一類反應(yīng)-擴(kuò)散-對(duì)流方程的平衡解分析

王 燕

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023）

反應(yīng)擴(kuò)散方程一般用來描述生物種群或化學(xué)物質(zhì)的擴(kuò)張和傳播問題.在實(shí)際情況中由于受到各種環(huán)境因素的影響, 這種擴(kuò)張行為往往具有某種方向性[1-2], 可用方程中的對(duì)流項(xiàng)來刻畫這種具有方向性的移動(dòng)[3-5].文獻(xiàn)[6]分析了方程(1)的自由邊界問題(這里反應(yīng)項(xiàng)f(u)為Fisher-KPP類型):

其中u=u(t,x), t ＞0, x ∈I ??, β ＞0, 得到了解的全局存在唯一性、擴(kuò)張滅亡二分性以及漸近擴(kuò)張速度的估計(jì).若考慮反應(yīng)項(xiàng)f(u)是雙穩(wěn)態(tài)型時(shí)的自由邊界問題, 則其中判斷問題的解是否收斂于某一個(gè)平衡解是非常基礎(chǔ)而關(guān)鍵的一個(gè)問題, 因此本文討論當(dāng)f是雙穩(wěn)態(tài)型非線性項(xiàng)時(shí)方程(1)的平衡解類型.

1 問題描述

由于方程來自生態(tài)模型或化學(xué)模型, 其中u 表示物質(zhì)的密度, 故由解u的非負(fù)有界性, 只研究方程(1)的非負(fù)有界平衡解,即下述方程的非負(fù)有界解:

其中v=v(x),x ∈I ??.

方程(2)等價(jià)于如下二維系統(tǒng):

系統(tǒng)(3)的每一個(gè)解( v( x ),w( x ))對(duì)應(yīng)著相平面v-w 上的一條軌線, 并在軌線上任意w ≠0 的點(diǎn)處斜率為

下面考慮非線性項(xiàng)f 為雙穩(wěn)態(tài)型情形, 即f ∈C1([ 0,+∞)) 且滿足

2 平衡解分析

2.1 相圖分析

對(duì)于f 是雙穩(wěn)態(tài)型情形, 系統(tǒng)(3)在v ≥0 半平面上有且只有3 個(gè)平衡點(diǎn), 即點(diǎn)(0,0)、(θ,0)和(1,0).經(jīng)計(jì)算可得(0,0)、(θ,0)和(1,0)所對(duì)應(yīng)的特征值分別為:

這里只考慮0＜β ＜c0的情況, 其中c0是方程ut=uxx+f(u)唯一的行波解的波速[7].因?yàn)樵谶@種情況下f"(0)＜0, f"(1)＜0, 所以對(duì)任意的β ∈(0,c0), (0,0)和(1,0)是鞍點(diǎn).當(dāng)時(shí),(θ,0)是兩向結(jié)點(diǎn);當(dāng)時(shí), (θ,0) 是 單 向 結(jié) 點(diǎn); 當(dāng)β ＜時(shí),(θ,0)是焦點(diǎn).

先考慮方程(2)在v-w 相平面的第一象限中落到(1,0)的軌線Γ1.將它與方程

命 題1: 設(shè)β ∈(0,c0), 則 方 程(2)存 在 唯 一 解Ul∈C2([ 0,+∞)),滿足下列條件

證明: 因?yàn)榉匠?2)滿足條件(6)的解對(duì)應(yīng)于v-w相平面中的軌線Γ1,分三步來討論軌線Γ1的位置.

①先證: 存在ε ＞0, 使得當(dāng)v ∈[1-ε,1)時(shí), 軌線Γ1在軌線-Γ1的上方.

②再證: 當(dāng)v ∈(0,1-ε)時(shí), 軌線Γ1與軌線不能相交.

方程(5)等價(jià)于如下二維系統(tǒng)

假設(shè)軌線Γ1與軌線在(0,1-ε)內(nèi)有交點(diǎn), 記為(v0,w0).則由該假設(shè)以及第一步的證明結(jié)果可知

再利用方程(4)和方程(8)在點(diǎn)(v0,w0)處作比較可知, 當(dāng)β ∈(0,c0)且v0∈(0,1-ε)時(shí), 有這與(9)式矛盾.從而假設(shè)不成立, 即軌線Γ1與軌線在(0,1-ε)間不會(huì)相交.

