可穿透無窮曲面反散射問題的非線性積分方程方法*

黎雪健，李雪年，李建樑

(長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410114)

0 引言

本文研究的是可穿透無窮曲面的時(shí)諧聲波反散射問題.對于可穿透無窮曲面，聲波可以穿透到曲面以下進(jìn)行傳播.實(shí)際生活中，像海平面、地面等都是可穿透無窮曲面，這類問題在諸如海洋聲吶、地下管道無損探測、雷達(dá)技術(shù)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此對可穿透無窮曲面散射問題的研究有著重要的科學(xué)意義.一般而言，可穿透無窮曲面的時(shí)諧聲波散射問題由兩部分組成.第一部分是正散射問題，即給定入射場和無窮曲面，理論上證明散射場的適定性，也就是散射場是否存在唯一且連續(xù)依賴于入射場；數(shù)值上發(fā)展快速且穩(wěn)定的數(shù)值算法求解散射場.對于無窮曲面正散射問題的理論研究，主要包括兩類方法：變分法[1]和邊界積分方程方法[2-5].在這兩類方法的基礎(chǔ)上建立了相應(yīng)的數(shù)值算法，例如：基于變分法的完美匹配層(PML)方法[6]和基于邊界積分方程的Nystrm方法[7-8]等.

理論上，文獻(xiàn)[1]運(yùn)用變分法研究了基于聲軟型無窮曲面且?guī)в芯o支集源項(xiàng)的時(shí)諧聲波正散射問題.運(yùn)用邊界積分方程方法來研究無窮曲面散射問題時(shí)，針對無窮曲面是平面的局部擾動且為聲軟或聲硬的情形，利用反射原理可以把無窮曲面散射問題歸結(jié)于有界區(qū)域上的第二類積分方程問題，文獻(xiàn)[9-10]中應(yīng)用經(jīng)典Fredholm理論證明了積分方程解的適定性.當(dāng)無窮曲面是平面的全局?jǐn)_動時(shí)，由于散射曲面的無界性，導(dǎo)致相關(guān)的積分算子不再具有緊性，從而經(jīng)典Fredholm理論不再適用.文獻(xiàn)[11-12]建立了適用于此情形的廣義Fredholm理論，從而為積分方程方法解決全局?jǐn)_動的無窮曲面散射問題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.針對聲軟型和阻尼型全局?jǐn)_動曲面的正散射問題，文獻(xiàn)[5]運(yùn)用廣義Fredholm理論證明了此類問題解的適定性.更多運(yùn)用廣義Fredholm理論證明散射問題解的適定性的相關(guān)研究可以參見文獻(xiàn)[3,13-14].文獻(xiàn)[14]中考慮了一個(gè)特殊的二維傳輸問題，要求可穿透曲面以下是吸收介質(zhì)，在曲面上滿足傳輸條件，在曲面上下區(qū)域分別滿足不同波數(shù)的Helmholtz方程，對于這個(gè)問題，文獻(xiàn)[14]證明了解的適定性.

數(shù)值上，Meier等[15]給出了一類適用于粗糙無窮曲面散射問題的Nystrm方法，并建立了該方法的穩(wěn)定性和收斂性，證明了其收斂速度取決于無窮曲面的光滑性.利用文獻(xiàn)[15]中的結(jié)果，文獻(xiàn)[7,16]分別建立了針對不可穿透的無窮曲面以及可穿透無窮曲面正散射問題的Nystrm方法.

第二部分是反散射問題，即通過測量遠(yuǎn)場或近場的散射數(shù)據(jù)來重構(gòu)無窮曲面的位置和形狀.眾所周知，反散射問題是高度非線性而且不適定，即測量數(shù)據(jù)中的一個(gè)小擾動會給無窮曲面的重構(gòu)帶來巨大的誤差，這給反問題的研究帶來了很大的困難.理論上反散射問題主要研究唯一性[3,12]，即需要多少入射場產(chǎn)生的散射數(shù)據(jù)能夠唯一確定無窮曲面；數(shù)值上反散射問題主要研究數(shù)值重構(gòu)方法.文中主要考慮的是反問題的數(shù)值重構(gòu)方法，這也是實(shí)際應(yīng)用中最為關(guān)心的問題.目前，反散射問題的數(shù)值重構(gòu)方法主要有兩類，第一類是迭代方法，包括牛頓迭代法[17]、非線性積分方程方法[7-8,18]、Kirsch-Kress方法[23]等；第二類是非迭代方法，包括奇異源方法[20]、 線性采樣方法[21]、點(diǎn)源方法[22]、分解方法[23]等.

