淺談高中數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)的解題策略

王云龍

（山西省晉中市壽陽縣第一職業(yè)中學(xué)校 山西壽陽 045499）

通常將沒有給出具體解析式，僅給出體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。抽象函數(shù)的表現(xiàn)形式具有較強的抽象性，抽象函數(shù)問題因此成為高中數(shù)學(xué)整個函數(shù)的重難點內(nèi)容之一。關(guān)于抽象函數(shù)的解題方法，目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中多包括賦值法、換元法、湊合法及待定系數(shù)法等多種解題策略。總體來看，對抽象函數(shù)問題的解決，始終需要學(xué)生帶著抽象思維進(jìn)行理解，教師在教學(xué)中仍然要注重學(xué)生抽象思維的激發(fā)和抽象思維運用能力的培養(yǎng)。

一、抽象函數(shù)介紹

1.抽象函數(shù)概念

抽象函數(shù)在一定程度上對立于具體函數(shù)，但并非完全對立。事實上，抽象函數(shù)在具體函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上變化而成，抽象函數(shù)作為函數(shù)的重要內(nèi)容貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)始終。通常以初等函數(shù)為模型的抽象函數(shù)是抽象函數(shù)問題的解題出發(fā)點，通過分析判斷抽象函數(shù)蘊含的性質(zhì)，采用賦值法、換元法等解題方法使其簡單化，從而準(zhǔn)確抓取抽象函數(shù)問題的解題突破口。抽象函數(shù)的基本問題主要是指在沒有給出具體函數(shù)解析式，僅給出能夠體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)或已知關(guān)系的條件，在此情況下要求學(xué)生求解函數(shù)的解析式、函數(shù)值或參數(shù)值、定義域等均屬于抽象函數(shù)的基本問題。由于缺少函數(shù)解析式而導(dǎo)致對抽象函數(shù)問題的理解更加抽象，關(guān)于抽象函數(shù)問題的解題思路和方法相比基本常規(guī)函數(shù)更具復(fù)雜性。

2.抽象函數(shù)解題思路

首先，需要明確抽象函數(shù)問題的必備條件，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對函數(shù)的概念、性質(zhì)特點等進(jìn)行深刻理解并熟練應(yīng)用，以此作為攻克抽象函數(shù)問題的關(guān)鍵點，只有抓住抽象函數(shù)問題的本質(zhì)，明確題目已知的必備條件，才能更好地轉(zhuǎn)換解題思路。對學(xué)生來說，切忌一直抓著抽象函數(shù)解析式這一未知因素不放，容易使學(xué)生走入解題誤區(qū)。抽象函數(shù)的解析式盡管是一個未知函數(shù)，但它具有真實具體、客觀存在的特性，即抽象函數(shù)的相關(guān)特性是具象化的，并非是抽象的，學(xué)生只有認(rèn)識到這一點才能巧妙轉(zhuǎn)換解題思路，對學(xué)生來說應(yīng)當(dāng)重點把握的是具象化的東西。

其次，抽象函數(shù)常用的變化要領(lǐng)主要包括抽象函數(shù)的性質(zhì)與不同變量間的聯(lián)系。學(xué)生要善用抽象函數(shù)的性質(zhì)，一方面利用奇偶性去掉抽象函數(shù)符號“f”前的正負(fù)號；另一方面利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f”。另外，學(xué)生應(yīng)當(dāng)善用洞察抽象函數(shù)中間變量間的關(guān)系。由于抽象函數(shù)多以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，如f（-1/（1+X））等，通過對復(fù)合函數(shù)的概念進(jìn)行理解可以得出-1/（1+X）即為中間變量，-1/（1+X）作為f（X）的自變量，同時-1/（1+X）自身也以X為自變量成為函數(shù)。學(xué)生應(yīng)當(dāng)分析抽象函數(shù)中間變量間的特點與聯(lián)系來進(jìn)行合理變換[1]。

