對(duì)一道幾何最值問(wèn)題的多角度剖析

陳 刊, 吳 凱

(1.開(kāi)元中學(xué)，浙江 杭州 310000；2.菱湖中學(xué)，浙江 湖州 313018)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)在課程內(nèi)容“圖形與幾何”中提出從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析這3個(gè)方面研究圖形的基本性質(zhì)與相互關(guān)系[1]．中學(xué)數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容、思想方法、應(yīng)用層次上都存在差異，導(dǎo)致一個(gè)幾何問(wèn)題從思路分析到解題路徑截然不同.但觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的模式是相通的，培養(yǎng)和發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)也是一致的.同時(shí)解題教學(xué)能有效幫助學(xué)生完善知識(shí)體系，提升思維品質(zhì)．本文通過(guò)對(duì)一道幾何最值問(wèn)題的多角度解題剖析，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的有機(jī)融合．

近日，筆者有幸聆聽(tīng)了杭州某地區(qū)一節(jié)高二期末復(fù)習(xí)公開(kāi)課，課堂上的一道幾何最值問(wèn)題，引起了筆者的關(guān)注．

1 原題再現(xiàn)

圖1

2 幾何圖形特征分析

例1是以等邊三角形為背景、角度為定值的條件下，求兩線段之比的最小值，主要考查學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力．從角的特殊性出發(fā)尋找邊的特殊性，具有極強(qiáng)的平面幾何題目的典型性．初中學(xué)生完全有能力運(yùn)用平面幾何的方法求解．

從已知條件分析，關(guān)鍵條件∠BDC=120°結(jié)合等邊△ABC，通過(guò)∠DCB+∠DBC=∠DBC+∠ABD=60°可以轉(zhuǎn)化成∠DCB=∠ABD.中考題通常只討論一條線段的長(zhǎng)度取值，因此從結(jié)論分析，求兩條不確定線段之比確實(shí)難度不?。?/p>

3 解題剖析

角度1構(gòu)造輔助圓及其性質(zhì).

圖2

由∠DCB=∠AEB，且∠DCB=∠ABD，得

∠ABD=∠AEB，

又

∠DAB=∠BAE，

則

△ABD∽△AEB，

可得

故

評(píng)注《新課標(biāo)》提到“理解圖形變化中的不變量”．本題AD與BD的長(zhǎng)度變化由點(diǎn)D位置的不確定引起，只要抓住點(diǎn)D與邊BC兩端構(gòu)成張角不變，就能確定出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡——圓弧．這樣的思考過(guò)程正符合了空間觀念的內(nèi)涵之一“表達(dá)關(guān)鍵物體的空間位置和相互之間的關(guān)系”．不斷轉(zhuǎn)化條件，既訓(xùn)練學(xué)生的推理能力，又逐步發(fā)展學(xué)生的空間觀念．

角度2聯(lián)系費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的圖形旋轉(zhuǎn).

費(fèi)馬點(diǎn)是到三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．

如何找費(fèi)馬點(diǎn)？如圖3，P為△ABC所在平面上的一點(diǎn)，將△BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°到△BP′C′的位置，聯(lián)結(jié)PP′，則△BPP′為正三角形，從而

圖3 圖4

PA+PB+PC=PA+PP′+P′C≥AC′．

當(dāng)點(diǎn)A,P,P′,C′共線時(shí)，PA+PB+PC為最小.此時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

評(píng)注將△BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°，是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題證明中的點(diǎn)睛之筆．通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將線段PC轉(zhuǎn)化到P′C′；通過(guò)等邊三角形，將線段PB轉(zhuǎn)化到PP′．兩次轉(zhuǎn)化打開(kāi)了3條線段求和的新局面，基于這樣的思路，不妨旋轉(zhuǎn)部分圖形．

解法2如圖4，將△CBD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CAE，聯(lián)結(jié)DE，則

BD=AE， ∠AEC=∠BDC=120°.

因?yàn)镃D=CE，∠DCE=60°，可得△CDE為等邊三角形，其中∠CED=60°，所以

∠AED=∠AEC-∠CED=60°.

作AM⊥DE于點(diǎn)M，則

評(píng)注旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)在于構(gòu)造全等三角形，利用對(duì)應(yīng)邊相等將AD,AE(BD轉(zhuǎn)化)集中到△AED上，在△AED中∠AED是已知角．從三角形邊角關(guān)系分析，已知一角，求對(duì)邊與鄰邊的比值范圍，運(yùn)用三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)最佳．

通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，關(guān)鍵條件∠BDC=120°化身成了等邊△DCE，將費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的證明過(guò)程作為解題思路的啟發(fā)，有助于打破原有圖形條件的束縛，在新的關(guān)聯(lián)下找新的突破．用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，有利于發(fā)展核心素養(yǎng)中的應(yīng)用意識(shí)．

角度3巧妙聯(lián)想三角形正弦定理.

如圖5，前文分析將關(guān)鍵條件∠BDC=120°轉(zhuǎn)化成∠1=∠2，不難發(fā)現(xiàn)：所求線段AD與BD分別是△ADB和△BDC中∠1和∠2所對(duì)的邊．由這樣的邊角關(guān)系容易想到正弦定理．

圖5

解法3由題意可知，在等邊△ABC中，∠BDC=120°，可得∠1=∠2，且AB=BC，則由正弦定理可得

角度4解析幾何思想的運(yùn)用.

