問題解決模式下“空間三角”單元教學(xué)研究

沈 良

(蕭山區(qū)第五高級中學(xué)，浙江 杭州 311202)

在以核心素養(yǎng)培養(yǎng)為目標(biāo)的新課程背景下，單元教學(xué)顯得越來越重要，它有利于將碎片化知識轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)性知識，有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，從學(xué)習(xí)專家結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)槟芟駥＜乙粯铀伎紗栴}.而如何更好地理解教材、挖掘教材，更好地開展單元教學(xué)值得我們深入研究.本文以喻平教授關(guān)于“以問題解決過程線索為主題的單元教學(xué)模式”的理論為指導(dǎo)，探索“空間三角”(本文指“異面直線所成的角”“直線與平面所成的角”和“二面角的平面角”)的單元教學(xué)研究，談?wù)剢栴}解決模式下數(shù)學(xué)單元教學(xué)的落實(shí)與推進(jìn).

1 內(nèi)容重構(gòu)的背景

2019年人教版高中《數(shù)學(xué)(必修2)》第8.6節(jié)“空間直線、平面的垂直”中，包含“直線與直線垂直”“直線與平面垂直”“平面與平面垂直”這3個(gè)部分內(nèi)容，其中又涵蓋了“異面直線所成的角”“直線與平面所成的角”“二面角”的學(xué)習(xí).“空間直線、平面垂直”與“空間三角”的定義交織在一起，通過異面直線所成角為直角定義了兩條異面直線垂直；通過直線與平面垂直找到斜線在平面內(nèi)的射影，從而定義了直線與平面所成的角；通過二面角的直二面角定義了面面垂直.以垂直為主線展開研究，有兩個(gè)方面重要意義：一方面，繼續(xù)加強(qiáng)從“一般觀念”上的引導(dǎo)，讓學(xué)生明確“什么是空間直線、平面的垂直”以及“當(dāng)空間直線、平面垂直時(shí)，其要素中有什么確定的不變關(guān)系”；另一方面，充分類比空間直線、平面平行關(guān)系的研究方式，引導(dǎo)學(xué)生研究空間直線、平面之間的垂直關(guān)系.

開展以空間三角為主線的單元教學(xué)實(shí)踐需考慮以下4個(gè)方面：

1)問題的普遍性.空間三角作為刻畫直線、平面之間相對傾斜程度的幾何量，在生產(chǎn)、生活實(shí)際中具有普遍性，是我們研究直線、平面位置關(guān)系經(jīng)常需要面臨的度量問題.而垂直作為一種特殊的位置關(guān)系固然值得我們重點(diǎn)研究，但特殊寓于一般中，設(shè)計(jì)從一般到特殊的學(xué)習(xí)路徑同樣值得我們研究.

2)思想的一致性.教材中，空間三角定義給出平面化的方法，滲透了降維思想.兩條異面直線所成的角通過平移用相交直線所成角刻畫，直線與平面所成角用直線和它在平面上的射影所成角定義，而二面角的平面角則用棱上一點(diǎn)在兩半平面內(nèi)分別作棱垂線的夾角定義.概念建構(gòu)思想的一致性，有利于我們開展空間三角的類比學(xué)習(xí).

3)知識的發(fā)展性.“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”，從降維思想出發(fā)，引申出這樣的思考：直線與平面所成角可否用該直線與平面內(nèi)直線所成角刻畫，平面與平面所成角能否用直線與平面所成角去度量刻畫.也就是從事物的發(fā)展性考慮，尋找“線線角、線面角、二面角”建構(gòu)過程中的內(nèi)在聯(lián)系性.

4)內(nèi)容的系統(tǒng)性.當(dāng)有了3個(gè)空間角的概念后，在一般化的問題中，特別是在變化過程中，我們需要更進(jìn)一步研究這3個(gè)角的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從孤立到聯(lián)系看問題的習(xí)慣.同時(shí)，數(shù)學(xué)是人類對事物抽象結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行嚴(yán)格描述的一種通用手段，能否抽象出一個(gè)幾何模型刻畫空間三角的大小關(guān)系，這是培養(yǎng)學(xué)生模型意識的重要方面.

2 內(nèi)容重構(gòu)的路徑

基于上述思考，筆者嘗試以“空間三角”為主線、“空間直線、平面垂直”為輔線進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì).又因空間三角是我們現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常會面臨的度量問題，這類問題具有極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，故筆者開展以“問題解決過程為線索”的主題單元設(shè)計(jì).以問題解決過程線索為主題組織單元，是指在解決問題的過程中可能會出現(xiàn)許多新問題，然后以這些新問題串為主線展開研究進(jìn)而產(chǎn)生新知識學(xué)習(xí)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)[1].

