廣義河床流體模型方程單調(diào)遞減扭狀孤波解的漸近穩(wěn)定性

張 坤， 汪成偉， 張衛(wèi)國(guó)

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

廣義河床流體模型方程

是一個(gè)重要的模型方程，其中，δ ≥0，f(u)=βup+1，p為任意的正整數(shù)，常數(shù) β ＞0。 不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)p=1時(shí)，式(1)即化為河床流體模型方程

方程(2) 源自于兩相流體模型的研究[1-5]。當(dāng)ε=δ=0，p=1時(shí)，方程(1)即化為KdV 方程[6]

當(dāng) δ =0，p=1時(shí)，方程(1)可以化為KdV-Burgers方程[7-12]

當(dāng) δ =0，p=2時(shí)，方程(1)可以化為MKdV-Burgers方程[13-16]

文獻(xiàn)[3-5]用數(shù)值分析法研究了方程(2)在條件

下的周期初邊值問題，文獻(xiàn)[3-4]的研究證明，對(duì)周期初邊值問題(2)和(3)采用通常的差分方法及Galerkin 有限元法得到的差分格式是不穩(wěn)定的。為此，文獻(xiàn)[4]利用特殊技巧給出了其在空間方向上的一個(gè)半離散穩(wěn)定的差分格式。文獻(xiàn)[5]用穩(wěn)定化有限元法的思想，對(duì)問題(2)和(3)在一定條件下給出了一種全離散的穩(wěn)定的差分格式，并用能量法證明了該差分格式的非線性穩(wěn)定性及收斂性。

若 耗 散 系 數(shù) ε,δ 滿 足 ε+cδ ＜-λ0(ε+cδ ＞λ0)，則方程(2)有唯一的單調(diào)遞減(遞增)扭狀孤波解；

若耗散系數(shù) ε ,δ 滿足- λ0＜ε+cδ＜0(0＜ε+cδ＜λ0)，則方程(2)有唯一的衰減振蕩解。

文獻(xiàn)[17] 求出了在耗散作用較小(即|ε+cδ|＜λ0)時(shí)，方程(2)衰減振蕩解的近似解，且給出了近似解與真解的誤差估計(jì)。但文獻(xiàn)[17]并沒有研究當(dāng) ε+cδ ＜-λ0時(shí)方程(2)單調(diào)遞減扭狀孤波解的穩(wěn)定性。

受文獻(xiàn)[17]的啟發(fā)，本文將研究廣義河床流體 模 型 方 程(1) 在 耗 散 系 數(shù) ε,δ滿 足ε+cδ ＜-λ?(λ?待求) 時(shí)，單調(diào)遞減行波解u(ξ)的存在性，以及其是否具有漸近穩(wěn)定性的問題。

2 方程(1) 單調(diào)遞減扭狀孤波解的存在性

運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)的理論[19-21]來研究方程(1)在ε+cδ ＜-λ?情況下單調(diào)遞減行波解的存在性。

設(shè)方程(1) 具有行波解u(t,x)=u(ξ)=u(x-ct)，則u(ξ)滿足

其中，c為波速。對(duì)上式關(guān)于 ξ積分一次，可得

這里的k是積分常數(shù)。由于本文主要研究的是系統(tǒng)的耗散效應(yīng)，假設(shè)所研究的行波解滿足

由此，在假設(shè)式 (4) 和 式 (5)條件下，方程(1) 的行波解滿足

在接下來的討論中，始終假設(shè)方程(1)的行波解滿足式(4)和式(5)。

令x=u(ξ)，y=u′(ξ)，則方程(6)等價(jià)于如下平面動(dòng)力系統(tǒng):

由于方程(6)的有界解對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(7)的有界軌線。 因此，可以通過研究系統(tǒng)(7)的有界軌線及其性態(tài)來研究方程(6)的解及性態(tài)。

命題1 當(dāng) ε+cδ ≠0時(shí) ，系統(tǒng)(7) 在 (x,y)平面上不存在閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。進(jìn)而當(dāng) ε+cδ ≠0時(shí)，方程(1)不存在周期波解和鐘狀孤波解。

