有向圖的頂點(diǎn)加權(quán)zeta 函數(shù)

楊文玲， 朱 林

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海200093）

1 問題的提出

所有zeta 函數(shù)中最原始且最出名的就是Riemann zeta 函數(shù)。在此之后，許多數(shù)學(xué)家定義并研究了各種不同數(shù)學(xué)對象的zeta 函數(shù)。20 世紀(jì)60 年代，Ihara[1]定義了正則圖上的Ihara zeta 函數(shù)并證明了正則圖的Ihara zeta 函數(shù)的倒數(shù)是一個多項(xiàng)式。Sunada[2-3]將正則圖G的 zeta 函數(shù)與G的基本群的酉表示聯(lián)系起來。Bass[4]將Ihara 的結(jié)果進(jìn)一步推廣到了非正則圖，并給出了相應(yīng)的行列式表達(dá)式。Stark 等[5]給出了Bass 定理的一個初等證明，并討論了任意圖的3 種不同類型的zeta 函數(shù)。此外，F(xiàn)oata 等[6]和Kotani 等[7]用 不 同 的 方 法 證 明了Bass 定理。Mizuno 等[8-10]逐步定義了有向圖的Ihara zeta 函數(shù)、有向圖和無向圖的邊加權(quán)Ihara zeta 函數(shù)，并給出了這些zeta 函數(shù)的行列式表達(dá)式。2007年，Horton[11]討論了有向圖的Ihara zeta 函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。2019 年，Konno 等[12]通過給無向圖的頂點(diǎn)加權(quán)，定義了圖G的一個新的加權(quán)Ihara zeta 函數(shù)，并給出了它的行列式表達(dá)式。2021 年，Zhu[13]定義了圖G的一個頂點(diǎn)加權(quán)Bartholdi zeta 函數(shù)，并給出其行列式表達(dá)式。

本文定義了有向圖的頂點(diǎn)加權(quán)zeta 函數(shù)，并給出了它的行列式表達(dá)式，這一結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果。

本文中出現(xiàn)的有向圖都是有限的。令G是有向圖，其頂點(diǎn)集與有向邊集分別用V(G)和D(G)表示，其中，|V(G)|=n， |D(G)|=m。對于有向邊e=(u,v)∈D(G)， 頂點(diǎn)u稱 為有向邊e的 起點(diǎn)，記為o(e)，v稱為有向邊e的終點(diǎn)，記為t(e)。 當(dāng)e=(u,v)滿足o(e)=t(e)時 ，稱e=(u,v)是一個自環(huán)。有相同起點(diǎn)和終點(diǎn)的有向邊稱為重邊。本文研究的有向圖不含自環(huán)和重邊。當(dāng)t(e)=o(f)時 ，稱有向邊e與f相鄰，再 者，若t(e)=o(f)，t(f)=o(e)， 則 稱f是e的逆，記為f=e-1， 反之亦然。對于v∈V(G) ，degG+(v)=|{e∈D(G):t(e)=v}|和 degG-(v)=|{e∈D(G):o(e)=v}|分別稱為v的入度和出度。

令P=(e1,e2,···,er)在有向圖中，如果對任意的i=1,2,···,r，有ei∈D(G)， 且對任意的ei，i=1,2,···,r-1， 有t(ei)=o(ei+1)， 則P=(e1,e2,···,er) 是G中的一條路，并且稱路P的長度 |P|=r。若在路P中存在一個ei(i=1,2,···,r-1)， 有ei+1=e-i1，則稱路P是有回路的。且對上述路P，若進(jìn)一步有t(er)=o(e1)，則稱P為一個圈。為了方便，本文統(tǒng)一用C表示圈。Cs為C的 冪，其中，Cs表 示C繞自己s圈 。若C不能表示成更小圈的冪，則C是素圈。

若圈C和C2無回路，則C是約化的。對圈C1=(e1,e2,···,er)，C2=(f1,f2,···,fr)，若存在正整數(shù)k，使得對所有的j∈{1,2,···,r}， 有fj=ej+k，其中，下標(biāo)關(guān)于模r同余，則C1與C2等 價。令 [C]是包含圈C的等價類。

在文獻(xiàn)[1]中，當(dāng)u∈C 且 |u|足 夠小，圖G的 Ihara zeta 函數(shù)定義為

Foata 等[6]運(yùn)用Lyndon 字和Amitsur 恒等式給出了圖的Ihara zeta 函數(shù)的行列式表達(dá)式的一個新的證明。給定一個有限全序集X， 考慮X上的所有字組成的集合X?， 且X?上有自然的字典序，它由X上的全序誘導(dǎo)。全序集X中的Lyndon 字 π是X?中的一個非空字，滿足在其循環(huán)重排類中最小且 π不能寫成更短的字的冪次。

令M1,M2,···,Mk是階數(shù)相同的方陣，L是 {1,2,···,k}上 所有Lyndon 字的集合。對于L中的每個Lyndon 字 π=i1i2···ip， 記Mπ=Mi1Mi2···Mip，那么，Amitsur 恒等式為[14]

2 有向圖的頂點(diǎn)加權(quán)zeta 函數(shù)

3 例 子

圖1 有向圖GFig. 1 DigraphG