對于牛頓迭代法，通常需要計(jì)算近場或遠(yuǎn)場關(guān)于無窮曲面的Fréchet導(dǎo)數(shù)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)是通過相關(guān)的邊值問題[24]給出.為了減少計(jì)算量，Kress等[18]針對有界障礙反散射問題提出了一種新的迭代方法，稱為非線性積分方程方法，這個(gè)方法采用積分算子的顯式表達(dá)近似Fréchet導(dǎo)數(shù).非線性積分方程方法的主要思想是建立反散射問題和一個(gè)積分系統(tǒng)的等價(jià)性，從而通過求解積分系統(tǒng)來求解反散射問題.與其他迭代方法相比較，非線性積分方程方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于其計(jì)算量更小，如果選取恰當(dāng)?shù)某跏贾?，往往能得到比較好的重構(gòu)結(jié)果.因此近年來，非線性積分方程方法在求解反散射問題的研究中得到了廣泛的應(yīng)用，例如：有界障礙反散射問題[25-26]、有夾雜物和裂紋的反散射問題[27]、無窮曲面反散射問題[7-8]等.

文獻(xiàn)[7-8]將非線性積分方程方法推廣到不可穿透的無窮曲面，分別重構(gòu)了聲軟型和阻尼型無窮曲面.但是目前對于可穿透無窮曲面的情形暫時(shí)沒有相關(guān)研究.由于散射曲面的無界性和可穿透性，使得該反散射問題的研究更具有挑戰(zhàn)性.本文主要考慮將非線性積分方程方法推廣到可穿透無窮曲面反散射問題中，利用散射場和透射場的積分表示可以得到散射場和透射場關(guān)于無窮曲面的近似Fréchet導(dǎo)數(shù)，基于此Fréchet導(dǎo)數(shù)以及無窮曲面上下方近場的測量數(shù)據(jù)，發(fā)展了該問題的非線性積分方程方法.由于Fréchet導(dǎo)數(shù)是一個(gè)近似的結(jié)果，為了得到更精確的重構(gòu)，文中使用多頻近場數(shù)據(jù)，首先給定一個(gè)初始猜測，根據(jù)低頻數(shù)據(jù)得到無窮曲面的大致形狀，然后將低頻數(shù)據(jù)的重構(gòu)結(jié)果作為高頻數(shù)據(jù)的初始猜測，最后得到無窮曲面的精確重構(gòu).數(shù)值算例表明，該問題的非線性積分方程方法是一種精確且穩(wěn)定的數(shù)值重構(gòu)方法.

1 散射模型的建立

本節(jié)將給出可穿透無窮曲面散射問題的數(shù)學(xué)模型.如圖1所示，假設(shè)在二維空間R2中存在一個(gè)可穿透無窮界面Γ：

Γ=Γf:={x=(x1,x2)∈R2|x2=f(x1)}，

式中：f∈B，這里B是一個(gè)函數(shù)空間，其定義如下：對于兩個(gè)正數(shù)c1,c2，

B=B(c1,c2)={f∈C2(R)|f(s)≥c1,s∈R,‖f‖C2(R)≤c2}，

圖1 散射問題的幾何表示Fig.1 Geometry of the scattering problem

該無窮界面Γf把二維空間R2分成上下兩個(gè)區(qū)域，分別記為Ω1和Ω2：

假設(shè)k1和k2分別是上下兩個(gè)區(qū)域Ω1和Ω2對應(yīng)的波數(shù).選用入射場ui(x)為多個(gè)點(diǎn)源疊加的形式，即

(1)