本單元總共包含5課時(shí)內(nèi)容設(shè)計(jì)，主要為“異面直線所成的角”(1課時(shí))、“直線與平面所成的角”(1課時(shí))、“二面角”(2課時(shí))以及“空間三角聯(lián)系”(1課時(shí)).每課時(shí)主要包含“問題聚焦、概念生成、模型建構(gòu)、聯(lián)結(jié)應(yīng)用”這4個(gè)段落推進(jìn).基于問題解決感知各空間角的度量，通過操作確認(rèn)感受直覺合理性，借助幾何模型開展推理論證感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，最后進(jìn)行計(jì)算應(yīng)用.

1)問題聚焦.在以問題解決過程為線索設(shè)計(jì)空間三角教學(xué)中，一個(gè)好的問題包含3個(gè)方面重要特征：①情境性，空間角的度量源于生活，在教學(xué)中應(yīng)盡可能選擇一些生動(dòng)的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也能使學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義；②建構(gòu)性：問題的選擇不僅要實(shí)現(xiàn)解決問題本身，也要能較好地實(shí)現(xiàn)知識建構(gòu)，特別是在以空間三角為研究對象的過程中，需要融入“空間直線、平面垂直”的學(xué)習(xí)，故選擇的情境問題要利于知識的建構(gòu)與發(fā)展；③度量性：空間三角本身就是為度量而用，因此教學(xué)中選擇的問題盡量以具體運(yùn)算為對象，讓學(xué)生在計(jì)算過程中，感知角的定義與大小，由感性認(rèn)識發(fā)展到理性認(rèn)識.

2)概念生成.以問題解決過程作為單元教學(xué)的主題，一定程度上顛覆了教材中以知識邏輯結(jié)構(gòu)為順序的過程，它從解決問題入手，分析可能產(chǎn)生的概念和命題，厘清知識產(chǎn)生的緣由，還原知識的形成過程[1].在空間角問題解決過程中，逐步完善空間角定義，逐步提出“空間直線”“平面垂直”的定義，進(jìn)而得出空間直線、平面垂直相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理等.

3)模型建構(gòu).明確概念的內(nèi)涵和外延之后，需要思考概念所具有的性質(zhì)，特別是能否找到探索概念性質(zhì)的一般規(guī)律或模型，從而對概念進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理.立體幾何中相關(guān)性質(zhì)的探索必然是借助特殊幾何體模型實(shí)現(xiàn)的.在空間角的學(xué)習(xí)中，重要的是思考線面角、二面角的性質(zhì)具有怎樣的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)最小角性質(zhì)定理和最大角性質(zhì)定理，且這兩個(gè)性質(zhì)定理可在幾何體“鱉臑”中有較好的呈現(xiàn).

4)聯(lián)結(jié)應(yīng)用.“聯(lián)結(jié)應(yīng)用”指的是對概念的進(jìn)一步理解和應(yīng)用.在建構(gòu)完知識體系后，接下去是呈現(xiàn)知識學(xué)習(xí)的意義，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也是對教學(xué)中一開始提出問題和解決問題的呼應(yīng)，空間角學(xué)習(xí)的意義自然是刻畫空間直線、平面的相對傾斜程度.

3 內(nèi)容重構(gòu)的目標(biāo)

以“空間三角”為主線的單元學(xué)習(xí)，教學(xué)目標(biāo)包含以下5個(gè)方面：

1)理解空間三角所表達(dá)的物理意義——刻畫相對傾斜程度，對數(shù)學(xué)中的“定量刻畫”有一定認(rèn)知;

2)理解空間三角的定義，能運(yùn)用定義求解簡單的空間角大小;

3)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待空間三角關(guān)系，構(gòu)建幾何模型證明三者的不等關(guān)系，得出空間角的兩個(gè)性質(zhì)定理，并能在簡單問題中判斷空間角的大小;

4)在問題解決過程中，滲透空間直線、平面的垂直關(guān)系的概念，由平行類比學(xué)習(xí)空間直線、平面的判定定理和性質(zhì)定理等;

5)通過空間三角的學(xué)習(xí)，體會轉(zhuǎn)化思想在空間幾何度量中的作用(空間問題平面化)，并對數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)有一定認(rèn)知，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng).

4 空間三角單元教學(xué)實(shí)踐

以“問題解決過程為線索”的主題單元設(shè)計(jì)，往往會選取一些比較經(jīng)典的實(shí)際問題，在沒有明確嚴(yán)格定義一些概念的情況下，通過直覺感知的方式嘗試解決問題.這是一個(gè)從問題提出、問題解決、再逐步修正完善概念、最后利用概念度量相關(guān)問題的過程.這個(gè)過程與教材中以邏輯嚴(yán)密的方式呈現(xiàn)內(nèi)容不同，更加注重學(xué)生問題解決的直覺性，使學(xué)生能更好地明白概念學(xué)習(xí)的必要性，更有利于學(xué)生從學(xué)習(xí)專家結(jié)論到能像專家一樣思考的轉(zhuǎn)變.

