從八省聯(lián)考數(shù)列題研討線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

［摘? 要］ 新高考下的數(shù)列試題，著重對(duì)等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行考查，數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識(shí)的綜合依然是高考考查的重要方面.注重貼近教材，創(chuàng)新試題情境，進(jìn)而達(dá)到考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的目的. 文章結(jié)合一道八省聯(lián)考數(shù)列題，談?wù)剬?duì)線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的備考，進(jìn)而把握好數(shù)列教學(xué)，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)和價(jià)值.

［關(guān)鍵詞］ 線性遞推數(shù)列；特征根；數(shù)學(xué)運(yùn)算

二階遞推數(shù)列問題在課改前即大約2010年前一度成為高考的熱點(diǎn)，并且難度居高不下，是高考試題的一道亮麗風(fēng)景. 課改后數(shù)列試題的難度有所下降，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列，不再考查或很少考查二階遞推數(shù)列，似乎從此數(shù)列無難題. 但2021年新高考的八省聯(lián)考卻出乎意料地在第一大題的位置就考查了二階線性遞推數(shù)列. 其實(shí)這并不意外，實(shí)際上，二階線性遞推數(shù)列已經(jīng)出現(xiàn)在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書上了.

題在試卷，根在課本. 八省聯(lián)考這道數(shù)列題與課本題目如出一轍. 課本題目只有一問，是通項(xiàng)公式的探索性試題；而八省聯(lián)考數(shù)列題設(shè)置了兩問，實(shí)際上，第（1）問是為第（2）問題求通項(xiàng)公式設(shè)置的臺(tái)階，這樣就大大減小了試題難度. 另外，八省聯(lián)考數(shù)列題相對(duì)于課本題目來說，要特殊一些，課本題目更具有一般性. 因此，本文先通過對(duì)一階線性遞推式進(jìn)行解法研究，從中提煉出線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解通法和一般性結(jié)論——特征根法和特征根通項(xiàng)公式. 然后用所得公式求解線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，體驗(yàn)公式在簡(jiǎn)化運(yùn)算、縮短解題長(zhǎng)度的作用，最后再迂回解答這道八省聯(lián)考數(shù)列題.

希望本文能使讀者對(duì)特征根法的來龍去脈以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)比較全面而深刻的認(rèn)識(shí).

題目再現(xiàn)

題1：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書人教版必修五第69頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第6題.

題2：八省聯(lián)考.

解法探究

1. 一階線性遞推式求通項(xiàng)

已知一階線性遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式這是我們所熟悉的問題，所用思想方法是：用一個(gè)待定系數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列.

2. 二階線性遞推式求通項(xiàng)

分析：對(duì)于二階線性遞推式求通項(xiàng)問題，可以采用方法類比，用兩個(gè)待定系數(shù)將二階線性遞推式數(shù)列求通項(xiàng)公式的問題轉(zhuǎn)化為一階線性遞推式數(shù)列求通項(xiàng)公式的問題來處理.

例4 八省聯(lián)考.

解析：（1）證明略；

求二階線性數(shù)列的通項(xiàng)公式，既可用特征根法直接求解，也可用證明定理所用的待定系數(shù)法和方程思想求解.

作者簡(jiǎn)介：繆葦偉（1986—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，省奧賽高級(jí)教練員、徐州市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)獲得者、縣帶頭優(yōu)師、縣數(shù)學(xué)教研組中心成員.