當(dāng)給定形式(1)的入射場從界面上方入射時(shí)，會在Ω1中產(chǎn)生散射場u1，在Ω2中產(chǎn)生透射場u2，其中u1和u2分別在Ω1和Ω2中滿足如下對應(yīng)波數(shù)的Helmholtz方程：

(2)

(3)

總場在Ω1中表現(xiàn)為入射場和散射場的疊加ui+u1，在Ω2中表現(xiàn)為透射場u2.在界面Γ上u1和u2滿足傳輸邊界條件，

u1-u2=-ui,

(4)

(5)

除此之外，為了保證散射波是向上傳輸?shù)囊约巴干洳ㄊ窍蛳聜鬏數(shù)?，u1和u2需要分別滿足向上傳輸散射條件(UPRC)和向下傳輸散射條件(DPRC)[3].

(6)

(7)

另外要求散射場u1和透射場u2在x2方向滿足一定的增長性條件：對任意β∈R，

因此，可以把散射問題歸結(jié)為以下形式：

(8)

式中，ν是指向Ω1的外法向.由文獻(xiàn)[14]的結(jié)果可知式(8)是適定的，文獻(xiàn)[16]基于邊界積分方程方法求解了式(8)的數(shù)值解.

由文獻(xiàn)[16]的結(jié)果可知，對于一個(gè)固定的無窮粗糙界面Γ，可以用單層位勢和雙層位勢的耦合來表示式(8)的解，形式如下：

(9)

(10)

式中：

對于x∈Γ，定義邊界積分算子：

根據(jù)單層位勢和雙層位勢的跳躍關(guān)系(參見文獻(xiàn)[5]的附錄A)以及文獻(xiàn)[14]中的引理(4.1～4.3)和傳輸條件，可以將式(8)簡化為以下Γ上的邊界積分方程：

MIφ=g，

(11)

式中：

由文獻(xiàn)[14]的結(jié)果可知，邊界積分方程(11)存在唯一解.對?f∈B，如果φ是邊界積分方程(11)的唯一解，則由式(9)給出的u1,u2是原散射問題式(8)的唯一解，進(jìn)一步u1,u2連續(xù)依賴于‖g1‖∞,Γ,‖g2‖∞,Γ以及?u1,?u2連續(xù)依賴于‖g1‖1,α,Γ,‖g2‖0,α,Γ，從而可以得到原散射問題的存在性，原散射問題的唯一性直接可由文獻(xiàn)[12]的結(jié)果得到.

2 反散射問題的非線性積分方程方法

在這一部分考慮的反散射問題是：給定入射場ui(x)，根據(jù)測量的近場數(shù)據(jù)ub1(x):=u1(x)|Γb1,A,ub2(x):=u2(x)|Γb2,A，重構(gòu)未知界面Γ的位置和形狀.其中，接收平面Γbi,A:={x∈R2:x2=bi,|x1|≤A},i=1,2，這里b1>f+,b2

首先推導(dǎo)積分系統(tǒng)，利用Nystr?m方法求解邊界積分方程(11)可得到密度函數(shù)φ1,φ2，詳細(xì)步驟可參考文獻(xiàn)[19].這樣散射場u1和透射場u2在接收平面Γb1,Γb2上的值就可以表示為

(12)

因此，可以得到積分系統(tǒng)式(11)和式(12)和原反散射問題的等價(jià)性.

定理2.1如果無窮界面Γf可以被近場u1(x)|Γb1,u2(x)|Γb2唯一確定.則對于給定的近場ub1(x):=u1(x)|Γb1,ub2(x):=u2(x)|Γb2，界面Γf是反散射問題的解當(dāng)且僅當(dāng)(Γf,φ1,φ2)是積分系統(tǒng)式(11)和式(12)的解.

證明如果(Γf,φ1,φ2)是積分系統(tǒng)式(11)和式(12)的解，定義：

反過來，給定近場ub1(x),ub2(x)，假設(shè)Γf是反散射問題的解，那么問題式(8)的解為

式中：φ1,φ2滿足式(11).根據(jù)問題式(8)的唯一性，可知式(12)成立，從而(Γf,φ1,φ2)是積分系統(tǒng)式(11)和式(12)的解.證明結(jié)束.

