對(duì)一類(lèi)新知閱讀題的探究與思考

郝文華

(北京師范大學(xué)鹽城附屬學(xué)校，江蘇 鹽城 224007)

所謂新知閱讀題，是指通過(guò)閱讀理解題目中提供的相關(guān)材料，獲取新知(包括新定義、新結(jié)論、新公式等)，并要求遷移運(yùn)用的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題[1].這也是新高考背景下，高三各類(lèi)試卷中常見(jiàn)的一類(lèi)試題.這類(lèi)題目往往對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、知識(shí)的遷移運(yùn)用及學(xué)習(xí)與創(chuàng)新能力有較高的要求，也是評(píng)估學(xué)生綜合學(xué)力的一個(gè)有效載體，非常契合當(dāng)前新高考的選拔功能.新知閱讀題在命題形式上涉及選擇、填空及解答這3種形式，但由于具有一定的綜合性和較強(qiáng)的靈活性，一般題號(hào)比較靠后，多數(shù)為“壓軸”試題.

1 直接定義(規(guī)定)型問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題一般先給出某個(gè)新概念或某種運(yùn)算規(guī)則，要求利用這個(gè)新的定義或規(guī)則去解決相關(guān)問(wèn)題.對(duì)于問(wèn)題的解決，有的是直接套用，有的還需拓展延伸、靈活應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀理解、探究創(chuàng)新及知識(shí)的遷移運(yùn)用能力.

例1對(duì)于函數(shù)f(x)，一次函數(shù)g(x)=ax+b，若f(x)≤g(x)恒成立，則稱(chēng)g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．若函數(shù)g(x)=x-1是函數(shù)f(x)=sin 2x-aex(其中x≥0)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

分析由“線性覆蓋函數(shù)”的規(guī)定可知sin 2x-aex≤x-1在[0，+∞)上恒成立，將x=0代入可得

a≥1，

故

aex≥ex.

令h(x)=ex-sin 2x+x-1，其中x≥0,則

h′(x)=ex+1-2cos 2x≥2-2cos 2x≥0，

從而h(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，又h(0)=0，于是h(x)≥0，因此當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)≤g(x)恒成立.故選B.

評(píng)注本題通過(guò)給出“線性覆蓋函數(shù)”這一新知識(shí)點(diǎn)的定義，引導(dǎo)考生利用定義解決一個(gè)恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生的閱讀理解能力及對(duì)新知的遷移應(yīng)用能力.考生只要弄清“什么是線性覆蓋函數(shù)”，就可迅速找到解題的“入手點(diǎn)”，但前期思路的形成，不代表后面能夠順利解出，還需了解恒成立問(wèn)題的一般處理性策略.

( )

A.若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A

B.單位圓的“伴隨曲線”是它自身

C.若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

D.一條直線的“伴隨曲線”是一條直線

對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)單位圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(cosx,sinx)，其“伴隨點(diǎn)”為P′(sinx,-cosx)仍在單位圓上，故選項(xiàng)B正確.

從而

從而點(diǎn)P′的軌跡是圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.正確答案為B和C．

評(píng)注本題題干不長(zhǎng)，但信息量較大，相當(dāng)于給出了“伴隨點(diǎn)”及“伴隨曲線”兩個(gè)新概念，且較為抽象，對(duì)考生的閱讀理解能力及靈活處理“對(duì)稱(chēng)性”問(wèn)題的能力要求較高.再加上本題有多個(gè)選項(xiàng)符合要求，無(wú)形中又增加了題目難度.

2 以數(shù)學(xué)史(數(shù)學(xué)文化)為背景的新知閱讀題

此類(lèi)問(wèn)題常以數(shù)學(xué)名人與名著、猜想與結(jié)論、成果與發(fā)現(xiàn)、故事與時(shí)事、名題與趣題等為取材背景，以數(shù)學(xué)知識(shí)和能力為載體，以對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查為目的，在各地模擬及高考中出現(xiàn)的頻率逐漸升高，其重要性與必要性不言而喻.這是新高考的一大顯性特點(diǎn)，也為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個(gè)良好的導(dǎo)向.

y=x-1.