二、抽象函數(shù)解題常見問題

1.抽象函數(shù)求值問題

抽象函數(shù)求值問題采用賦值法，通過觀察并帶入0或1等特殊值來求解，同時學(xué)生要重點考慮函數(shù)定義域及其性質(zhì)作用，如定義域的邊界對抽象函數(shù)問題解題產(chǎn)生的影響。另外，也可采用解方程或解方程組法進(jìn)行求解。

例1：已知定義域為R的函數(shù)f（x）同時滿足（1）f（2）＝1，f（6）＝1/5，（2）f（x·y）＝f（x）+f（y）兩個條件，求f（3），f（9）的值。

解析：令x＝2，y＝3，得f（6）＝f（2）+f（3）?！遞（2）＝1，f（6）＝1/5，∴f（3）＝-4/5.又取x＝y(tǒng)＝3，得f（9）＝f（3）+f（3）＝-8/5.針對抽象函數(shù)求值問題應(yīng)當(dāng)觀察函數(shù)的已知條件與未知間的聯(lián)系，通過合理復(fù)制使得x＝2，y＝3，此時將已知條件f（2）＝1，f（6）＝1/5與未知的f（3）聯(lián)系起來進(jìn)行求解。

2.抽象函數(shù)求奇偶性問題

抽象函數(shù)求證奇偶性問題采用定義法，仍然需要觀察并帶入特殊值進(jìn)行變換，得到滿足奇偶性定義的關(guān)系式進(jìn)行求解。

例1：已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于零的實數(shù)x1，x2，有f（x1·x2）＝f（x1）+f（x2），判斷函數(shù)奇偶性。

解 析：取x1＝-1，x2＝1，得f（-1）＝f（-1）+f（1），∴f（1）＝0.又 取x1＝x2＝-1，得f（1）＝f（-1）+f（-1），∴f（-1）＝0。令x2＝-1，則f（x1·（-1））=f（x1）+f（-1）=f（x1）。即f（-x）=f（x）∴f（x）為偶函數(shù)。

3.抽象函數(shù)求單調(diào)性問題

抽象函數(shù)求證單調(diào)性問題采用定義法，如已知題目為和差式時通過作差f（X1）-f（X2）與0比大小的方式進(jìn)行求解。當(dāng)已知為商積式時需要作商f（X1）/f（X2）與1比大小的方式進(jìn)行求解，此時f（X2）非0。當(dāng)抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式看作給定的運算法則，則函數(shù)變量賦值或變量數(shù)值的分解與組合應(yīng)當(dāng)與抽象函數(shù)已知或所給條件、所求結(jié)果密切關(guān)聯(lián)。

4.抽象函數(shù)求解析式問題

抽象函數(shù)求解析式的問題，一方面，當(dāng)學(xué)生根據(jù)已知條件推斷出函數(shù)模型時可利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；另一方面，當(dāng)學(xué)生無法推知函數(shù)模型時，需要采用解方程（組）法進(jìn)行求解。對抽象函數(shù)解析式的求解仍然是高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)部分的重難點問題之一。關(guān)于抽象函數(shù)求解表達(dá)式問題可采用換元法、湊合法、待定系數(shù)法以及函數(shù)性質(zhì)法、賦值法等多種方法進(jìn)行求解[2]。

利用抽象函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造一個新的方程式，通過與已知方程式進(jìn)行聯(lián)立求解，這是抽象函數(shù)常見題型較多使用的解題思路。關(guān)于抽象函數(shù)題型常用的解題方法包括函數(shù)性質(zhì)法、特殊值法與解方程法等。其中函數(shù)性質(zhì)法是指利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行直接求解或進(jìn)行變換求解，特殊值法是指利用函數(shù)特殊值進(jìn)行求解，解方程法主要通過聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。

