談HL定理的解惑與教學(xué)建議

黃賢明

(高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校，江蘇 蘇州 215129)

“斜邊、直角邊”定理(以下簡(jiǎn)稱HL定理)是判定直角三角形全等的特有方法，也是“邊邊角”的一種特殊形式.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)中將HL定理置于勾股定理及其逆定理之后，并提出“探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜邊、直角邊’定理”[1].不難發(fā)現(xiàn)，《新課標(biāo)》更希望學(xué)生在較為全面地掌握等腰三角形、直角三角形的相關(guān)內(nèi)容后再探索HL定理，這樣學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單觀察與推理就能夠發(fā)現(xiàn)并證明HL定理.從內(nèi)容要求而言，《新課標(biāo)》要求探索并掌握該定理，即經(jīng)歷定理發(fā)現(xiàn)、歸納、證明的過程，并能夠靈活應(yīng)用該定理去判定直角三角形全等.這就反映了HL定理的教學(xué)既要關(guān)注定理探索的全過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又要關(guān)注定理的高水平理解與應(yīng)用.但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往會(huì)產(chǎn)生疑惑，如：使用蘇科版等教材的教師會(huì)困惑如何適切地證明該定理、怎么把握“邊邊角”與HL定理的關(guān)系等.筆者就HL定理提出了如下幾點(diǎn)思考，并給出教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以期為一線教師提供教學(xué)參考.

1 對(duì)HL定理的幾點(diǎn)思考

1.1 對(duì)HL定理編排位置的疑惑

HL定理雖然是判定直角三角形全等的特有定理，但究其本質(zhì)屬于判定三角形全等的方法之一，只是其僅適用于直角三角形.在現(xiàn)行不同版本的教材中，對(duì)于HL定理的位置編排也有所不同，大致可以分為以下3種情況(見表1).

表1 HL定理的編排位置

可以發(fā)現(xiàn)，近半數(shù)教材選擇了將HL定理放置于勾股定理學(xué)習(xí)之后，如此選擇存在以下優(yōu)勢(shì)：其一，HL定理的發(fā)現(xiàn)過程較為自然，學(xué)生能夠輕易地通過勾股定理意識(shí)到地直角三角形中已知斜邊和一條直角邊可以求出另一條直角邊，進(jìn)而利用“邊邊邊”判定兩個(gè)直角三角形全等；其二，定理證明有著多種選擇，在勾股定理的學(xué)習(xí)后，學(xué)生既可以選擇勾股定理來證明，也可以選擇將兩個(gè)直角三角形拼成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)證明，學(xué)生也能夠主動(dòng)探索出該定理的證明.但如此編排也存在一定的問題：一方面，HL定理并沒有與全等三角形的判定構(gòu)成一個(gè)整體，而是相對(duì)脫離，缺乏連貫性，甚至有些教材將前4種全等三角形的判斷方法與HL定理分別編排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上下兩冊(cè)中，這就使得HL定理不易與學(xué)生原有的全等三角形判定的知識(shí)體系建立聯(lián)結(jié)，從而在后續(xù)的運(yùn)用中容易遺忘該定理；另一方面，HL定理被放置在直角三角形章節(jié)，就會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生誤解，即判定直角三角形全等只能用HL定理，從而在問題解決中強(qiáng)行套用該定理.

當(dāng)然也有近半數(shù)的教材選擇將HL定理編排在“全等三角形”章節(jié)中，解決了整體性與連貫性的問題，但是受限于學(xué)生的已有認(rèn)知，該定理的發(fā)現(xiàn)缺乏學(xué)生自主探索與獨(dú)立思考的過程，定理的證明也不夠自然、適切.在4個(gè)版本教材中，定理的發(fā)現(xiàn)都采用作圖的方式得到兩個(gè)直角三角形全等，進(jìn)而給出HL定理.對(duì)于定理的證明，除蘇科版之外，其他3個(gè)版本教材均沒有給出HL定理的證明，而是將定理的證明放置在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，這樣的編排使得學(xué)生探索定理的過程不夠完整.學(xué)生在能夠熟練應(yīng)用該定理后再進(jìn)行定理的證明，對(duì)定理探索的過程而言已經(jīng)喪失了它的意義.蘇科版先設(shè)置了一道例題，利用“邊邊邊”證明了等腰三角形兩個(gè)底角相等，而后以動(dòng)畫人物對(duì)話的形式給出了HL定理的證明，略顯不規(guī)范.同時(shí)，學(xué)生還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)等腰三角形就將“等邊對(duì)等角”應(yīng)用于證明中，難以讓學(xué)生形成內(nèi)在認(rèn)同，只能被動(dòng)接受.

綜上所述，無論是將HL定理編排在何處，都有一定的合理性，擁有著各自的優(yōu)勢(shì)，但也存在著一些不可避免的小問題需要得到關(guān)注與解決.

1.2 如何讓HL定理證明更“適切”

若教材將HL定理編排在等腰三角形或勾股定理的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生擁有著豐富的知識(shí)基礎(chǔ)，則對(duì)HL定理的證明也不在話下.但是教材將HL定理編排在全等三角形一章中，學(xué)生的已有認(rèn)知并不能很輕易地解決該證明.因此，為了讓定理的證明更“適切”，教師可以參考如下證明思路.