即

例4由倍角公式cos 2x=2cos2x-1，知cos 2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t)，使得cosnx=Pn(cosx)，這些多項(xiàng)式Pn(t)稱(chēng)為切比雪夫多項(xiàng)式．例如cos 2x=P2(cosx)=2cos2x-1，記作P2(t)=2t2-1．利用P3(t)求得sin 18°=

( )

分析因?yàn)?/p>

cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcosx-sin 2xsinx

=(2cos2x-1)cosx-2sinxcosxsinx

=4cos3x-3cosx,

所以

cos 54°=4cos318°-3cos 18°，

即

sin 36°=4cos318°-3cos 18°，

從而

2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°，

于是

2sin 18°=4(1-sin218°)-3,

即

4sin218°+2sin 18°-1=0，

解得

評(píng)注本題利用切比雪夫多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合三角恒等變換公式，求出sin 18°的值.在這個(gè)過(guò)程中，切比雪夫多項(xiàng)式提示了三角變換的方式，為引出關(guān)于sin 18°的一元二次方程指明了方向.可以說(shuō)，題目中所提供的切比雪夫多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，本身就是一種解決問(wèn)題的方法.以數(shù)學(xué)史(數(shù)學(xué)文化)為背景的新知閱讀題在近年新高考試卷中也時(shí)常出現(xiàn)，如2020年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考中的“日晷”問(wèn)題、2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考中的“中國(guó)古代建筑”問(wèn)題等.

3 基于概念(定理、公式、結(jié)論等)延伸型的新知閱讀題

還有一類(lèi)新知閱讀問(wèn)題，其命題背景并非來(lái)源于數(shù)學(xué)史，而是從學(xué)生熟悉的基本概念、定理、定義、公式、結(jié)論等出發(fā)，要求在理解知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)概念進(jìn)行延伸或推廣，并用此來(lái)解決一些較為靈活的數(shù)學(xué)問(wèn)題.例如，定義一種新的向量運(yùn)算：a?b=|a|·|b|·sin ，類(lèi)比向量數(shù)量積的性質(zhì)，探究上述運(yùn)算的性質(zhì).此類(lèi)問(wèn)題往往對(duì)學(xué)生的理解能力、創(chuàng)新意識(shí)及數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力要求較高.

即

亦即

例6無(wú)窮符號(hào)∞在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的符號(hào)，該符號(hào)的引入為微積分和集合論的研究帶來(lái)了便利.某校在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中以無(wú)窮符號(hào)為創(chuàng)意來(lái)源，設(shè)計(jì)了如圖1所示的活動(dòng)標(biāo)志，該標(biāo)志由兩個(gè)半徑分別為15和20的實(shí)心小球相交而成，球心距O1O2=25，則該標(biāo)志的體積為_(kāi)_____.

圖1 圖2

分析記兩球面的交線為⊙O，其大圓截面如圖3所示，則

圖3

152-O1O2=202-O2O2，

且

OO1+OO2=25，

解得OO1=9，OO2=16，

=14 400π.

新知閱讀類(lèi)試題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的一類(lèi)重要題型.由以上例題可以看出，此類(lèi)問(wèn)題的解決過(guò)程基本遵循兩個(gè)操作步驟:一是需要閱讀相關(guān)新知材料，理解其想要表達(dá)的真正內(nèi)涵;二是遷移運(yùn)用新知來(lái)解決具體問(wèn)題.毋庸置疑，新知閱讀題對(duì)于提升學(xué)生的閱讀理解能力和對(duì)知識(shí)的遷移應(yīng)用能力有著較高的學(xué)習(xí)價(jià)值，這也是發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力與發(fā)揮考試選拔功能的重要題型，因此應(yīng)引起重視并加強(qiáng)訓(xùn)練.

4 幾點(diǎn)思考

4.1 重視數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)，提高學(xué)生的閱讀能力

學(xué)生有早讀課，一般讀語(yǔ)文或英語(yǔ)，有的學(xué)校還設(shè)有晚讀課，讀政史地，因此，閱讀早已成為文科學(xué)習(xí)的一種常見(jiàn)形式.數(shù)學(xué)需要閱讀嗎？2020年初，《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的發(fā)布和實(shí)施以來(lái)，高考命題方向發(fā)生了顯著的變化，高考試卷逐步突出對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的考查，而“閱讀理解能力”是數(shù)學(xué)學(xué)科高考著重考查的關(guān)鍵能力(閱讀理解、信息整理、語(yǔ)言表達(dá)、批判性思維)之一.同時(shí)，在信息社會(huì)，數(shù)學(xué)閱讀理解也是學(xué)習(xí)和生活的一項(xiàng)基本技能.縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，一方面題干的文字不斷增多，篇幅逐漸增長(zhǎng)；另一方面，更加突出問(wèn)題情境、理性思維及對(duì)新知識(shí)的理解運(yùn)用.例如，2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的第4題，問(wèn)題雖然很簡(jiǎn)單，只是考查了臺(tái)體的體積公式，但整個(gè)題目近150個(gè)字符，并以“南水北調(diào)、水庫(kù)、海拔高度”等現(xiàn)實(shí)生活中的素材為背景，稱(chēng)得上是一個(gè)小型的“閱讀理解”試題.

