立足解題教學(xué) 精準(zhǔn)滲透模型思想
——以一道?？季C合題的教學(xué)策略為例

王 龍, 柳 雪

(1.青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校,上海 201700；2.青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)西校,上海 201700)

數(shù)學(xué)模型是指使用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、程序、圖形等實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象而簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)來(lái)解釋某些客觀現(xiàn)象、預(yù)測(cè)發(fā)展規(guī)律，或找出化解實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)策略[1].構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解題應(yīng)先具備模型觀念，從具體情景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知數(shù)學(xué)建模過(guò)程并解決問(wèn)題，進(jìn)而形成模型思想.然而，學(xué)生在面對(duì)綜合題時(shí)往往難于從中感知組成幾何圖形的各要素，不能與基本圖形建立關(guān)聯(lián)，不會(huì)通過(guò)幾何直觀把握問(wèn)題的本質(zhì)，從而導(dǎo)致思維路徑不清、難以取得突破.課堂上由于教學(xué)內(nèi)容多、時(shí)間短，教師對(duì)綜合題缺乏深入研究、教學(xué)不精準(zhǔn)，教學(xué)過(guò)程就題講題，重思路、輕梳理，重過(guò)程、輕歸納，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想、學(xué)生收獲不大.為了改變這個(gè)現(xiàn)狀，筆者在初三模擬測(cè)試后針對(duì)壓軸題的教學(xué)做了些許嘗試，與讀者分享.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

1)求線段BC的長(zhǎng)；

2)當(dāng)FB=FE時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；

3)當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

(2021年度上海市青浦區(qū)初三數(shù)學(xué)一模試題第25題)

2 策略分析

建模思想的形成要從培養(yǎng)模型意識(shí)開(kāi)始.前兩個(gè)小題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，與已經(jīng)具備的知識(shí)建立關(guān)聯(lián)解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，感知模型觀念的必要性、根植模型觀念.在探究第3)小題的過(guò)程中，用不同的方法建模解決難題，提升學(xué)生的建模能力，然后通過(guò)反思小結(jié)、校正補(bǔ)償訓(xùn)練形成學(xué)生的建模思想.

3 實(shí)施過(guò)程

3.1 尋找關(guān)聯(lián)，感悟套用模型

第1)小題已知梯形的三邊和一角，求梯形的第四邊，類(lèi)似于三角形中已知兩邊和一角求第三邊的問(wèn)題，常規(guī)方法是添線構(gòu)造直角三角形解決.找到與已知模型的關(guān)聯(lián)后，嘗試添輔助線解決問(wèn)題.思考后發(fā)現(xiàn)：可以通過(guò)下面3種添線方法(如圖2～4)，構(gòu)造出一個(gè)特殊的四邊形和兩個(gè)直角三角形解決問(wèn)題,從條件tan∠ABC=2入手解直角三角形.

圖2 圖3 圖4

設(shè)計(jì)意圖套用已學(xué)過(guò)的解三角形的模型解決四邊形問(wèn)題，感悟模型的重要性，強(qiáng)化了套用模型解題的意識(shí).

3.2 抽象問(wèn)題，根植模型觀念

如圖5，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線EM，由FB=FE得

圖5 圖6

∠EBC=∠BEF=∠C，

可知

在Rt△EMF中，

(4-BF)2+22=BF2,

圖7 圖8

圖9

圖10 圖11

設(shè)計(jì)意圖解決第2)小題的方法比較靈活，以不同的方式添加輔助線構(gòu)造基本圖形(如圖6,8,11)，以抽象的基本圖形作為模型解題，闡釋了模型應(yīng)用的廣泛性，根植模型觀念.

3.3 突破難題，提升建模能力

數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度抽象與概括，是最本質(zhì)且最簡(jiǎn)練的表達(dá).破解難題應(yīng)找到最本質(zhì)的模型，解決第3)小題的要點(diǎn)是恰當(dāng)使用條件∠BEF=∠DCB.主要的建模方式有以下幾種：

3.3.1 基于通性通法建模

通性通法是具有代表性的解題方法，是解題教學(xué)中應(yīng)該凸顯的重點(diǎn)內(nèi)容.建立模型解決問(wèn)題首先應(yīng)該考慮普適性的方法，具有代表性的模型最具備研究學(xué)習(xí)的價(jià)值.如圖7添輔助線，構(gòu)造一個(gè)如圖8的“斜A型圖”結(jié)合勾股定理解決：由△BEF∽△BNE，得

BE2=BF·BN=y(x+7).

在Rt△BEM中,由勾股定理得

BE2=x2+6x+13，

即

x2+6x+13=y(x+7).

整理后得

設(shè)計(jì)意圖結(jié)合相似比和勾股定理建立數(shù)學(xué)模型是解決綜合題的常用方法，需要師生多思多悟，掌握了這種模型對(duì)解決綜合題大有裨益.

