對(duì)數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用
——從一道教材習(xí)題的創(chuàng)新解法談起

張志剛

(寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué)，山東 寧陽(yáng) 271400)

1 問(wèn)題的緣起

2019年人教A版普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)(必修1)(下文簡(jiǎn)稱教材)第141頁(yè)有如下習(xí)題：

例1比較下列3個(gè)值的大?。簂og23，log34，log45.

本題比較底數(shù)互不相同的對(duì)數(shù)式的大小，具有一定的思維難度.如果要針對(duì)每一個(gè)底數(shù)分別計(jì)算出相應(yīng)的對(duì)數(shù)，那么“簡(jiǎn)化運(yùn)算”就是一句空話.能否把其他數(shù)為底的對(duì)數(shù)都轉(zhuǎn)化為某個(gè)數(shù)為底的對(duì)數(shù)[1]？我們先回顧與教材配套的《教師教學(xué)用書(shū)》給出的解答：

即

log23>log34.

同理可得

log34>log45，

于是

log23 >log34>log45.

以上采用作差法來(lái)比較對(duì)數(shù)式的大小，首先利用對(duì)數(shù)的換底公式將對(duì)數(shù)式都轉(zhuǎn)化成常用對(duì)數(shù)，再綜合利用基本不等式等工具連續(xù)放縮，最終完成大小關(guān)系的判定.解答過(guò)程迂回輾轉(zhuǎn)，較為煩瑣.那么，有操作性更強(qiáng)的方法嗎？

于是，我們類比猜想不等式log23>log2+1(3+1),即log23>log34是否成立呢？事實(shí)上，由“糖水不等式”得

同理可得

log34>log45，

故

log23>log34>log45.

例1順利獲解.推而廣之，當(dāng)b>a>1,m>0時(shí)，logab>loga+m(b+m)是否也成立？

2 問(wèn)題的探究

性質(zhì)1logab>loga+m(b+m)(其中b>a>1,m>0).

證明由b>a>1，m>0,得

lnb>lna>0，

且

由“糖水不等式”得

即

logab>loga+m(b+m).

此外，當(dāng)b>a>1,m>0時(shí),

logab>loga+m(b+m)>0.

由不等式的倒數(shù)性質(zhì),得

即

logba

我們知道，代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算，即加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等，我們也可以通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.例如，將logab>loga+m(b+m)(其中b>a>1,m>0)中的加法運(yùn)算改為乘法運(yùn)算，不等式演化為logab>logam(bm)，是否也成立呢？

性質(zhì)2logab>logam(bm)(其中b>a>1,m>1).

證明由于b>a>1，m>1,因此lnb>lna>0，且lnm>0.由“糖水不等式”得

即

logab>logam(bm).

此外，當(dāng)b>a>1,m>1時(shí),

logab>logam(bm)>0.

由不等式的倒數(shù)性質(zhì),得

即

logba

3 性質(zhì)的應(yīng)用

以上我們從“糖水不等式”中獲取靈感，猜想并證明了對(duì)數(shù)的兩個(gè)不等式性質(zhì)，利用它們可實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)底數(shù)的置換，為比較不同底數(shù)對(duì)數(shù)式的大小提供了別樣的視角.其解題步驟是：應(yīng)用上述性質(zhì)將其中一個(gè)對(duì)數(shù)式放縮為與另一個(gè)對(duì)數(shù)式同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的傳遞性解題.例如，欲比較對(duì)數(shù)式logab,logcd(其中a≠c)的大小，首先應(yīng)用上述性質(zhì)放縮得logab

顯然，這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想、培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力大有裨益.在解題教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真剖析題設(shè)條件和結(jié)論，通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)、概括、推理、證明等思維活動(dòng)，選擇合理的解題路徑，避免死記硬背、生搬硬套“結(jié)論”的盲目機(jī)械訓(xùn)練.其中，要仔細(xì)體會(huì)對(duì)數(shù)的換底公式和“糖水不等式”在解題中的作用.下面舉例說(shuō)明.