于是就把散射場u1和透射場u2重寫為以下形式：

(13)

對于x∈Γ，重新定義邊界積分算子：

因此，可以將問題式(8)簡化為以下Γ上的邊界積分方程：

Mφ=g.

(14)

式中：

將散射場u1和透射場u2在接收平面Γb1,Γb2上的值重新表示為

(15)

于是可以得到新的積分系統(tǒng)式(13)和式(14)，根據(jù)等價(jià)性定理，可以通過求解新的積分系統(tǒng)式(14)和式(15)來求解反散射問題.把式(15)中兩個(gè)等式的右端分別記為F1[f,φ1,φ2](x)+(F2′[f,φ1,φ2]fh)(x).顯然，F(xiàn)1[f,φ1,φ2](x),F2[f,φ1,φ2](x)關(guān)于f是非線性的.給定φ1,φ2，從式(14)中求解f這個(gè)過程需要對式(15)做如下線性化處理：

(16)

(17)

式中：(F1[f,φ1,φ2]fh)(x),(F2′[f,φ1,φ2]fh)(x)分別表示F1[f,φ1,φ2](x),F2[f,φ1,φ2](x)在f處關(guān)于方向fh的Fréchet導(dǎo)數(shù)F1[f,φ1,φ2](x),(F1′[f,φ1,φ2]fh)(x),F2[f,φ1,φ2](x),(F2′[f,φ1,φ2]fh)(x)的具體形式將在本文的附錄中給出.

為了進(jìn)一步分析線性化方程式(16)和式(17)，需要對無窮曲面函數(shù)f∈B以及更新函數(shù)fh∈B作參數(shù)化處理，這里的更新函數(shù)fh在Ω1和Ω2中的更新函數(shù)分別記為fhu和fhd.本文中我們把函數(shù)f,fhu,fhd表示成三次B-樣條函數(shù)的線性組合[7-8]：設(shè)N1∈N,q,l>0,

(18)

(19)

(20)

式中，q,l是伸縮平移常數(shù).

這里選取的三次B-樣條函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其顯示表達(dá)如下：

為了方便起見，我們定義以下列向量：

(21)

(22)

式中：ru,rd是列向量，其元素分別為：

由于式(15)中的積分核是光滑的，所以式(15)是嚴(yán)重不適定的，它的線性化方程式(16)和式(17)也繼承了不適定性，這就導(dǎo)致矩陣Ju,Jd是不可逆的.為了解決這個(gè)問題，得到式(16)和式(17)的穩(wěn)定解，使用Tikhonov 正則化方法來求解式(16)和式(17)，得到正則化方程為：

(23)

(24)

此外，還需要綜合考慮散射場和透射場的測量數(shù)據(jù)對重構(gòu)無窮曲面的影響，令

(25)

式中：λ是一個(gè)待定常數(shù)，λ∈(0,1)，dph則為最后所求得的解.值得注意的是，正則化方程式(23)和式(24)中，矩陣Ju,Jd是復(fù)矩陣，矩陣ru,rd是復(fù)向量，為了得到一個(gè)實(shí)數(shù)解，用[ReJu;ImJu],[ReJd;ImJd],[Reru;Imru],[Rerd;Imrd]代替Ju,Jd,ru,rd.

于是可以定義重構(gòu)的無窮曲面的相對誤差ε(k,fr)為：

因此，當(dāng)波數(shù)固定時(shí)，求解積分系統(tǒng)式(14)和式(15)的非線性積分方程方法的算法為：

算法1 基于單頻數(shù)據(jù)重構(gòu)可穿透無窮曲面的非線性積分方程方法假設(shè)對于一組波數(shù)k=(k1,k2),散射場和透射場的近場測量數(shù)據(jù)分別為ub1k(x),ub2k(x),給定相對誤差ε0∈(0,1):1:選取無窮曲面的一個(gè)初始猜測f0,k,也就是在式(18)中給定一組初始系數(shù)dp,把它記為dp0;2:已知曲面fm,k(m≥0),也就是已知式(18)中的dp=dpm,k,利用Nystrm方法求解積分方程(14)可解得φm,k;3:對于得到的φm,k以及fm,k,通過解方程(23)、(24)、(25)可得到更新函數(shù)dphk,令dpm+1,k=dpm,k+dphk,然后計(jì)算對應(yīng)的相對誤差ε(k,fm+1,k).如果ε(k,fm+1,k)<ε0或ε(k,fm+1,k)>ε(k,fm,k),迭代停止,否則轉(zhuǎn)到第2步.

