“一題一課”視角下的初中數(shù)學(xué)習(xí)題課初探
——基于圓綜合復(fù)習(xí)題的教學(xué)實踐

陳 琦

(海曙區(qū)儲能學(xué)校,浙江 寧波 315010)

1 現(xiàn)狀與思考

1.1 現(xiàn)狀審視

習(xí)題課是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重要課型.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)習(xí)題講評課中，大多數(shù)教師是以復(fù)習(xí)概念、講解習(xí)題為主;選擇的例題多而散，針對性不強，缺乏層次感;學(xué)生課堂參與度不高，無法真正化為自己的知識.應(yīng)試教育缺失研究與實踐，缺乏探究與創(chuàng)新，從而直接導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)機械記憶、套用公式等淺層次學(xué)習(xí)的現(xiàn)象.

1.2 背景簡述

“一題一課”逐漸成為一種新型的習(xí)題課，它以切口小、內(nèi)容精、方法多的特點頻繁出現(xiàn)在課堂教學(xué)評比和平時的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，吸引了廣大數(shù)學(xué)教師.“一題一課”，本質(zhì)上是利用“一題”串聯(lián)多內(nèi)容、系統(tǒng)化的復(fù)習(xí)課教學(xué)形式，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性和關(guān)聯(lián)性.

筆者所在區(qū)連續(xù)幾屆教壇新秀評比都采用“一題一課”的課堂教學(xué)評價模式，2022年的課題是以提供的試題為基本素材進行專題復(fù)習(xí)教學(xué).

1.2.1 素材

圖1

1)求證：AD∥OC；

2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

3)求四邊形ABCD周長的最大值．

1.2.2 要求

1)充分挖掘素材的知識點，思考問題，理清思路，設(shè)計課堂教學(xué)互動.

2)本次評價授課對象為初三(九年級)學(xué)生.授課時間40分鐘.

1.3 改進與思考

針對目前習(xí)題課的現(xiàn)狀，我們需要解決當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂中普遍存在的知識碎片化、認(rèn)識表層化及方法單一化等問題.把淺層學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的系統(tǒng)化思維活動，讓學(xué)生積極參與、深度思考，達(dá)到激活知識、自我建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系的目的.

高品質(zhì)習(xí)題課重在優(yōu)化數(shù)學(xué)任務(wù)的設(shè)計.本文通過教師A設(shè)計的這節(jié)比賽課，對以上背景材料進行分析，抓住圓的綜合知識的核心，呈現(xiàn)出有梯度的教學(xué)環(huán)節(jié)，努力培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.教師A設(shè)計的流程圖如下：

2 基于活動化的教學(xué)流程設(shè)計

2.1 基本教學(xué)流程

活動1識圖.

預(yù)設(shè)1CD=BC(等弧所對的弦相等).

預(yù)設(shè)2∠A=∠COB(圓周角定理).

預(yù)設(shè)3AD∥OC(同位角相等，兩直線平行).

預(yù)設(shè)4∠B+∠D=180°，或∠A+∠BCD=180°(圓內(nèi)接四邊形定理).

設(shè)計意圖低起點入課，人人都能積極參與課堂，復(fù)習(xí)圓中基本定理，如圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形定理等.既用實例復(fù)習(xí)圓中的核心定理，又為后續(xù)的證明提供依據(jù).

活動2探圖.

在初始圖形的基礎(chǔ)上，如圖2，再聯(lián)結(jié)圖形中的一條線段，你能得到哪些新的結(jié)論?

圖2

預(yù)設(shè)1聯(lián)結(jié)BD,得到∠ADB=90°，OC垂直平分BD(垂徑定理).

預(yù)設(shè)2聯(lián)結(jié)AC,得到∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB=∠ACO,從而得到AD∥OC(圓周角定理).

預(yù)設(shè)3聯(lián)結(jié)OD,得到∠COD=∠COB,也可以推導(dǎo)出AD∥OC(圓心角定理).

設(shè)計意圖學(xué)生通過添加不同的輔助線，進一步鞏固圓中的核心定理，如垂徑定理、圓心角定理等，不斷完善圓定理的復(fù)習(xí)內(nèi)容.課堂因?qū)W生的活動而精彩.

活動3品圖.

在初始圖形的基礎(chǔ)上，如圖3，延長AD,BC交于點E，你能得到哪些新的結(jié)論？聯(lián)結(jié)AC，你還能得到哪些新的結(jié)論？

圖3

預(yù)設(shè)1CE=CB(中位線的逆定理).

預(yù)設(shè)2△EDC∽△EAB，△COB∽△EAB,△EDC∽△COB.