③最后證:軌線Γ1不能經(jīng)過點(diǎn)(0,0).

記方程(10)在v-w 相平面的第一象限中落到(1,0)的軌線為由于當(dāng)且僅當(dāng)c=c0時(shí), 方程v""-cv"+f(v)=0 在相平面的第一象限內(nèi)存在唯一的連接(0,0)和(1,0)的軌線再利用前兩步的證明方法可知, 當(dāng)v ∈[0,1)時(shí), 軌線嚴(yán)格在軌線的上方,即軌線是第一象限內(nèi)連接某正則點(diǎn)和(1,0)的軌線.再用同樣的方法去比較軌線Γ1和軌線可知,軌線Γ1嚴(yán)格在軌線的上方,即軌線Γ1是第一象限內(nèi)連接某正則點(diǎn)和(1,0)的軌線.

綜上所述,命題1結(jié)論成立.

為了確定方程(2)的完整相圖, 只需要再確定軌線Γ2與軌線Γ3的位置關(guān)系, 其中軌線Γ2是從點(diǎn)(0,0)出發(fā), 經(jīng)過第一象限的軌線; 軌線Γ3是從第四象限落到點(diǎn)(0,0)的軌線.其他軌線可由向量場方向以及在正則點(diǎn)處軌線不能相交這兩個(gè)事實(shí)來確定.這里記軌線Γ2從點(diǎn)(0,0)出發(fā)經(jīng)過第一象限后落到v軸 上 的 點(diǎn) 為軌 線Γ3從v 軸 上 的出發(fā)經(jīng)過第四象限后落到點(diǎn)(0,0).

命題2:設(shè)β ∈(0,c0),則有

證明:記方程

將 軌 線Γ2與 軌 線作 比 較.任 取v0∈將方程(4)兩邊乘以w, 然后在(0,v0)上積分,得

即

即

用同樣的方法比較軌線Γ3與軌線可得,在第四象限的公共范圍上, 軌線Γ3嚴(yán)格在軌線的上方,故

綜上可知,命題2的結(jié)論成立.

由命題1、命題2 及平衡點(diǎn)分析等, 可以畫出方程(2) 在β ∈(0,c0) 情 形 時(shí) 完 整 的 相 圖.當(dāng)時(shí),(θ,0)是焦點(diǎn), 此時(shí)的相圖如圖1 所示; 當(dāng)時(shí),(θ,0)是結(jié)點(diǎn),此時(shí)的相圖如圖2所示.

圖1 取非線性項(xiàng)f(u) = 8u(1- u)(u - 1/3)時(shí)方程(2)對(duì)應(yīng)的相圖Fig.1 Phase diagram corresponding to the equation (2)with nonlinearity f(u) = 8u(1- u)(u - 1/3)

圖2 取非線性項(xiàng)f(u)=8u(1-u)(u-1/3)[81(u-1/3)2+1/9]時(shí)方程(2)對(duì)應(yīng)的相圖Fig.2 Phase diagram corresponding to the equation (2)with nonlinearity f(u)=8u(1-u)(u-1/3)[81(u-1/3)2+1/9]

2.2 分類結(jié)果

則當(dāng)β ∈(0,c0)時(shí), 方程(1)的所有非負(fù)有界解有如下幾類:

3 結(jié)語

本文研究了雙穩(wěn)情形下β∈(0,c0)時(shí)方程(1)各個(gè)非負(fù)有界平衡解,在這個(gè)過程中借助軌線和的軌線的特性，經(jīng)過一系列分析后得到方程(2)各個(gè)軌線的位置關(guān)系, 進(jìn)而畫出完整的相圖并進(jìn)行平衡解分析.

而當(dāng)β ∈[c0,∞)時(shí),根據(jù)現(xiàn)有軌線的性質(zhì)不易構(gòu)造適合方程(2)的上下解并分析出它的軌線位置, 所以這個(gè)問題依然需要進(jìn)行進(jìn)一步的探索研究.