對于給定的波數(shù)k和ε(k,fk)，運(yùn)用算法1可以得到無窮曲面的近似解fk.基于算法1，下面給出多頻數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法的迭代算法.

算法2 基于多頻數(shù)據(jù)重構(gòu)可穿透無窮曲面的非線性積分方程方法給定上下兩個(gè)區(qū)域的單調(diào)上升的n組波數(shù)kj={(kj1,kj2)|j=1,2,…,n},對應(yīng)的多頻近場數(shù)據(jù)為{ub1kj(x),ub2kj(x)|j=1,2,…,n}以及相對誤差ε0,初始猜測f0和下降率ρ∈(0,1):1:設(shè)k=kj,當(dāng)j=1時(shí),令f0,k1=f0,εk1=ε0,否則令f0,kj=f0,kj-1以及εkj=ρε(kj-1,fkj-1);2:運(yùn)用算法1,可以得到對應(yīng)于一組波數(shù)k=kj的重構(gòu)曲面fkj,這時(shí)對應(yīng)的相對誤差為ε(kj,fkj),令j=j+1,如果j≤n,轉(zhuǎn)到第1步, 否則迭代停止.

3 數(shù)值算例

在文章的最后一部分，通過展示一些數(shù)值算例來說明非線性積分方程方法的有效性.在以下所有算例中, 設(shè)置一些參數(shù)如下：

(1)入射場ui為41個(gè)點(diǎn)源的疊加，點(diǎn)源所在位置為zj=(-20+1·j,0.8)，j=0,1,…,40.令式(18)、(19)、(20)中的q=0.15,l=0.05，三次樣條函數(shù)基函數(shù)的個(gè)數(shù)N1=100.

(4)在所有算例圖片中，用實(shí)線表示真實(shí)的無窮曲面，用黑色點(diǎn)劃線表示初始猜測的無窮曲面，用虛線表示重構(gòu)的無窮曲面.

例1首先考慮一個(gè)簡單的位于平面x2=0以上的可穿透無窮曲面Γf1，其表達(dá)式為

f1(t)=0.2exp(-0.4t2).

(26)

在這個(gè)例子中，令無窮曲面上下區(qū)域?qū)?yīng)的波數(shù)為k1=2,k2=6，上方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為λ=0.9，下方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為(1-λ)=0.1. 圖2給出了對應(yīng)0%，2%和5%噪聲數(shù)據(jù)下的重構(gòu)曲面.

圖2 基于單頻且不同噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(26)的重構(gòu)Fig.2 Reconstruction of infinite surface (26) based on nonlinear integral equation method with single frequency data and different noise data

從圖2可以看到，對這種比較簡單的無窮曲面，非線性積分方程方法可以獲得比較精確的重構(gòu)效果.針對5%噪聲數(shù)據(jù)，我們想要達(dá)到比圖2(c)中更加精確的重構(gòu)效果，因此考慮采用多頻數(shù)據(jù)，也就是多組波數(shù)的形式，這里選取的多波數(shù)為k1={2,3,4,5};k2={6,9,12,15}.使用多頻數(shù)據(jù)的目的在于處理反散射問題的不適定性，以便得到更精確的重構(gòu)曲面.首先給定在第一組波數(shù)下無窮曲面的初始猜測，利用非線性積分方程方法可以重構(gòu)出第一組波數(shù)下的無窮曲面，并將其作為第二組波數(shù)的初始猜測，以此類推直到迭代完所有波數(shù).以下只展示部分波數(shù)的重構(gòu)結(jié)果，如圖3所示.

