P,Q在同一直線上構(gòu)造同構(gòu)式)

由題意知直線PQ的斜率存在,可設其方程為y=kx+m,將點P,Q的坐標代入并整理,得

其中的p=2+4k+2m,q=4+4k,r=2k-m+1.

解法4(利用點P,Q是三條曲線的公共點構(gòu)造同構(gòu)式)

由題意可設直線PQ,AP,AQ的方程分別為y=kx+m,y-1=k1(x-2)，y-1=k2(x-2).

能夠稱之為旅游資源的生態(tài)環(huán)境一定是美的、舒適的、自然的，能夠帶給旅游者一定的身心慰藉，帶來舒適的體驗和情緒的是放，這樣的生態(tài)環(huán)境能夠成為旅游資源開發(fā)的重點。因此，要實現(xiàn)地區(qū)旅游資源的開發(fā)和利用，首先應該要保護好、整治好地區(qū)的生態(tài)環(huán)境，不斷提升旅游資源的質(zhì)量和水平，才能將地區(qū)打造成優(yōu)質(zhì)的旅游地帶。

②

其中的p=2+4k+2m,q=4+4k,r=2k-m+1.

同理可得

③

由② ③ 兩式可知k1,k2為方程px2-qx+r=0的兩個不等實根,下同解法3,不難得到k=-1.

評注將形的相似性用相同結(jié)構(gòu)的兩個方程刻畫,多變量方程中提取主元抽象出同構(gòu)方程,是同構(gòu)法解題的基本思路.但由k1+k2=0聯(lián)想到構(gòu)造關于k的二次方程,整體處理,這個視角的轉(zhuǎn)變才是難點,是有數(shù)學高級思維參與的數(shù)學運算,體現(xiàn)了設而不求的解題思想,相應運算量適中.

3.新思路2——齊次化方程法

解法5由直線PQ不過點A,設其方程為m(x-2)+n(y-1)=1.

(4n+2)k2+(4m-4n)k-4m-1=0.

④

評注以公共點A(2,1)為基礎,構(gòu)造出類似結(jié)構(gòu)的割線方程和雙曲線方程;再由k1+k2=0出發(fā),利用“1”的代換,直接構(gòu)造出關于k的二次方程,可謂神來之筆.究其本質(zhì),乃是坐標系平移變換,即將點A(2,1)平移為坐標原點.

4.新思路3——點差法

點差法在解決中點弦問題時有很好的優(yōu)勢,但在數(shù)學教學中不能將這種印象固化為一種技巧.“點差”的本質(zhì)是利用二次方程的加減整體消元,得到斜率與兩個點坐標和的關系式.根據(jù)這個思路,可得解法6.

x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0,

⑤

x1y2+x2y1+(x1+x2)+2(y1+y2)+4=0.

⑥

三、結(jié)束語

《新課標》明確指出:數(shù)學運算是在明晰運算對象的基礎上,依據(jù)運算解決數(shù)學問題的素養(yǎng),要求學生理解運算對象,探究運算方向,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結(jié)果[1].學生基于運算對象選擇的路徑不同,導致的運算長度和繁簡程度也不同.上述六種解法體現(xiàn)了不同數(shù)學思想指導下的不同運算策略的選擇,“設而不求”和“設而求之”是解析幾何中常用的數(shù)學思想,選擇解法1和解法2表明學生“能夠在熟悉的情境中了解運算對象,提出運算問題”,屬于數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平一.后續(xù)四種解法引入了“同構(gòu)”、“齊次化”、“點差”思想,實現(xiàn)了不同程度上的運算簡化,這要求學生要有在綜合情境中創(chuàng)造性地轉(zhuǎn)化運算問題的能力,屬于數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平三.由此可見,高水平的數(shù)學運算一定有邏輯推理的參與.

將解析幾何問題從“聯(lián)立求解”轉(zhuǎn)移到“識圖析圖”,從繁瑣的數(shù)式運算轉(zhuǎn)向分析推理型運算,讓學生體會更多“設而不求”、“整體運算”的計算精髓.只有這樣，才能真正提升運算素養(yǎng),培養(yǎng)學生不怕算的毅力,以適應新高考對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的要求!

(后續(xù))