預(yù)設(shè)3聯(lián)結(jié)AC，得AC是∠DAB的平分線，也是邊BE上的高線，易證△ACE≌△ABC(ASA)，得CE=CB，AE=AB，△ABE是等腰三角形.

預(yù)設(shè)4再聯(lián)結(jié)BD，則

設(shè)計意圖在圖形外作輔助線，學(xué)生較難想到，教師示范添線，再現(xiàn)“新大陸”.發(fā)現(xiàn)圖形中蘊涵著線段相等、角相等、面積相等，還有相似三角形、全等三角形等，這些都為后續(xù)求四邊形ABCD周長的最大值提供了不同的方法和思路.

活動4讀圖.

圖4

1)當(dāng)AD變化時，CD是否變化？你能確定y與x的取值范圍嗎？

2)請你添加一個y的值，并求出此時x的取值.

3)請用盡可能多的方法求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

預(yù)設(shè)當(dāng)AD變化時，CD也隨之變化，且

OC⊥BD，DF=BF.

又OA=OB,從而

在Rt△CFB中,

BC2-CF2=BF2.

在Rt△OFB中,

OB2-OF2=BF2，

于是

OB2-OF2=BC2-CF2，

即

亦即

設(shè)計意圖賦予變量，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)AD與CD之間的關(guān)系，從特殊到一般，為后續(xù)求四邊形ABCD周長的最大值做鋪墊，同時利用不同的構(gòu)造，積極引導(dǎo)學(xué)生探究一題多解，使圓的復(fù)習(xí)層層深入，與所學(xué)的幾何知識多方位聯(lián)系，真正拓展了學(xué)生的思維.

活動5用圖.

如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，點C為BD的中點.已知AB=10，CD=x,AD=y，請求出四邊形ABCD周長的最大值.

周長=AB+AD+CD+BC=10+y+2x

設(shè)計意圖建立函數(shù)模型，求解幾何最值問題，有了前面的探究過程，這一環(huán)節(jié)顯得順理成章，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了函數(shù)的應(yīng)用價值.

2.2 圓綜合題解題拓展教學(xué)流程

在幾何學(xué)的教學(xué)實踐中，往往一題會存在多種不同的解題思路，但殊途同歸，能得到相同的結(jié)果.在本節(jié)圓的“一題一課”教學(xué)中，為拓展解題思路，開闊學(xué)生的解題視野，教師設(shè)計了如下拓展題教學(xué).

拓展思路通?？衫闷叫芯€的判定證明平行,如尋求同位角和內(nèi)錯角的等量關(guān)系等.

方法1利用垂徑定理證明OC⊥BD.由于AB為直徑，因此可證明∠ADB=90°.

方法2聯(lián)結(jié)AC，利用弧相等、圓周角相等證明∠DAC=∠CAB.再根據(jù)OA=OC,得

∠CAB=∠ACO=∠DAC,

得

AD∥OC.

方法3利用圓心角和圓周角與弧的關(guān)系.由

從而

AD∥OC.

拓展問題2如圖5，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，點C為BD的中點.已知AB=10，CD=x,AD=y，請求出四邊形ABCD周長的最大值.

圖5

拓展思路1)本題目標(biāo)是建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，通過模型討論周長的最大值問題；

2)通過以前學(xué)習(xí)的知識，知道這個數(shù)學(xué)模型是二次函數(shù)最值問題；

3)圍繞周長關(guān)系式C=10+2x+y，將式中多個變量轉(zhuǎn)化成單變量；

4)在數(shù)學(xué)建模過程中，關(guān)鍵是要找到x與y的關(guān)聯(lián)和解決這些關(guān)聯(lián)的途徑和方法；

5)方法：通過作輔助線，根據(jù)已知條件構(gòu)思角、邊、幾何圖形，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、定理進行推導(dǎo).

方法1如圖5，延長CO交圓于點E，聯(lián)結(jié)BE.易證

△CMB∽△CBE,

得

CB2=CM·CE，

即

方法2如圖6，延長BC,AD交于點E.易證

圖6 圖7

△ECD∽△EAB,

得

EC·EB=ED·EA.

因為CD=CB=x，∠EDB=90°，易證

CD=CB=CE=x,

∠EDC=∠E=∠ABE,AE=AB=10,

所以

x·2x=10(10-y).

方法3利用面積相等(如圖7).

從而

方法4如圖8，將△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使CD旋轉(zhuǎn)到CB.利用射影定理，得

圖8 圖9

CB2=MB·AB,

從而得出結(jié)論.

方法5如圖9，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E,CF⊥AB.由△EDC≌△CFB,△ACE≌△ACF，可設(shè)DE=BF=a,a+y=10-a,再由射影定理得CB2=BF·AB,從而得出結(jié)論.