思路1先利用構(gòu)造底邊上的中線或頂角的平分線，證明等腰三角形兩底角相等，然后將兩個(gè)直角三角形拼接成等腰三角形，通過“角角邊”證明兩個(gè)直角三角形全等，進(jìn)而證明HL定理.

思路2將Rt△ABC和Rt△BCD(∠A=∠D=90°)斜邊重合(如圖1)，分情況討論：

圖1 圖2 圖3

1)若AB=CD，則易證

△ABE≌△DCE，

得

AE=DE，BE=CE，

故

AC=BD，

進(jìn)一步可證

△ABC≌△BCD.

2)若AC=BD，則延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)F(如圖2)，易證

△FBD≌△FCA，

得

FB=FC，F(xiàn)A=FD，

故

AB=AC，

進(jìn)一步可證△ABC≌△BCD.

思路3反證法(如圖3).假設(shè)BC≠B′C′，不妨設(shè)B′C′>BC，在B′C′上截取C′B″=CB，聯(lián)結(jié)A′B″.由∠C=∠C′，C′B″=CB，C′A′=CA，得

△ABC≌△A′B″C′，

則

AB=A′B″.

又

AB=A′B′，

故點(diǎn)B′與點(diǎn)B″重合，假設(shè)不成立，從而

C′B′=CB，

進(jìn)一步可證△ABC≌△A′B′C′.

上述3種思路學(xué)生都能夠接受，但都難以依靠自主探索而發(fā)現(xiàn).對(duì)于思路1而言，學(xué)生無法獨(dú)立探索，必須將證明拆分為兩大步，教師可以仿照蘇科版教材先設(shè)置一道證明等腰三角形兩底角相等的例題或練習(xí)，并將結(jié)論提取成一般的文字語言，讓學(xué)生將該性質(zhì)與等腰三角形、軸對(duì)稱性等知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，然后在此基礎(chǔ)上證明HL定理.對(duì)于思路2而言，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)相對(duì)較低，學(xué)生在先前的練習(xí)中也接觸過類似的圖形，但證明的過程需要用到兩次全等，且還需對(duì)條件中的“一組直角邊相等”進(jìn)行討論，區(qū)分是短直角邊相等還是長(zhǎng)直角邊相等，對(duì)于長(zhǎng)直角邊相等還需啟發(fā)學(xué)生添加輔助線.因此，思路2不適合在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)，其更應(yīng)以課后拓展的形式引導(dǎo)學(xué)生再探索.思路3屬于反證法，雖然學(xué)生在“平行線的判定”中接觸過反證法，但對(duì)于大部分學(xué)生而言是難以操作的，類似于思路2，也不適合在課堂中呈現(xiàn).

1.3 如何把握HL定理與“邊邊角”的關(guān)系

“邊邊角”是指若兩個(gè)三角形的兩組邊和其中一邊的對(duì)角相等，則不能判定兩個(gè)三角形全等.但細(xì)看HL定理的形式，不就是“邊邊角”的形式嗎？這就說明“邊邊角”并不適合于所有的三角形，更明確地說，“邊邊角”中的“角”是指其中一邊所對(duì)的銳角，如果其中一邊所對(duì)的是直角或鈍角時(shí)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等.徐彥輝在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)73.2%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確分辨判定三角形全等的方法，但只有10.5%的學(xué)生能夠列舉出“邊邊角”不能判定全等的反例[2].這就說明學(xué)生對(duì)于“邊邊角”的理解僅僅停留于記憶層面，并不清楚其內(nèi)涵.在HL定理的教學(xué)之前，教師通常已經(jīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)了“邊邊角”不能判定全等，學(xué)生不加以理解，形成了對(duì)“邊邊角”模糊的印象，而如今又在直角三角形中探索“邊邊角”，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生疑惑“到底‘邊邊角’能不能判定全等呢？”因此，教師要把握好二者之間的關(guān)系，應(yīng)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难酃饪创斑呥吔恰保瑔l(fā)學(xué)生列舉反例，強(qiáng)調(diào)“邊邊銳角”不能判定三角形全等，并埋下伏筆，讓學(xué)生思考“邊邊直角”“邊邊鈍角”能不能判定三角形全等，激發(fā)他們自主探索的欲望.

2 教學(xué)建議

2.1 把握數(shù)學(xué)知識(shí)整體脈絡(luò)，發(fā)揮不同教材的編排優(yōu)勢(shì)

HL定理是全等三角形與直角三角形知識(shí)體系中的交集，既是判定三角形全等的一種方法，也是直角三角形中所特有的.因此，教師不必過于糾結(jié)該內(nèi)容的編排位置，順其自然，更重要的是教會(huì)學(xué)生如何將該定理應(yīng)用于問題解決中去.從HL定理的整體脈絡(luò)上看，等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理都是證明HL定理的好方法，同樣HL定理在等腰三角形性質(zhì)的證明、勾股定理的發(fā)現(xiàn)中也發(fā)揮著獨(dú)特的價(jià)值.

