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    涉及導(dǎo)曲線與分擔(dān)超平面的正規(guī)定則

    2022-11-24 03:33:14范楚君劉曉俊
    關(guān)鍵詞:超平面子集曲面

    范楚君, 劉曉俊

    (上海理工大學(xué) 理學(xué)院 上海 200093)

    1 問題的提出

    正規(guī)族理論的核心問題是關(guān)于正規(guī)定則的研究,其發(fā)展主要分為兩大板塊:一是亞純函數(shù)正規(guī)族的研究,這方面的主要方法有Zalcman 引理以及涉及導(dǎo)數(shù)的Pang-Zalcman 引理;二是關(guān)于一般復(fù)流形間全純映射族的正規(guī)定則。

    則當(dāng)t=3,4,5時(shí) , F在D上正規(guī)。

    定理6 是對定理4 和定理5 結(jié)果的進(jìn)一步推廣。

    事實(shí)上,對于N=3而 言,當(dāng)t=3,即超平面處于一般位置時(shí),只須要求 2t+2=8個(gè)超平面即可。

    2 定義與符號(hào)

    先介紹 PN(C)相關(guān)的定義與符號(hào)[5]。

    PN(C)=CN+1{0}/~是N維復(fù)射影空間。對任意x=(x0,x1,···,xN),y=(y0,y1,···,yN),x,y∈CN+1{0},x~y當(dāng) 且僅當(dāng)存在某個(gè) λ ∈C, 使得(x0,x1,···,xN)=λ(y0,y1,···,yN)。 (x0,x1,···,xN) 的等價(jià)類記作[x]=[x0:x1:···:xN],則

    PN(C)上可引入一個(gè)自然的度量,即對于點(diǎn)[ω]和 [ω′]之 間的 距 離,采用 CN+1中 2 個(gè)圓 γ 和 γ′之間的歐幾里得距離來表示,其中, γ 和 γ′分別代表在球面S2N+1上 的這2 個(gè)點(diǎn)(這里取 |ω|=|ω′|=1)。簡單計(jì)算可得

    再假設(shè) ω′=ω+dω , 并舍去關(guān)于 |dω|的二階以上的小量,得到相應(yīng)的度量形式:

    定義1 設(shè)U?D是 開集,若f0,f1,···,fN在U內(nèi)全純且沒有公共零點(diǎn),則稱f? =(f0,f1,···,fN)是f的一個(gè)既約表示。

    對全純曲線f的任何一個(gè)既約表示f?,定義全純函數(shù)

    再取

    定義2 設(shè)f=[f0:f1:···:fN]:D→PN(C)是一個(gè)全純曲線,z∈D, 再設(shè)f?是f在z處的任何一個(gè)既約表示,記

    其中, α?=(a?0,a?1,···,a?N)T為非零法向量,?=1,2,···,q。

    按照文獻(xiàn)[6]中關(guān)于t次一般位置的定義,有定義4。

    定義4 設(shè)N,t,q均 為正整數(shù),且t≥N,q≥2t-N+1。稱 超 平 面H1,H2,···,Hq?PN(C)處 于t次 一 般 位置,當(dāng)且僅當(dāng)對任意集合P?{1,2,···,q}, #P=t+1,存在單射μ :{0,1,···,N}→P, 使得Hμ(0),···,Hμ(N)處于一般位置。#P表示集合P中元素的個(gè)數(shù)是t+1 個(gè)。

    而對于超曲面的情形,有定義5。

    定義5[7]設(shè)M?PN(C)是一個(gè)非空閉子集,t是一個(gè)正整數(shù),Q1,Q2,···,Qq是 PN(C)中q(≥t+1)個(gè)超曲面,稱它們關(guān)于M處于t次一般位置,如果對任意 {i0,i1,···,it}?{1,2,···,q},有

    3 主要引理

    1991 年,Aladro 等[8]將Zalcman 引理進(jìn)行推廣,得出結(jié)論:由雙曲區(qū)域映射到一般的Hermite流形上的全純映射族仍滿足Zalcman 引理。這為正規(guī)族理論的發(fā)展開創(chuàng)了新的方向。

    引理1 設(shè) F是一族從 Cm中 的雙曲區(qū)域 Ω映到PN(C)的 全純映射。 F 在 Ω上不正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)存在子列 {fn}?F ,點(diǎn)列 {zn}?Ω 滿 足zn→z0∈Ω,正數(shù)列 { ρn}滿 足 ρn→0+,使得

    在 Cm上 內(nèi)閉一致收斂于從 Cm映 射到 PN(C)的非常值全純映射g(ξ)。

    在主要定理的證明過程中,還需要如下的引理2。

    引理2(Hurwitz 引理)[2]設(shè) {fn(z)}是定義在區(qū)域D?C內(nèi) 的一列全純函數(shù),a∈C是任意一個(gè)復(fù)數(shù),且設(shè)fn(z)在D的任意一個(gè)緊子集上一致收斂于非常值的全純函數(shù)f(z)。 若存在點(diǎn)z0∈D,使得f(z0)=a, 則對于每一個(gè)充分大的n, 方程fn(z)=a在D內(nèi) 有根。此外,存在z0的 某鄰域U,使得f(z)-a在U內(nèi)根的總數(shù)與fn(z)-a在U內(nèi)根的總數(shù)相同(計(jì)重?cái)?shù))。

    1999 年,Eremenko 證 明 了 一 個(gè)Picard 型 定理,即引理3。

    引理3[9]設(shè)f:C →X是一條全純曲線,其中X是 PN(C)中 的一個(gè)閉子集。再設(shè)Q1,Q2,···,Q2t+1是PN(C)中 的超曲面,關(guān)于X處于t次 一般位置。若f不取Qi, 即〈f,Qi〉≠0, 1 ≤i≤2t+1, 則f必為常映射。

    為了便于輔助主要定理的證明,將引理3 推導(dǎo)為引理4。

    引理4[7]設(shè)f:C →PN(C)是一條全純曲線,H1,H2,···,Hq均 是 PN(C)中 處于t次一般位置的超平面,其中,q≥2t+1,t≥N,若對每個(gè)i∈{1,2,···,q},f不取Hi, 或者f(C)?Hi,則f必為常映射。

    引 理5[3]設(shè)g=[g0:g1:···:gN]:C →PN(C)是一條有窮級(jí)的全純曲線,且g0(ζ)?0,N≥2是一個(gè)整數(shù)。H?={x∈PN(C):〈x,α?〉=0}是 PN(C)中處于一般位置的超平面,且其第一系數(shù)a?0均不為零,?=1,2,···,N+1.g?(ζ)=(g0,g1,···,gN)(ζ)是g的 任 意既約表示,令

    若G?(ζ)≠0且G?′(ζ)≠0, ζ ∈C , 則g是線性退化的。

    引理6[10]設(shè)f(z)為 整函數(shù),若f(z)的球面導(dǎo)數(shù)f#(z) 有 界,則f(z)的級(jí)最多為1。

    4 主要定理的證明

    4.1 定理3 的證明

    b.若p2=0 , 則p0,p1不全為零。

    (a)若p1≠0 , 則g1,g3可 由g0,g2線 性 表 出,類似于a 的證明,矛盾;

    (b)若p0≠0,p1=0 , 而g0≠0,矛盾。

    因此, F在D上正規(guī)。

    當(dāng)N=3,t≥4時(shí) ,所需超平面的個(gè)數(shù)會(huì)隨著t值的增長而增加。目前,仍未能找到明確的上界。

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