在平面 (x,y)上，系統(tǒng)(7)的有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)依賴于代數(shù)方程f(x)=βxp+1-cx=0 。 記x0=0，x1=(c/β)1/p，x2=-x1。 對(duì)于f(x)=0的實(shí)根，有以下結(jié)果：

a. 若c＞0， 當(dāng)p為 偶數(shù)時(shí)，方程f(x)有3 個(gè)不同 的 實(shí) 根x0，x1，x2； 當(dāng)p為 奇 數(shù) 時(shí)，方 程f(x)有2 個(gè)不同的實(shí)根x0，x1。

b. 若c＜0， 當(dāng)p為 偶數(shù)時(shí)，方程f(x)僅有1 個(gè)實(shí)根x0； 當(dāng)p為 奇數(shù)時(shí)，方程f(x)有2 個(gè)不同的實(shí)根x0，x1。

由于系統(tǒng)(7) 在c＜0且p為偶數(shù)時(shí)只有1 個(gè)奇點(diǎn)，故在 ε+cδ ≠0情況下方程(1)不存在有界行波解，所以，將不考慮這種情況。

因 此，J(xi,0)的 行 列 式 即 det(J(xi,0))等 于f′(xi)，i=0, 1, 2。 用 Δi表 示特征方 程在Pi(xi,0)處 的判別式，Δi=(ε+cδ)2-4f′(xi)，i=0, 1, 2。 從而可知Δ0=(ε+cδ)2+4c，Δ1=(ε+cδ)2-4pc； 如 果p為 偶 數(shù)，則有 Δ1=Δ2。

接下來運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法[19-21]討論系統(tǒng)(7) 奇點(diǎn)的類型，并給出在條件ε+cδ ＜0下的全局相圖。

在條件ε +cδ ＜0 下 ，由于d et(J(0,0))=f′(0)=-c，易 知 當(dāng)c＞0時(shí) ，P0為 鞍 點(diǎn)；當(dāng)c＜0且 Δ0＞0時(shí)，P0為 不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng)c＜0且 Δ0＜0時(shí) ，P0為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。奇點(diǎn)Pi的類型如下所示：

a. 若c＞0， 當(dāng)p為 偶數(shù)時(shí)，由于det(J(xi,0))=f′(xi)＞0 ， 當(dāng) Δ1＞0時(shí) ，Pi(i=1,2)為 不 穩(wěn) 定 的 結(jié)點(diǎn)；當(dāng) Δ1＜0時(shí) ，Pi(i=1,2)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，由于 det(J(x1,0))=f′(x1)＞0， 當(dāng)Δ1＞0時(shí) ，P1為 不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng) Δ1＜0時(shí) ，P1為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

b. 若c＜0， 當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，系統(tǒng)(7)有2 個(gè)奇點(diǎn)P0(0,0)和P1(x1,0)。 又 因 為det(J(x1,0))=f′(x1)＜0， 故P1為鞍點(diǎn)。

用Poincare 變換對(duì)系統(tǒng)(7) 作無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)分析，易知在y軸的正負(fù)2 個(gè)方向上有一對(duì)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)A1和A2。 其 中，A1位 于y軸 的 正 半 軸，A2位于y軸的負(fù)半軸。當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)Ai(i=1, 2)周圍存在1 個(gè)雙曲型區(qū)域；當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)Ai(i=1, 2)周圍存在1 個(gè)拋物型區(qū)域。此外，Poincare 圓盤的圓周為軌線。

根據(jù)上述定性分析，可以得到系統(tǒng)(7) 在ε+cδ ＜0條件下的全局相圖，如圖1 所示。

由圖1 可以得到命題2。

命題2 設(shè) ε +cδ ＜0。 若c＞0，p為偶數(shù)，系統(tǒng)(7)存在2 個(gè)異宿軌線L(P1,P0)和L(P2,P0)(圖1(a)和(b))；當(dāng)p為 奇 數(shù) 時(shí)，無 論c＞0或c＜0，系統(tǒng)(7) 均 存 在1 個(gè) 異 宿 軌 線L(P1,P0)或L(P0,P1)(圖1(c)～(f))。