長(zhǎng)期以來(lái)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐主要以“解題”與“思考”為主，不太重視“閱讀”與“表達(dá)”，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中閱讀興趣低、習(xí)慣差、閱讀視野狹隘，缺乏耐心及自主性，閱讀能力不容樂(lè)觀[2].這不僅與數(shù)學(xué)本身的邏輯嚴(yán)密性、高度抽象性及語(yǔ)言的多樣性(符合語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等)有關(guān)，還與缺乏正確的閱讀指導(dǎo)有一定的關(guān)系.因此，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的指導(dǎo)，為學(xué)生提供豐富的閱讀素材，營(yíng)造良好的閱讀氛圍，繼而提高學(xué)生的閱讀興趣.特別要通過(guò)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“互譯”技能，形成“數(shù)學(xué)語(yǔ)感”，掃清閱讀障礙，教師應(yīng)適度介紹閱讀理解的方法，逐步提高數(shù)學(xué)閱讀理解的要求，并建議嘗試在課程安排上開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)閱讀課，至少要將數(shù)學(xué)閱讀納入課堂教學(xué)環(huán)節(jié)之中，并加強(qiáng)閱讀訓(xùn)練與評(píng)價(jià).

4.2 發(fā)揮數(shù)學(xué)文化資源在數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建中的作用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》)明確指出，在實(shí)施教學(xué)時(shí)，應(yīng)將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)活動(dòng)中去，引導(dǎo)學(xué)生了解……提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)、應(yīng)用意識(shí)和人文精神.近年來(lái)，各地?cái)?shù)學(xué)高考試卷中也出現(xiàn)了不少關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”的題目，這不僅是一個(gè)導(dǎo)向，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)科育人方面具有不可或缺的應(yīng)用價(jià)值.《課標(biāo)》還指出，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、開(kāi)闊學(xué)生的知識(shí)視野，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、提升核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)文化的價(jià)值不僅在《課標(biāo)》中得到肯定，同時(shí)在數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)共同體內(nèi)也獲得了越來(lái)越多的學(xué)者和一線教師的廣泛認(rèn)可.因此，教師要提升對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)，增加數(shù)學(xué)文化的知識(shí)儲(chǔ)備，掌握必要的方法，充分利用新教材的章首語(yǔ)、課題引入背景、習(xí)題、例題、閱讀材料、數(shù)學(xué)寫(xiě)作、數(shù)學(xué)建模、信息技術(shù)應(yīng)用等諸多環(huán)節(jié)，不斷滲透數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)文化深入課堂、融入生活，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化資源在數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建中的作用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透力和吸引力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的學(xué)科育人目標(biāo).

在此需要特別強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)文化除上述諸多元素外，還包括當(dāng)前社會(huì)、科技等方面的熱點(diǎn)問(wèn)題，以此類(lèi)素材為背景的考題，在新高考試卷中屢見(jiàn)不鮮.

4.3 在問(wèn)題的解決中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本要素包括條件和結(jié)論.問(wèn)題的解決一般從條件出發(fā)，在目標(biāo)的牽引下，運(yùn)用各種認(rèn)知活動(dòng)、技能方法等，經(jīng)過(guò)一系列的思維操作，使問(wèn)題得以解決的過(guò)程.常規(guī)試題的條件及結(jié)論具有明確性、指向性、目的性等特點(diǎn)，按照常規(guī)的思維方法基本可以形成解題思路，解題過(guò)程具有一定的規(guī)律性.而旨在考查學(xué)生創(chuàng)新能力的試題，其條件和結(jié)論在結(jié)構(gòu)上不完整，指向也不明確，甚至有不相融的一面[3].例如，新高考中的結(jié)構(gòu)不良試題、答案不唯一(開(kāi)放型)試題、新知閱讀題等.在教學(xué)中，教師要不斷地探索此類(lèi)問(wèn)題的命題特征，特別是新知閱讀題，要探索“新”在何處——是題目構(gòu)建新穎、條件太寬泛還是結(jié)論太開(kāi)放？要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其中的異同點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在多種解法中，打開(kāi)自己思維的“閥門(mén)”，給予學(xué)生大量的思維發(fā)散空間和問(wèn)題解決的平臺(tái)，只有這樣，才能在問(wèn)題解決的過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，繼而形成此類(lèi)問(wèn)題的解決路徑.