三、抽象函數(shù)常見解題策略

1.換元法

對抽象函數(shù)問題的求解采用換元法化函數(shù)抽象為具體，通過分析抽象函數(shù)性質(zhì)特點將其轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)進(jìn)行求解，采用換元法求解時需要注意新元的x取值范圍。換元法適用于抽象函數(shù)問題求解析式的情況，即利用函數(shù)中間變量表示函數(shù)原自變量x的代數(shù)式，進(jìn)而求出函數(shù)f（x），在證明某些公式、等式解題過程中同樣適用，對學(xué)生的靈活變形能夠有著較高要求[3]。

2.圖像示意法

圖像示意法也可被稱為數(shù)形結(jié)合法，圖像示意法在抽象函數(shù)問題求解中應(yīng)用較為普遍，一些示意圖根據(jù)題意作出m個孤立點，借助示意圖將抽象轉(zhuǎn)化為具體化，幫助學(xué)生更直觀地觀察對比函數(shù)，減少學(xué)生的推理難度和計算量。

3.穿脫策略

采用穿脫策略主要是指在已知條件中穿插函數(shù)符號并去掉函數(shù)符號來達(dá)到穿脫的目的，對于一些抽象函數(shù)問題需要根據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)單調(diào)性完成對函數(shù)符號的穿脫，本質(zhì)上在于對抽象函數(shù)問題已知條件的簡化，此時需要利用函數(shù)單調(diào)性定義使問題變得具體化。

4.模型化策略

學(xué)生根據(jù)抽象函數(shù)題目給定的已知關(guān)系進(jìn)行大膽猜想，結(jié)合抽象函數(shù)性質(zhì)生成函數(shù)原始模型，明確函數(shù)猜想目標(biāo)，利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探索和求解。模型化策略法多應(yīng)用于選擇、填空等類型的抽象函數(shù)問題，在解答題中應(yīng)用模型化策略能夠給學(xué)生帶來一定的解題思路，起到指導(dǎo)驗證的作用，運用類比模型使抽象函數(shù)問題變得具體化。

5.賦值法

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，抽象函數(shù)多以復(fù)合函數(shù)方程的形式出現(xiàn)，在對這類抽象函數(shù)進(jìn)行求解時需要讓題目變量取0或1等特殊值來進(jìn)行輔助求解，同時采用賦值法能夠凸顯解題的規(guī)律性[4]。

6.特殊模型法

特殊模型法主要是指結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)特點找出與之對應(yīng)的具體函數(shù)模型，進(jìn)一步研究抽象函數(shù)模型的其他性質(zhì)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的抽象函數(shù)對應(yīng)的具體函數(shù)模型主要包括：（1）當(dāng)抽象函數(shù)f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）時，對應(yīng)特殊函數(shù)模型為f（x）＝k x（k≠0）；當(dāng)f（x1+x2）＝f（x1）·f（x2）時，f（x）＝ax（a＞0且a≠1）；當(dāng)f（x1·x2）＝f（x1）+f（x2）時，f（x）＝logax（a＞0且a≠1）；當(dāng)f（x1·x2）＝f（x1）·f（x2）時，f（x）＝xa（a為常數(shù)）等，包括線性函數(shù)模型抽象函數(shù)、二次函數(shù)型抽象函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性抽象函數(shù)、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)。

7.函數(shù)性質(zhì)法

通過函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)函數(shù)的特征，包括單調(diào)性、奇偶性、對稱性及特殊點等性質(zhì)反映函數(shù)特征。在求解抽象函數(shù)問題時需要充分挖掘已知條件下表明或隱藏的函數(shù)性質(zhì)，進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，化抽象為具體，化難為易。由函數(shù)性質(zhì)法衍生出來的解題策略主要包括奇偶性整體思考法、單調(diào)性等價轉(zhuǎn)換法、周期性回歸已知法以及對稱性數(shù)形結(jié)合法等[5]。

例1：已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+2）[1-f（x）]＝1+f（x），求證當(dāng)f（1）＝2＋√3，求f（2001），f（2005）的值。