由于平面動(dòng)力系統(tǒng)中的同宿軌和閉軌對(duì)應(yīng)于相應(yīng)非線性發(fā)展方程的鐘狀孤波解和周期波解，異宿軌對(duì)應(yīng)于扭狀孤波解或振蕩行波解等。因此，由命題2 和圖1 可以得到定理1 和定理2。

定理1 設(shè) ε+cδ ＜0， 若c＞0，p為偶數(shù)，方程(1)有2 個(gè)有界行波解(對(duì)應(yīng)于圖1(a)和(b)中的異宿軌線L(P1,P0)和L(P2,P0)) ；當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，無論c＞0或c＜0，方程(1) 均有1 個(gè)有界行波解(對(duì)應(yīng)于圖1(c) ～ (f)中的異宿軌線)。

圖1 ε +cδ<0時(shí)的全局相圖Fig.1 Global phase diagrams when ε+cδ<0

現(xiàn)給出方程(1)的有界行波解受耗散作用影響的有關(guān)結(jié)論。

由于行波解u(ξ)在 沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)其形狀與波速保持不變，不失一般性，假設(shè) ξ ?1=0 或ξ1=0，則定理2 的結(jié)論b 所描述的振蕩行波解的性態(tài)如圖2所示。

圖2 c >0,-2 <ε+cδ<0時(shí)的振蕩行波解示意圖Fig.2 Schematic diagramsofoscillatory travelingwavesolutionswhen c＞0,-2 <ε+cδ<0

3 廣義河床流體模型方程扭狀孤波解的重要性質(zhì)

故存在常數(shù)C，使得

現(xiàn)將式(24)兩邊同乘 e(ε+δc)ξ，有

4 單調(diào)遞減扭狀孤波解漸近穩(wěn)定性定理

考慮方程(1)的初值問題，初值條件為

將式(31)對(duì) ξ進(jìn)行積分，并令積分常數(shù)為0，則有

定理4 的證明可分成擾動(dòng)方程初值問題(32)和問題(34) 解的整體存在性和漸近穩(wěn)定性兩部分。先給出初值問題(32)和問題(34)解的整體存在性。

定理5 假設(shè) Φ0∈H2， 則存在與u±無關(guān)的常數(shù)μ1,γ1(γ1≤γ0) 和 正 常 數(shù)C1， 使 得 當(dāng) |u--u+|≤μ1和N0=‖Φ0‖H2+‖Φ0ξ‖H1≤γ1，初 值 問 題(32) 和 問題(34)的解 Φ在X(0,∞)中是全局唯一存在的，且對(duì)任意的t∈[0,∞)滿足

其中， Φξ由 式(31)定義， Φ0ξ為其初值。

為證明定理5，需要在局部解存在性的基礎(chǔ)上給出一致先驗(yàn)估計(jì)。關(guān)于初值問題(32) 和問題(34)的解的局部存在性，有命題3。

命題3 (局部存在性) 假設(shè)N0≤γ0，則存在正常數(shù)T0(γ0)使 得問題(32) 和問題(34) 有唯一解Φ ∈X(0,T0)，且滿足

命題3 可以利用Galerkin 方法或不動(dòng)點(diǎn)定理按標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行證明(可參考文獻(xiàn)[25-26]等)。這里由于篇幅限制，省略證明過程。

在以下的推理過程中將用到2 個(gè)不等式，現(xiàn)以引理的形式給出。

故式(37)可寫為

綜合不等式 (55)～(58)，對(duì)式(54)右端有下列估計(jì)：

現(xiàn)在已經(jīng)得到了初值問題(32) 和問題(34)的解的局部存在性和一致先驗(yàn)估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，通過連續(xù)性討論來證明定理5。

現(xiàn)給出定理4 的證明。

故定理4 得證。

通過以上對(duì)定理4 的證明，可得出廣義河床流體模型方程(1)的單調(diào)遞減扭狀孤波解具有漸近穩(wěn)定性。