3.3.2 在原圖中尋找模型

模型的構(gòu)造不一定都需要添加輔助線，有的時(shí)候模型就藏在圖形之中，需要我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和發(fā)現(xiàn).如圖12，記BE與CD相交于點(diǎn)K.由△BKC∽△BFE，得

圖12

由AE∥BC可得

即

因此

代入相似比，可得

化簡(jiǎn)得

由一組相似三角形與“X型圖”相結(jié)合的模型即可解決問(wèn)題.同理，在原圖中由△EDK∽△BEF結(jié)合AE∥BC得到比例，同樣也可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)計(jì)意圖結(jié)合相似比和基本圖形建立數(shù)學(xué)模型也是破解綜合題的常用手段.通過(guò)幾何直觀在原圖中尋找、剝離出基本圖形與相似找關(guān)聯(lián)并建模，在探究思考過(guò)程中提升建模能力.

3.3.3 多向思維建立模型

圖13

從而

于是

由∠BKG=∠EFM,得

cot∠BKG=cot∠EFM,

即

代入得

化簡(jiǎn)可得

設(shè)計(jì)意圖多向思維發(fā)現(xiàn)了∠G為直角，從而找到一種新的方法建立模型解題.雖然過(guò)程有些復(fù)雜，但有助于透徹理解不同的建模方法，是鍛煉建模思維能力的一種有效途徑.

3.3.4 拓展思路建立模型

有時(shí)候用高中的知識(shí)解決初中的問(wèn)題會(huì)使得難題簡(jiǎn)單易懂，例如兩角的和差公式在初中階段經(jīng)常運(yùn)用.筆者認(rèn)為有必要拓展，如圖5添加輔助線，由于角度之間存在關(guān)系∠EFC=∠EBC+∠C，而這3個(gè)角的正切也容易表示出來(lái),即

化簡(jiǎn)得

設(shè)計(jì)意圖由公式所確定的模型簡(jiǎn)單且容易掌握，在教學(xué)中具備較高的學(xué)習(xí)價(jià)值.

3.4 總結(jié)提升，滲透建模思想

以學(xué)生為主體的精準(zhǔn)教學(xué)中，教師的主導(dǎo)作用不僅是要把學(xué)生往正確的解題思路上帶，更應(yīng)該幫助并帶領(lǐng)學(xué)生樹(shù)立模型意識(shí)、促進(jìn)學(xué)生自主思考、建立并運(yùn)用模型解決問(wèn)題.例如第1)小題要與已知模型找關(guān)聯(lián)；第2)小題要應(yīng)用好條件FB=FE，抽象建模；第3)小題的關(guān)鍵是要用好條件∠BEF=∠DCB，由相似結(jié)合其他要素建模，在套用、嘗試、多角度的建模過(guò)程中提升建模能力、形成模型思想.

4 矯正補(bǔ)償，鞏固模型

精準(zhǔn)教學(xué)不僅要求課前精心設(shè)計(jì)學(xué)案，課中促進(jìn)高效學(xué)習(xí)，課后也要精準(zhǔn)訓(xùn)練.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)反饋練習(xí)要做到針對(duì)性強(qiáng)，量少且精.首先，設(shè)計(jì)的作業(yè)必須與解題教學(xué)有關(guān)，能用到課堂上學(xué)到的思想與方法，起到夯實(shí)基礎(chǔ)、鞏固舊知的效果.其次，設(shè)計(jì)的作業(yè)思維容量應(yīng)有所提升，在最近發(fā)展區(qū)尋找學(xué)生思維能力的增長(zhǎng)點(diǎn)，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維的效果.最后，設(shè)計(jì)的作業(yè)能起到優(yōu)化學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的效果.結(jié)合以上幾點(diǎn)，筆者對(duì)課后作業(yè)做了如下設(shè)計(jì)：

圖14

1)求線段AD的長(zhǎng)；

2)當(dāng)四邊形ABFE是平行四邊形時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；

3)設(shè)DE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

設(shè)計(jì)說(shuō)明本題與例1的思想方法基本一致，每一個(gè)小題的建模方式也大致相同，解題過(guò)程不再贅述.利用此題能夠夯實(shí)基礎(chǔ)，鞏固課堂所學(xué)的數(shù)學(xué)模型.

變式2如圖15，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AD=15,AB=16,BC=12,點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，射線ED和射線AF交于點(diǎn)G，且∠AGE=∠DAB.

圖15

1)求線段CD的長(zhǎng)；

2)如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長(zhǎng)；

3)如果點(diǎn)F在邊CD上(不與點(diǎn)C，D重合)，設(shè)AE=x,DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

(2016年上海市數(shù)學(xué)中考試題第25題)

經(jīng)過(guò)對(duì)例1的深入學(xué)習(xí)后，本題處在學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，努力解決本題可以促進(jìn)學(xué)生形成建模思維.同時(shí)，例1和兩個(gè)變式都是梯形背景下的綜合題，涉及基本圖形、相似三角形等知識(shí).為學(xué)生以后解決梯形背景下的幾何問(wèn)題提供了思考方向，完善了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，精準(zhǔn)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想[2].在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，有利于提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.然而，學(xué)生的建模思維不是一蹴而就的，需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行精心細(xì)致的培養(yǎng)，要把數(shù)學(xué)建模思想貫穿于教學(xué)始終,在課堂有限的時(shí)間內(nèi)精準(zhǔn)教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模在生活中的重要價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性[3]；培養(yǎng)學(xué)生建模實(shí)踐的能力，在生活中與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合,真正做到學(xué)以致用，最終形成數(shù)學(xué)建模思想，實(shí)現(xiàn)提升核心素養(yǎng)的目標(biāo).