3 教學(xué)思考

3.1 “一題一課”設(shè)計要以題干為依據(jù)，挖掘題目本身的知識點

“一題”即指問題的題干不變，依托同一個問題背景或情境，從某些重要的知識、方法或模型運用等為切入點，將平時學(xué)習(xí)中割裂的、碎片化的知識有效聯(lián)結(jié)起來，系統(tǒng)架構(gòu)，整體設(shè)計“一課”，使學(xué)生由此及彼，達(dá)到知識與方法的融會貫通[1].

本課的設(shè)計側(cè)重點是圓等幾何知識的復(fù)習(xí)，素材提供了這道幾何題本身所蘊涵的豐富的幾何知識點及其應(yīng)用.我們要以題干為依據(jù)，從一個基本圖形出發(fā),激活學(xué)生已有的知識積累,然后逐漸添線，變換圖形，賦予圖形不同的情境,讓學(xué)生理解變式圖形的基本要素之間的關(guān)系,從而找到解決問題的核心知識點與方法.通過學(xué)習(xí)，學(xué)生在課堂中對圓、三角形等幾何核心知識進行了梳理，同時又體會到其在函數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用價值.

3.2 “一題一課”設(shè)計要從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，為學(xué)生搭建合適的臺階

波利亞曾說過：“一個專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一道有意義但不太復(fù)雜的題目，幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”[2]“一題一課”設(shè)計的探究互動應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，遵循思維的最近發(fā)展區(qū).教師要善于為學(xué)生搭建合適的臺階，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會審題和分析，把題目中的各個知識點串成知識線，進而融成知識面.設(shè)計圍繞素材圖形，每個問題的提出由淺入深，前后呼應(yīng).本案例通過添加輔助線、復(fù)習(xí)圓中的基本知識，強化對知識的深度理解.開放性問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y和x之間存在的關(guān)系，為得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式提供方法，從特殊到一般，很好地突破了本課的難點，最后順理成章地解決四邊形ABCD周長的最大值問題.這樣的設(shè)計，一氣呵成.

堅持以學(xué)生為主體，通過設(shè)計有階梯式的問題，啟迪學(xué)生積極思考，主動去透視課堂，提煉解題策略，滲透數(shù)學(xué)思想，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，彰顯“一題一課”的價值.

3.3 “一題一課”教學(xué)中教師要善于“借題發(fā)揮”，引導(dǎo)學(xué)生“一題多解”

“一題多解”是數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的重要形式，是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的有效途徑．教師在解題教學(xué)中注重“一題多解”，有利于學(xué)生深度認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，探尋知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握解決問題的一般規(guī)律，克服思維定勢，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力[3].

在“一題多解”的教學(xué)過程中，學(xué)生的方法很多，本案例中如果教師沒有耐著性子傾聽學(xué)生的各種解法，就看不到多種解法的思維火花，也就不會有隨后對各種解法的探究與比較，這就造成教育價值的流失.教師不但要學(xué)會傾聽，更要善于總結(jié)歸類，要幫助學(xué)生分清是不是一類方法，如在證明平行中，拓展方法1和拓展方法3都用到了同位角的關(guān)系，可以總結(jié)為一種思路；又如求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系中,拓展方法1和拓展方法2都利用相似建立邊之間的關(guān)系，但是證明相似的思路不一樣，拓展方法1使用的是垂徑定理，拓展方法2使用的是直角三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；拓展方法3利用面積相等；拓展方法4和拓展方法5都是通過構(gòu)造全等三角形，利用射影定理找出x,y之間的等量關(guān)系.所有的方法都可以歸結(jié)為求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，這就是方程的數(shù)學(xué)思想.加強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，就需要教師適時地總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生“會一題，得一法，通一類”.

3.4 “一題一課”的教學(xué)要重視問題化和互動化，引導(dǎo)學(xué)生深度參與課堂教學(xué)

托爾斯泰曾說：“成功的教學(xué)所需要的不是強制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣.”濃厚的學(xué)習(xí)興趣，可以使學(xué)生產(chǎn)生強烈的求知欲、敏銳的思維力、豐富的想象力以及迫切探求新知識和新問題的推動力.基于此，對于習(xí)題課的教學(xué)，教師需要適時后退，促使學(xué)生主動地深度參與課堂教學(xué).

在本案例中，教師在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時充分考慮了問題化和互動化，通過問題串聯(lián)知識點，在活動1～活動5中活用素材.學(xué)生先通過添加輔助線改變問題的情境，然后以問題為導(dǎo)線由淺入深，各個層次的學(xué)生都能經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、操作、歸納、驗證、問題解決等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，獲得了研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，凸顯了以全體學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)課堂.