解析：由條件可知，f（x）是周期為8的周期函數(shù)。f（2001）＝f（1）＝2＋√3。f（2005）＝f（5）＝f（1+4）＝-1/f（1）＝ -1/（2＋√3）＝-2＋√3。

關(guān)于抽象函數(shù)中的奇偶性，通常對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，有f（-x）＝f（x）或f（-x）＝f（x），則稱f（x）為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)或偶函數(shù)。通常奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的原點關(guān)于y軸對稱。

例2：已知函數(shù)f（x）對于任意實數(shù)x、y滿足f（x y）＝f（x）+f（y），判斷f（x）的奇偶性。

解析：令y＝-1，得f（-x）＝f（x）+f（-1），又f（-1）＝0，即f（-x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)。

關(guān)于抽象函數(shù)中的周期性，對于函數(shù)f（x）若存在非零常數(shù)T，當(dāng)x取定義域內(nèi)每一值時有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）稱為周期函數(shù)，非零常數(shù)z叫做函數(shù)的周期。如f（x+1）＝f（x），則T＝1（1為非零常數(shù)，且1為函數(shù)周期）。當(dāng)f（x+z）＝-f（x），則T＝2z（z為非零常數(shù)）。

例3：已知f（x）是R上的奇數(shù)，且f（x+3）＝-f（x），求解f（2004）的值。

解析：∵f（x+3）＝-f（x），∴f（x+6）＝f（x+3+3）＝-f（x+3）＝f（x），即周期＝6.又∵f（x）是R上的奇數(shù)，此時有f（0）＝0，因此f（2004）＝f（6×334）＝f（0）＝0。從解題步驟抓取題目關(guān)鍵點，∵f（x+3）＝-f（x），以此得出抽象函數(shù)的周期值為6；當(dāng)奇函數(shù)f（x）在x＝0處有定義，此時必有f（0）＝0。

關(guān)于抽象函數(shù)中的單調(diào)性，假設(shè)函數(shù)f（x）定義域為M，對于M定義域內(nèi)的任何一個區(qū)間上的任意兩個變量值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，此時有f（x1）＜f（x2）或fx1＞f（x2），即f（x）在m區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)。

例4：當(dāng)定義在M區(qū)間的函數(shù)同時滿足（1）（2）兩個條件：（1）f（x+y）＝f（x）+f（y），x，y∈M；（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，且f（1）＝-2.此時求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值。

解析：有已知條件（1）可得出f（x）為奇函數(shù)，∵x1＞x2＞0時，f（x1）-f（x2）＝f（x1）+f（-x2）＜0，∴f（x）是M區(qū)間上的減函數(shù)。由此得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值為6和-6.

四、關(guān)于抽象函數(shù)解題的幾點思考

高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題是學(xué)生思維發(fā)散的過程，從理解問題到探索和轉(zhuǎn)換問題，直至最后解決問題，形成完整的思維活動。在解題思維活動過程中，為保證學(xué)生猜想、假設(shè)、觀察、聯(lián)想方向的準(zhǔn)確性，一些解題思路、解題策略方法的應(yīng)用尤為重要?？傮w來看，依據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)特點，學(xué)生在解題抽象函數(shù)問題時應(yīng)多考慮以下幾方面掌握解題方法，包括熟悉化、簡單化、具體化、直觀化即整體化等解題策略[6]。

結(jié)語

高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題策略的探索應(yīng)用旨在幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，將抽象的函數(shù)性質(zhì)特征變得具體化。為此，本文以抽象函數(shù)概念特點為出發(fā)點，重點引出抽象函數(shù)解題常見問題，以此為研究背景分別提出幾點具體的解題策略，并附上相應(yīng)的解題案例以供參考。關(guān)于抽象函數(shù)解題是學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵過程，解題方法的應(yīng)用程度決定了學(xué)生解題思路方向的正確性。