圖3 基于多頻且?guī)в?%噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(26)的重構(gòu)Fig.3 Reconstruction of infinite surface (26) based on nonlinear integral equation method with multi-frequency and 5% noise data

對比圖2(c)和圖3(c)，很容易看到，相較于單頻數(shù)據(jù)，基于多頻數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法更能達(dá)到令人滿意的重構(gòu)結(jié)果.有關(guān)使用單頻數(shù)據(jù)與多頻數(shù)據(jù)對無窮曲面重構(gòu)效果的影響，我們將在例2中給出相關(guān)例子.

例2在這個(gè)例子中，我們考慮位于平面x2=0以下的可穿透的無窮曲面Γf2，其表達(dá)式為

f2(t)=-0.2exp(-0.6t2).

(27)

令無窮曲面上下區(qū)域?qū)?yīng)的波數(shù)為k1={2,3,4};k2={6,9,12},上方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為λ=0.65，下方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為(1-λ)=0.35.先考慮采用單頻數(shù)據(jù)，利用一組對應(yīng)的波數(shù)重構(gòu)一個(gè)曲面，對比不同波數(shù)的重構(gòu)效果.然后考慮采用多頻數(shù)據(jù)，令第一組波數(shù)重構(gòu)的無窮曲面作為第二組波數(shù)的初始猜測，以此類推直到迭代完所有給定的波數(shù).這里只展示部分波數(shù)的重構(gòu)結(jié)果，圖4(a)～(c)給出了無噪聲情形下單頻數(shù)據(jù)的重構(gòu)曲面，圖4(d)～(f)給出了無噪聲情形下多頻數(shù)據(jù)的重構(gòu)曲面.

圖4 基于不同頻率且無噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(27)的重構(gòu)Fig.4 Reconstruction of infinite surface (27) based on nonlinear integral equation method with different frequency and noise-free data

從圖4(a)～(c)可以看出，如果僅采用單頻數(shù)據(jù)對無窮曲面進(jìn)行反演，效果并不理想，嘗試換一組更大的波數(shù)，但是仍然沒有奏效，如果繼續(xù)加大波數(shù)，反而使得重構(gòu)效果更加糟糕，不能得到令人滿意的重構(gòu)效果.相比之下，如圖4(d)～(f)所示，采用多頻數(shù)據(jù)重構(gòu)的效果比單頻數(shù)據(jù)更好，重構(gòu)的無窮曲面更為準(zhǔn)確.因此，如果需要重構(gòu)更為復(fù)雜的無窮曲面，首先應(yīng)該考慮使用多頻數(shù)據(jù).

在使用多頻數(shù)據(jù)能獲得比較精確的重構(gòu)效果的前提下，我們考慮帶有噪聲的數(shù)據(jù)的重構(gòu)效果.圖5(a)～(f)分別給出了帶有2%、5%噪聲的多頻數(shù)據(jù)的數(shù)值重構(gòu)曲面.

圖5 基于多頻且?guī)в胁煌肼晹?shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(27)的重構(gòu)Fig.5 Reconstruction of infinite surface 式(27) based on nonlinear integral equation method with multi-frequency and different noise data

從圖5(a)～(f)可以看出，即使是噪聲數(shù)據(jù)，在多頻的情況下，利用非線性積分方程方法，仍然能得到比較精確的重構(gòu)效果.

例3在這個(gè)例子中，考慮一個(gè)較為復(fù)雜的可穿透無窮曲面Γf3，該曲面含有多個(gè)局部擾動，其表達(dá)式為

(28)

令無窮曲面上下區(qū)域?qū)?yīng)的波數(shù)為k1={2,3,4,5,6,7,8,9};k2={6,9,12,15,18,21,24,27}，上方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為λ=0.65，下方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為(1-λ)=0.35.這里只展示部分波數(shù)的重構(gòu)結(jié)果，圖6 給出了基于多頻且無噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面Γf3的重構(gòu).

圖6 基于多頻且無噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(28)的重構(gòu)Fig.6 Reconstruction of infinite surface (28) based on nonlinear integral equation method with multi-frequency and noise-free data

從圖6中可以看出，對于較為復(fù)雜的無窮曲面，在多頻的情況下，利用非線性積分方程方法，仍然能得到比較精確的重構(gòu)效果.