《新課標(biāo)》提到初中階段幾何與圖形領(lǐng)域還包括了“圖形與坐標(biāo)”這個(gè)主題．初中生受限于解析幾何知識(shí)儲(chǔ)備不足，尚不能將題目量化分析，但高中課堂中解析法可“大放光芒”．

通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)D的軌跡方程.確定軌跡后，可利用兩點(diǎn)間的距離公式表示線段的比，通過(guò)對(duì)二元二次分式的處理，轉(zhuǎn)化為斜率的最值問(wèn)題，再利用相切關(guān)系求出最值．

圖6

圓心N到直線DE的距離為

化簡(jiǎn)得

評(píng)注該解法充分運(yùn)用了解析幾何的思想精髓，從坐標(biāo)到軌跡，從線段比到斜率，過(guò)程如行云流水，環(huán)環(huán)相扣，知識(shí)點(diǎn)清晰且明確，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力提出了極高的要求．解析法體現(xiàn)了“坐標(biāo)化”的特點(diǎn)，更加適合方程化運(yùn)算，無(wú)形中也弱化了解決幾何問(wèn)題本該具備的邏輯推理能力．但經(jīng)歷從幾何特征思維躍遷至代數(shù)運(yùn)算思維，不禁感嘆數(shù)學(xué)運(yùn)算的神奇魅力．

4 解法反思

4.1 幾何解題的核心思想——轉(zhuǎn)化

核心素養(yǎng)要求以數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，而幾何解題的眼光就是戴著轉(zhuǎn)化的“有色眼鏡”觀察、分析幾何的圖形特征．羅增儒教授提出：“尋找解題思路的過(guò)程就是尋找條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過(guò)程．”[2]解法1～3均突出了幾何圖形的轉(zhuǎn)化．如∠BDC=120°可以結(jié)合等邊三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)角相等，或利用它的鄰補(bǔ)角60°為構(gòu)造等邊三角形搭好平臺(tái)等．

學(xué)生面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)難以一下子找到方向，主要在于缺乏轉(zhuǎn)化的眼光．教師在教學(xué)中可多些總結(jié)，如線段、角的轉(zhuǎn)化都有哪些常見(jiàn)的幾何基本圖形等．譬如利用軸對(duì)稱性，把一側(cè)的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化到另一側(cè)；利用兩個(gè)三角形之間的特殊關(guān)系(構(gòu)造全等或相似三角形)，對(duì)應(yīng)的邊角之間的轉(zhuǎn)化．

4.2 數(shù)形結(jié)合研究幾何的利器——解析幾何

平面直角坐標(biāo)系是數(shù)軸的發(fā)展，是溝通幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算的重要紐帶．解法4利用坐標(biāo)系充分量化圖形，用純代數(shù)的方法表達(dá)圖形的變化．初中生雖然知識(shí)儲(chǔ)備上不及高中學(xué)生，但嘗試用代數(shù)方法研究幾何圖形特征的做法值得提倡．在感悟數(shù)形結(jié)合意義的同時(shí)，充分發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力和運(yùn)算能力．

4.3 幾何解題的核心美感——簡(jiǎn)潔

核心素養(yǎng)要求以數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，幾何的語(yǔ)言是無(wú)懈可擊的簡(jiǎn)潔語(yǔ)言．解法1和解法4中隱藏圓，挖掘定角背后的運(yùn)動(dòng)軌跡；解法2與大名鼎鼎的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生共鳴，旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一對(duì)全等三角形和等邊三角形，前者是兩個(gè)三角形的特殊關(guān)聯(lián)，后者是特殊的三角形；在解法3中，兩個(gè)三角形各自一邊對(duì)一角，運(yùn)用正弦定理巧妙地推出新的一邊對(duì)一角，此法無(wú)須新圖形的構(gòu)造，解題過(guò)程亦少，最為簡(jiǎn)潔．

4.4 幾何解題直覺(jué)的積累——實(shí)踐

圖7

5 拓展與變式

5.1 條件一般化

圖8 圖9

5.2 各類變式

圖10 圖11

6 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)知識(shí)的積累往往是從無(wú)到有、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從“雜亂”走向“有序”的漸進(jìn)過(guò)程．解決幾何問(wèn)題，初中階段傾向于平面幾何證明，而到了高中階段，則更傾向于用解析幾何方法，這源自數(shù)學(xué)發(fā)展史上笛卡爾平面直角坐標(biāo)系的發(fā)現(xiàn)及其被世界廣泛認(rèn)可、接受和推廣運(yùn)用的發(fā)展過(guò)程，這是自然的、客觀的、有歷史可考證的，符合人類思維進(jìn)化的正常發(fā)展模式．中學(xué)數(shù)學(xué)的主要思想方法并沒(méi)有明確的階段劃分，教學(xué)也不應(yīng)存在思維壁壘．如圖12，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程本質(zhì)從未發(fā)生改變．

圖12

正如章建躍博士所說(shuō)：“在用代數(shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化幾何問(wèn)題前，一定要注意用幾何的眼光分析面臨的問(wèn)題．”[3]倘若教師在幾何解題教學(xué)中以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為依托，有機(jī)融合數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性上動(dòng)足腦筋，做好學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)，不僅有助于拓寬學(xué)生的視野、優(yōu)化解題思路、合理減少運(yùn)算量、提高解題效率，更能點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提升課堂的活力，中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂會(huì)更加精彩紛呈．