推廣圓錐曲線的一個(gè)定點(diǎn)定值命題

［摘? 要］ 文章通過(guò)對(duì)圓錐曲線的一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題的探究，得出該問(wèn)題的一般形式，并且以此為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)類比遷移，解決了另一個(gè)與之相關(guān)的定值問(wèn)題.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；定點(diǎn)定值；推廣

命題研究的一個(gè)樸素目標(biāo)是對(duì)命題的結(jié)論部分不斷加強(qiáng)，對(duì)命題的條件部分不斷減弱，從而獲得命題更為深刻的形式；命題研究的最終目標(biāo)是為了更好地理解命題，使得原本略顯突兀的命題最終變得簡(jiǎn)單自然. 兩者相輔相成，命題的深刻形式有益于認(rèn)識(shí)命題的本質(zhì)特征. 本文探討吳世星老師提出的一個(gè)命題，通過(guò)對(duì)條件進(jìn)行減弱，最終得出這一命題的一般形式.

吳世星老師在文［1］對(duì)一道解析幾何中的拋物線試題進(jìn)行了深入探討，運(yùn)用類比思想最后得出橢圓和雙曲線中也有類似的結(jié)論成立，概括如下：

緊接著，吳世星老師對(duì)命題1進(jìn)一步思考后發(fā)現(xiàn)可以對(duì)圓錐曲線這一定點(diǎn)定值命題的結(jié)論部分進(jìn)行推廣，給出了橢圓和雙曲線兩種情形的命題表述，概括如下：

從這一角度來(lái)看，命題1其實(shí)是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師討論多年的圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的逆向思考. 事實(shí)上，鄒生書老師已經(jīng)在文［2］中指出：圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦過(guò)定點(diǎn)的逆命題是成立的（關(guān)于這一問(wèn)題的推廣最為徹底的是許書華老師在文［3］中提出的）. 可見文［1］提出的命題1并非新命題.

繼續(xù)考察文［1］提出的命題2，從吳世星老師證明命題2的過(guò)程來(lái)看，文［1］限制“點(diǎn)M在圓錐曲線的內(nèi)部”，這一條件是可以去掉的. 本文要探討的是命題2中的條件“點(diǎn)M在x軸上”是否也能夠去掉. 經(jīng)過(guò)一番艱難計(jì)算，最終確認(rèn)這一條件也是可以去掉的，即如下命題是成立的：

考慮到使用圓錐曲線統(tǒng)一方程證明命題3的計(jì)算過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，因此下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形證明命題3.

首先，考察命題3中的橢圓情形：

綜合命題3.1、命題3.2和命題3.3可知命題3是正確的.

推廣命題的動(dòng)機(jī)源于希望獲得對(duì)命題的本質(zhì)理解，然而推廣命題需要關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題：關(guān)注推廣所得命題是否已由他人提出，即注意推廣的創(chuàng)造性；關(guān)注推廣命題是否是本質(zhì)的，即注意推廣的深刻性.

通過(guò)上述討論可以發(fā)現(xiàn)，前文已經(jīng)指出吳世星老師獲得的命題1是重復(fù)推廣的，而吳世星老師將命題1推廣為命題2則具有創(chuàng)造性.命題2可以視為是對(duì)“圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題”的另一角度的有益探索.

推廣的重復(fù)性有時(shí)極具隱蔽性而不易察覺，需要小心謹(jǐn)慎.下面以一個(gè)案例對(duì)此進(jìn)行解釋說(shuō)明.

徐道老師曾在文［4］指出張忠旺老師對(duì)“圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題”的推廣是非實(shí)質(zhì)性的，并且嘗試給出這一問(wèn)題的一個(gè)實(shí)質(zhì)性推廣.徐道老師提出的推廣命題概括如下：

因?yàn)辄c(diǎn)M，N實(shí)際上是過(guò)定點(diǎn)P的圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)，其軌跡是一條圓錐曲線（如圖1所示），而且點(diǎn)P也在其軌跡上. 因此徐道老師提出的這一命題，其實(shí)與如下命題是等價(jià)的：

實(shí)際上這一命題早在文［3］中就由許書華老師提出了，它并非是對(duì)“圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題”的實(shí)質(zhì)性推廣. 類似的問(wèn)題也出現(xiàn)在文［6］中. 由此可見，推廣命題是一件非常需要縝密思考的事情，稍微不慎就有可能遭受挫折.

根據(jù)查閱到的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)許書華老師的文［3］是對(duì)“圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題”從斜率角度給出的最為徹底的推廣. 吳世星老師提出的命題2和本文進(jìn)一步推廣獲得的命題3則是從向量數(shù)量積的角度給出的另一個(gè)推廣.

最后需要指出的是：本文從解析幾何的角度給出命題3的證明無(wú)法揭示命題3的本質(zhì)，能否給出本文提出的命題3一個(gè)本質(zhì)的證明呢？囿于自身能力，筆者嘗試了很長(zhǎng)時(shí)間，始終不得其解. 希望讀者能夠在本文的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考，給出命題3合理的解釋，那么對(duì)命題2的推廣才能算是完整的.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 吳世星.圓錐曲線一類定點(diǎn)、定值問(wèn)題的探究［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2017（16）：40-42.

［2］? 鄒生書. 由一道拋物線競(jìng)賽題引發(fā)的探究［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2017（04）：40-42.

［3］? 許書華. 圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦性質(zhì)的一般情形［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2013（12）：42-44.

［4］? 徐道. 圓錐曲線的兩個(gè)定向、定點(diǎn)問(wèn)題［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（06）：15-17.

［5］? 張忠旺. 圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦的包絡(luò)問(wèn)題研究［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（08）：57-59.

［6］? 林新建. 圓錐曲線的一個(gè)有趣性質(zhì)［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2009（08）：18-20.

作者簡(jiǎn)介：傅毓?jié)?970—），滁州中學(xué)數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，滁州市學(xué)科帶頭人. 先后主持完成省級(jí)課題2個(gè)，市級(jí)課題2個(gè)，在《中學(xué)數(shù)學(xué)》《高中數(shù)理化》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等雜志發(fā)表過(guò)多篇文章，指導(dǎo)多名教師獲得安徽省優(yōu)秀課一等獎(jiǎng).