例4在這個(gè)例子中，將探討無窮曲面上下區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重對重構(gòu)無窮曲面的影響.考慮一個(gè)可穿透的無窮曲面Γf4，該無窮曲面的一部分位于平面x2=0以上，一部分位于平面x2=0以下，其表達(dá)式為

f4(t)=0.3exp(-1.3(t-1)2)-0.4exp(-1.8(t+2)2).

(29)

令無窮曲面上下區(qū)域?qū)?yīng)的波數(shù)為k1={2,3,4,5,6};k2={6,9,12,15,18}，上下方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重作為控制變量，其他參數(shù)不變.這里只展示部分波數(shù)的重構(gòu)結(jié)果，圖7(a)～(l)分別給出了上下方區(qū)域占不同權(quán)重的情形下對可穿透無窮曲面Γf4利用無噪聲多頻數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)的曲面.

從圖7中(a)～(l)的重構(gòu)效果可以看出，當(dāng)控制其他參數(shù)不變的情況下，改變上下方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占的比重會對無窮曲面的重構(gòu)產(chǎn)生很大的影響.如圖7(a)～(c)、圖7(d)～(c)所示，如果只采用上方測量數(shù)據(jù)或者只采用下方測量數(shù)據(jù)，很顯然并不能達(dá)到令人滿意的重構(gòu)效果；如果令上下兩方測量數(shù)據(jù)的占比一樣，如圖7(g)～(i)所示，能有較好的重構(gòu)效果；如果令上方的測量數(shù)據(jù)所占比重稍大于下方數(shù)據(jù)，如圖7(j)～(l)所示，發(fā)現(xiàn)其重構(gòu)效果比圖7(g)～(i)更加精確.

圖7 基于不同權(quán)重的多頻且無噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(29)的重構(gòu)Fig.7 Reconstruction of infinite surface (29) by nonlinear integral equation method based on multi-frequency and noise-free data with different weights

例5在這個(gè)例子中，考慮一個(gè)全局?jǐn)_動的可穿透無窮曲面Γf5，其表達(dá)式為

f5(t)=0.2sin(πt)+0.1cos(πt).

(30)

令無窮曲面上下區(qū)域?qū)?yīng)的波數(shù)為k1={2,4,6,8,10};k2={6,12,18,24,30}，上方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為λ=0.85，下方區(qū)域的測量數(shù)據(jù)所占比重為(1-λ)=0.15.在這個(gè)例子中，對點(diǎn)源做出一些改變，增加了點(diǎn)源的個(gè)數(shù)，點(diǎn)源所在位置為zj=(-30+0.75j,0.6)，j=0,1,…,80.這里只展示部分波數(shù)的重構(gòu)結(jié)果，圖8給出了基于多頻且無噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面Γf5的重構(gòu).

圖8 基于多頻且無噪聲數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法對無窮曲面式(30)的重構(gòu)Fig.8 Reconstruction of infinite surface (30) based on nonlinear integral equation method with multi-frequency and noise-free data

從圖8中可以看出，對于全局?jǐn)_動的無窮曲面，在多頻的情況下利用非線性積分方程方法，可以得到比較精確的重構(gòu)效果，但是一些細(xì)節(jié)處的重構(gòu)效果次于局部擾動的重構(gòu)效果.

通過本節(jié)中的例子，可以看到非線性積分方程方法可以很好地解決可穿透無窮曲面的反散射問題.相較于單頻數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法，多頻數(shù)據(jù)的非線性積分方程方法能夠給出更令人滿意的重構(gòu)效果，即使是噪聲數(shù)據(jù)，在多頻的情況下仍然能得到比較精確的重構(gòu)效果.通過比較近似局部擾動與全局?jǐn)_動的情形，可以看到非線性積分方程方法對近似局部擾動的無窮曲面的重構(gòu)效果更好一些.同時(shí)，可發(fā)現(xiàn)上下方區(qū)域測量數(shù)據(jù)的比重也會對無窮曲面的重構(gòu)產(chǎn)生影響，在重構(gòu)的過程中選取恰當(dāng)?shù)谋戎鼐惋@得非常重要.