對2022年浙江省數(shù)學(xué)高考第20題的分析與研究

童益民

(效實中學(xué)，浙江 寧波 315012)

1 原題呈現(xiàn)與分析

例1已知等差數(shù)列{an}的首項a1=-1，公差d>1，記{an}的前n項和為Sn(其中n∈N*).

1)若S4-2a2a3+6=0，求Sn；

2)若對每個n∈N*，存在實數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn,an+2+15cn成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

(2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第20題)

分析該題以等差數(shù)列為背景，第1)小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬于簡單題；第2)小題主要考查了方程有解問題與不等式恒成立問題，有一定的靈活性，運算上有一定的復(fù)雜性，理解上有一定的綜合性，屬于中檔偏難的題目.接下來對第2)小題進行分析與研究.

2 解題思路與分析

根據(jù)題意，對每個n∈N*，存在實數(shù)cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比數(shù)列，即對每個n∈N*，存在實數(shù)cn，使

(an+cn)(an+2+15cn)=(an+1+4cn)2

成立，即對每個n∈N*，關(guān)于cn的二次方程

有解，即對每個n∈N*，

(1)

恒成立.

分析1第2)小題的題意是雙重有解與恒成立問題，結(jié)構(gòu)是“對任意n∈N*，存在cn,使得p(n,cn)條件成立”.這里需要注意的是處理順序上應(yīng)先處理靠近條件p(n,cn)的量詞，即先處理存在實數(shù)cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比數(shù)列；再處理遠離條件p(n,cn)的量詞，即再處理對每個n∈N*，式(1)恒成立，處理順序上不能調(diào)換，可參考文獻[1].

因為首項a1=-1，要求d的取值范圍，所以用d來表示式(1).

方法1式(1)可化為

Δ={8(-1+nd)-15[-1+(n-1)d]-[-1+(n+1)d]}2-4{(-1+nd)2-[-1+(n-1)d][-1+(n+1)d]}≥0,

即

Δ=(-8nd+14d+8)2-4d2≥0,

亦即

(nd-2d-1)(2nd-3d-2)≥0.

(2)

方法2式(1)可化為

即

Δ=(-8an+1+14d)2-4d2≥0,

亦即

(an+1-2d)(2an+1-3d)≥0,

亦即

(nd-2d-1)(2nd-3d-2)≥0.

分析2在對式(1)的處理上，方法1與方法2殊途同歸，方法1直接通過首項a1與公差d運算，方法2通過第n+1項an+1與公差d運算.相比較而言，方法1比方法2在運算上稍顯復(fù)雜.

接下來再繼續(xù)處理對每個n∈N*，式(2)恒成立.

方法1用特殊值代入法.

當(dāng)n=1時，(d-2d-1)(2d-3d-2)≥0，即

(d+1)(d+2)≥0.

當(dāng)n=2時，(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0，即

d≤2，

從而

1

當(dāng)n≥3時，因為

nd-2d-1≥3d-2d-1=d-1>0，

2nd-3d-2≥6d-3d-2=3d-2>0,

所以

(nd-2d-1)(2nd-3d-2)≥0.

綜上所述，1

方法2用函數(shù)圖像法.

令f(n)=(nd-2d-1)(2nd-3d-2)

則f(n)≥0對n∈N*恒成立.因為d>1，所以

根據(jù)f(n)的圖像(如圖1)，可得

圖1

解得

0

從而

1

方法3用參數(shù)分離法.

式(2)可化為

[d(n-2)-1][d(2n-3)-2]≥0.

當(dāng)n=2時，d≤2.

當(dāng)n≠2時，

因為(n-2)(2n-3)>0，所以

即

圖2 圖3

綜上所述，1

方法4用集合思想.

式(2)可化為

3 拓展應(yīng)用

(2022年寧波效實中學(xué)高三數(shù)學(xué)模擬卷第17題)

[3x(t-1)-1]·[log3(4x-1)-log3(4t)]≥0

對任意的正整數(shù)x恒成立，即不等式

[3x(t-1)-1]·(4x-1-4t)≥0(其中t>0)

對任意的正整數(shù)x恒成立.

當(dāng)x=1時，[3(t-1)-1]·(4-1-4t)≥0，從而

當(dāng)x=2時，[9(t-1)-1]·(8-1-4t)≥0，即

從而

當(dāng)x≥3時，

故[3x(t-1)-1]·(4x-1-4t)≥0恒成立.

(2022年杭州高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)模擬卷第17題)

圖4

根據(jù)平面區(qū)域，當(dāng)最大時，傘環(huán)與線段AB相切位置，設(shè)切點為D，則

從而

故

(a·b)min=|OA|·|OB|cos∠AOB

當(dāng)較小，直到=0時，M?N都成立，故

4 回顧總結(jié)

例1中出現(xiàn)的字母較多，還涉及雙重有解與恒成立問題，并且計算較復(fù)雜，對學(xué)生來說還是有一定的難度.需要學(xué)生能理解問題的本質(zhì)，有較強的計算能力，能熟練處理有解與恒成立問題.這需要在平時的教學(xué)中，進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，對于有解與恒成立等基本問題，能夠系統(tǒng)全面地掌握，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).例2和例3得分較低，主要體現(xiàn)在學(xué)生不能找到處理恒成立問題的有效方法，習(xí)慣于用參數(shù)分離法、圖像法和最值法處理恒成立問題，而例2用特殊值法先求必要條件再證充分性的思想讓學(xué)生耳目一新，例3更是把一維的數(shù)集推廣到二維的點集，用集合的思想方法讓學(xué)生如雷貫耳，正如在黑暗中出現(xiàn)的一道閃電，讓學(xué)生豁然開朗.基于對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師可從高考題中發(fā)現(xiàn)基本問題，再進行拓展研究，以此強化學(xué)生的“四基”，提高學(xué)生的“四能”，切實落實好課程目標(biāo).