活用數(shù)學化歸思想 提升立幾解題能力
——以2022年浙江省數(shù)學高考第19題為例

張林華

(嘉興市第四高級中學，浙江 嘉興 314000)

2022年6月，筆者有幸參加了數(shù)學學科的高考閱卷工作，批閱立體幾何大題.結(jié)合先前的思考，筆者對于高中立體幾何題如何運用化歸思想，降低解題難度，讓學生能夠拾級而上順利解題，提升學生數(shù)學學習的信心，有了自己的一些體會.

以下是2022年6月浙江省數(shù)學高考卷中的立體幾何大題，放在第19題，也就是五個大題中的第二題的位置.該題對空間想象力不足的學生來說是個難點.

題目如圖1，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，DC∥EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-CD-B的平面角為60°，設M，N分別為AE，BC的中點.

圖1

圖1

1)證明：FN⊥AD；

2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

(2022年浙江省數(shù)學高考試題第19題)

1 線面條件最少化策略

根據(jù)認知心理學理論，認知負荷是指一個人的工作記憶可以處理的信息總量.當人的工作記憶接收到的信息超出了自如控制的范圍時，認知超載就產(chǎn)生了，將會直接導致挫敗感并形成最終的決策.認知超載也會造成情緒上的波動，從而產(chǎn)生一種內(nèi)心上的焦慮，導致記憶效果變差，解決問題的能力降低.

如果能夠減少題目中立體圖形的直線或平面等元素，勢必會減少認知超載現(xiàn)象的發(fā)生.基于這種設想，筆者經(jīng)常要求學生：如果在解題時有困難，可以再重新畫一個圖，將暫時不需要的線不放入新圖，摒棄無用條件，突出必用條件，結(jié)合題意再將其他線段漸次放入所畫圖形，從而達到降低解題難度的目的.在本題中，線段BM在第1)小題中根本沒有用到，因此，學生畫新圖時可以先不連BM.

立體幾何主要涉及線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系、求線面角和二面角等.在解題時，這些關(guān)系中的線面垂直關(guān)系往往處于“核心地位”，經(jīng)常找圖形中的線面垂直關(guān)系，思索問題的重點與核心，可以減少無關(guān)干擾，減輕學生的思維負荷.本題中有CD⊥面FCB，NF⊥面ABCD等線面垂直關(guān)系，這些關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在.

2 空間問題平面化策略

空間問題平面化(降維)是處理立體幾何問題的一種重要的思想方法.所謂空間問題平面化，就是將空間的點、線、面的關(guān)系放到同一平面上進行研究.常用的平面化方法有“截、展、移、轉(zhuǎn)、射”等.以“截”為例，就是在空間圖形能反映各元素的關(guān)系的適當位置做一個截面，或者取立體圖形中的某個面，畫出它的平面圖形，在這個平面圖形內(nèi)集中研究各元素間的關(guān)系，使得空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

圖3 圖4

3 特型幾何坐標法策略

高中數(shù)學知識中代數(shù)占比明顯要高于幾何，尤其是立體幾何的內(nèi)容更少，用得多的代數(shù)計算自然成為學生解決數(shù)學問題的拿手工具，許多立體幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.通過建立空間直角坐標系，立體幾何問題在很大程度上可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這就給學生提供了代數(shù)方法解決幾何問題的通路，尤其是對于那些空間想象能力不強的學生，用建立空間直角坐標系解決立體幾何問題幾乎成了“唯一”的辦法.

圖5 圖6

本題還可采用“暴力建系法”求解，這就不需要指明∠FCB為二面角F-DC-B的平面角.具體解題過程如下：

4 幾何問題向量化策略

向量是既有大小、又有方向的量.向量具有幾何方面的特性——方向，又具有代數(shù)方面的特性——大小.這就意味著向量就是一個代數(shù)與幾何完美結(jié)合的典范，具有很強的解析性.它能提供傳統(tǒng)幾何關(guān)注的長度、角度、面積、體積等數(shù)值量所不能提供的額外信息，是一把解題利器.

上述證法2和證法3的坐標法，本質(zhì)上是一種向量方法.本題還可以用空間向量基本定理設基底進行解決，得到如下證法.

=0+6+0-6=0.

于是

NF⊥AD.

本題還可以利用三棱錐模型中的二級結(jié)論“對角線向量定理”證明.

5 幾何圖形模型化策略

許多立體幾何問題較為抽象，不易理解，給學生學習造成了一些困擾.立體模型的構(gòu)建將抽象的立體圖形變得更加具體形象，構(gòu)成常見的“標準圖形”，從而拓展學生的空間想象，可以提高解題能力，收到事半功倍的效果.模型構(gòu)建的本質(zhì)是根據(jù)題意進行數(shù)學建模，在解題方法上加以創(chuàng)新.常見的立體幾何模型(“標準圖形”)有正方體模型、長方體模型、棱錐模型、圓錐模型、球模型等.有些圖形比較繁雜，解題時可以從中抽取出熟悉的幾何圖形模型，在厘清這個“標準圖形”的基礎上解決復雜圖形，或者有些圖形會有“缺損”，需要先補成常見幾何模型再進行解題.

本題可以將立體圖形看成是正三棱柱的一部分，“補形”成學生熟知的正三棱柱(如圖7)，從而提升學生解決問題的信心，還可以通過“折紙”的方式來厘清其中的線面關(guān)系，就是將這個立體圖形看成由CD為公共邊的兩個直角梯形翻折得到.

圖7

對于第2)小題，還可以通過找出適合的三棱錐(模型)，利用三棱錐的“體積相等”進行解題.

6 線面位置多視角策略

多視角就是從多種角度出發(fā)并貫穿始終的處理方式.解題時可以從條件出發(fā)“由因?qū)Ч?，也可以從結(jié)論出發(fā)“執(zhí)果索因”，還可以二者同時使用進行“夾逼”.條件或結(jié)論還可以從不同的角度去理解，進行發(fā)散性思考.本題要證明線線垂直，除了常規(guī)的“通過證明NF⊥面ABCD，從而證明NF⊥AD”外，還有學生“感知”到了AD垂直于FN所在的平面，也就是“通過證明AD⊥面NFD”來證明線線垂直關(guān)系，參看下面的證法.

∠ADN=90°，AD⊥DN.

又在△ADF中，AF2=AD2+FD2，得

AD⊥DF，

從而

AD⊥面NFD，

即

AD⊥NF.

對于第2)小題，還可以觀察猜測：面ADE⊥面ABFE，得出∠EMB(或它的補角)為所求的線面角.此時，需要用勾股定理證明DM⊥MB，從而證明DM⊥面ABFE，進而得出面ADE⊥面ABFE.

總之，以上6種解題策略都是立體幾何化歸思想的具體表現(xiàn).這些解題策略并不都是解決該問題的最佳化歸途徑，具體問題需要具體分析，靈活運用，以降低解題的難度，找到針對性的解決辦法.

以上策略不僅適用于有關(guān)立體幾何題，對于解析幾何、函數(shù)圖像、向量圖形等問題，當題目中涉及的直線、曲線、幾何關(guān)系等條件比較多、關(guān)系比較復雜，或者問題比較抽象時，都可以用以上6種方法進行嘗試.