若HL定理編排于“全等三角形”章節(jié)中，則教師可以完整地構(gòu)建判定全等三角形的知識(shí)體系，形成全等三角形判定的整體思路[3].在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，HL定理不僅可以應(yīng)用于其他定理的證明過程，還可以為勾股定理的探索“鋪橋搭路”，即在勾股定理的發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)，教師可以借助HL定理與“邊角邊”指出：若已經(jīng)確定直角三角形的兩條邊，則所得的直角三角形唯一確定，即第三條邊也唯一確定，故直角三角形的三邊必然存在著某種關(guān)系，進(jìn)而引入勾股定理的發(fā)現(xiàn)與探索中.用這種方式讓學(xué)生充分感知勾股定理存在的必然性，使學(xué)生形成了對(duì)勾股定理的內(nèi)在認(rèn)同感，也激發(fā)了對(duì)勾股定理的探索欲望.

若HL定理編排于“直角三角形”章節(jié)中，則無論是否置于勾股定理的學(xué)習(xí)之后，該定理的發(fā)現(xiàn)與證明都“呼之欲出”.此時(shí)教師更應(yīng)發(fā)揮數(shù)學(xué)定理的育人價(jià)值，以相關(guān)的情境和啟發(fā)性的問題引發(fā)對(duì)直角三角形全等判定方法的再思考，而后通過實(shí)際操作、對(duì)比觀察、抽象歸納獲得HL定理及其幾何語言，進(jìn)而在自主思考、合作交流中證明定理.最終在定理的探索中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)自主探索、數(shù)學(xué)交流等能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2.2 立足學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)，探索定理的多樣化證明

HL定理的證明方法有10余種，但受限于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，自然不能一股腦地全部呈現(xiàn).但可以確定的是，定理是經(jīng)過證明的數(shù)學(xué)命題，定理的教學(xué)自然不能脫離證明這一重要環(huán)節(jié).若HL定理編排于“直角三角形”章節(jié)中，則定理的證明不言而喻，但若HL定理編排于“全等三角形”章節(jié)中，則定理的證明就有所挑戰(zhàn)性.針對(duì)這種情況，教師可以參照思路1，設(shè)計(jì)課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，組織學(xué)生利用“邊邊邊”證明“等腰三角形兩底角相等”(可作為前一天的作業(yè)布置)，在課堂中捋清等腰三角形、兩底角相等、對(duì)稱性等知識(shí)，讓學(xué)生初步擁有“等邊對(duì)等角”的概念，并將其應(yīng)用于定理的證明中.在課堂總結(jié)、作業(yè)布置環(huán)節(jié)，教師可以呈現(xiàn)思路2和思路3，引導(dǎo)學(xué)生在課后進(jìn)一步探索HL定理的其他證明方法.當(dāng)然，HL定理的證明不僅僅局限于此，如果在等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)學(xué)習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)擁有了許多新工具、新方法，此時(shí)再讓學(xué)生“驀然回首”，那么原先復(fù)雜的定理證明如今“迎刃而解”.此時(shí)，既能促使學(xué)生構(gòu)建HL定理與其相關(guān)知識(shí)的聯(lián)結(jié)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，又能讓學(xué)生在強(qiáng)烈的對(duì)比中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的曲折與發(fā)展，形成數(shù)學(xué)探索的積極心理，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義.

2.3 讓定理的探索始于“邊邊角”又高于“邊邊角”

在大單元視角下對(duì)全等三角形的判定設(shè)計(jì)思路如圖4所示，即從探索“哪3個(gè)條件的組合能夠判定三角形全等”問題出發(fā)，串聯(lián)起全等三角形的判定教學(xué)[4].在處理“邊邊角”的時(shí)候，教師常會(huì)像“角角角”一樣，列舉了一個(gè)反例就說明其不能判定全等，這恰恰埋下了一顆“定時(shí)炸彈”，成為HL定理教學(xué)的“隱患”.

圖4

HL定理是“邊邊角”的一種特殊情況，其探索也可以從一般走向特殊，起始于對(duì)“邊邊角”的思考.具體而言，教師先組織學(xué)生尺規(guī)繪制“邊邊銳角”的情況，指出在此情況下“邊邊角”不能判定三角形全等.而后，提出問題“如果將銳角變?yōu)橹苯侵?，‘邊邊角’能否判定三角形全等呢？”讓學(xué)生利用尺規(guī)繪制一個(gè)直角邊為3 cm，斜邊為5 cm的直角三角形，相互之間比一比，發(fā)現(xiàn)所畫的三角形都全等，歸納得到HL定理并證明.當(dāng)然，探究不應(yīng)止于直角，進(jìn)一步教師可以組織學(xué)生思考在鈍角的情況下“邊邊角”能否判定三角形全等，并利用幾何畫板直觀演示，讓學(xué)生意識(shí)到“邊邊鈍角”也能唯一確定一個(gè)三角形，進(jìn)而以辯證的眼光看待“邊邊角”，理清“邊邊角”與HL定理之間的關(guān)系，形成對(duì)“邊邊角”的深入理解.