例2設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則

( )

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第8題)

解法1(常規(guī)解法)由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式得

又因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以

log23

從而

a>b>c.

故選D.

解法2(創(chuàng)新解法)由“糖水不等式”得

即

a>b.

=log714，

即

b>c,

從而

a>b>c.

故選D.

例3已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則

( )

A．a(chǎn)

C．b

(2020年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅲ理科試題第12題)

解法1(常規(guī)解法)易知a,b,c∈(0,1)，由基本不等式得

從而

a

由b=log85，c=log138，得

8b=5， 13c=8，

即

85b=55, 134c=84.

又134<85，則

134b<85b，

從而

134b<85b=55<84=134c，

于是

4b<4c，

即

b

綜上所述，a

解法2(創(chuàng)新解法)由“糖水不等式”得

即

a

下同解法1.

評(píng)注在判定a,b的大小關(guān)系時(shí)，解法1思路不易探尋,且需綜合應(yīng)用對(duì)數(shù)的換底公式、基本不等式、放縮法等.解法2利用“糖水不等式”實(shí)施放縮，指向明確，簡(jiǎn)單易行.

例4若a>b>c>1且ac

( )

A．logab>logbc>logca

B．logcb>logba>logac

C．logbc>logab>logca

D．logba>logcb>logac

故選項(xiàng)A,C項(xiàng)不正確.

解法2(作差法)因?yàn)閍>b>1，所以

logba>logbb=1,

由a>c>1，知

logac

從而

logba>logac.

且

b2>ac>1，

則

lnb2>ln(ac)=lna+lnc，

即

2lnb>lna+lnc，

于是

logcb-logba>0，

即

logcb>logba.

綜上所述，logcb>logba>logac.故選B.

解法3(創(chuàng)新解法)因?yàn)閍>b>c>1，且ac

即

logcb>logba>logac.

故選B．

評(píng)注解法1采用特殊值進(jìn)行解答，看似輕松，然而本題限制條件較多，能否順利列舉出合理的特殊值面臨較大挑戰(zhàn).解法2首先通過(guò)插入中間值1，先比較logba與logac的大小，然后采用作差法比較logcb與logba的大小，解答過(guò)程需要綜合應(yīng)用對(duì)數(shù)的換底公式等性質(zhì)，并結(jié)合題設(shè)條件“acb>1知

證得

logba>logac.

例5設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則

( )

A．a(chǎn)+b

C．a(chǎn)+b<0

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅲ理科試題第12題)

解法1(常規(guī)解法)

因?yàn)閘g 2-10，所以

即

a+b<0.

又a>0,b<0，從而ab<0,于是

=log0.30.2+log0.32=log0.30.4

=1，

因此

ab

故選B.

解法2(創(chuàng)新解法)由“糖水不等式”得

從而

a<-b，

即a+b<0.下同解法1.

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)基本技能、感悟思想方法、培育核心素養(yǎng)、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動(dòng),是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的關(guān)鍵途徑.追求解題過(guò)程的簡(jiǎn)單，追求思維過(guò)程的經(jīng)濟(jì)，是解題研究的一項(xiàng)基本任務(wù)，也是數(shù)學(xué)工作者的一個(gè)共同性格.在解題坐標(biāo)系中，表現(xiàn)為解題折線的簡(jiǎn)短或思維鏈的優(yōu)化[2].在數(shù)學(xué)探究中要培養(yǎng)學(xué)生善于自主發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的對(duì)象通過(guò)類比推理提出問(wèn)題、做出猜想是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)比較有效的途徑[3].前文正是從一道教材習(xí)題開(kāi)始，結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、聯(lián)想等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)的兩個(gè)不等性質(zhì)，并用它們解決了一些比較對(duì)數(shù)式大小的問(wèn)題.當(dāng)然，此類問(wèn)題有待深化研究.例如，本文僅討論了“b>a>1”的情形，如果“0