下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從“第2課時(shí)：直線與平面所成的角”“第3課時(shí)：二面角(1)”的教學(xué)過程，談問題解決模式下的單元教學(xué)實(shí)踐.

4.1 “第2課時(shí)：直線與平面所成的角”的教學(xué)過程

4.1.1 問題聚焦

例1如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大?。鬉B=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，試求tanθ的最大值.

圖1

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

教學(xué)中拋出問題，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組討論，最后師生共研.教師主要引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)方面核心內(nèi)容：

1)如何表示這個(gè)仰角；

2)如何刻畫仰角的正切值.

在教學(xué)中，學(xué)生提出過點(diǎn)P作BC的垂線PD，聯(lián)結(jié)AD，則∠PAD為仰角θ.設(shè)PD=x，得

教師肯定了學(xué)生們的智慧，在還沒有完全明確線面角概念學(xué)習(xí)的情況下，憑數(shù)學(xué)直覺找到了這個(gè)角，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的自然性，也體現(xiàn)了學(xué)生直覺的正確性.教師進(jìn)一步梳理：所謂仰角指的是直線AP相對于水平面ABC所成的角，這個(gè)角可稱為直線與平面所成的角.

4.1.2 概念生成

那么一般地，如何定義直線與平面所成的角？師生將目光共同聚焦于線面角的定義探索.教師給出一個(gè)平面α和它的一條斜線l(如圖2)，讓學(xué)生嘗試定義線面角.

圖2 圖3

共同研究后，得出在直線l上任找一點(diǎn)P(如圖3)，過點(diǎn)P作平面α的垂線PO(其中O為垂足)，則∠PAO就是直線l與平面α所成的角，即平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生思考“如何界定一條直線與一個(gè)平面垂直”.這樣的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，首先通過觀察旗桿與地面垂直的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)旗桿與其在地面上的影子始終垂直，得出線面垂直的定義，并記此時(shí)線面角的大小為90°.再完成折紙?zhí)骄?，即如何翻折△ABC卡片，使折痕AD垂直于桌面，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)AD⊥BC，即在翻折過程中，AD⊥BD，AD⊥CD時(shí)，AD⊥平面BCD.由此猜想得到線面垂直的判定定理.最后通過類比線面平行，猜想與論證線面垂直的性質(zhì)定理.

至此，從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，通過“感知線面角(仰角)”到“一般化找線面角”，最后實(shí)現(xiàn)“精確定義和線面垂直判定”，在問題解決中一步步建構(gòu)與完善概念，使學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性.

4.1.3 模型建構(gòu)

線面角本質(zhì)上是運(yùn)用平面化方法降維成一個(gè)線線角，用直線與其射影刻畫該直線與平面的相對傾斜程度，那么“直線與它在平面內(nèi)射影所成的角”和“直線與平面內(nèi)任意直線所成的角”又具有怎樣的關(guān)系呢？從而得出最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角.這個(gè)關(guān)系的探索可以讓學(xué)生先通過測量的方式進(jìn)行初步判斷，再通過幾何畫板演示等方法建立模型進(jìn)行推理證明.

如圖4，斜線AP在平面α內(nèi)的射影為AO(其中PO⊥平面α)，作PB⊥AB，聯(lián)結(jié)OB，則

圖4 圖5

且

PO≤PB，

從而

sin∠PAO≤sin∠PAB，

于是

∠PAO≤∠PAB，

最小角定理得證.

4.1.4 聯(lián)結(jié)應(yīng)用

例2如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

1)求直線A1B和平面ABCD所成的角；

2)求直線A1B和平面D1B1BD所成的角；

3)求直線AA1與平面AB1D1所成角的正弦值.

分析以正方體為載體進(jìn)行線面角問題求解.通過求解可知，要找線面角，關(guān)鍵找線面垂直.

1)由AA1⊥平面ABCD可知直線A1B和平面ABCD所成的角為∠A1BA=45°.

2)取B1D1的中點(diǎn)O，易證A1O⊥平面D1B1BD，則A1B和平面D1B1BD所成的角為∠A1BO=30°.

3個(gè)問題從易到難，步步遞進(jìn)，關(guān)注知識本質(zhì)，促進(jìn)概念理解和問題求解.

4.2 “第3課時(shí)：二面角(1)”的教學(xué)過程

4.2.1 問題聚焦

圖6 圖7

1)你認(rèn)為如何刻畫水壩與庫底的相對傾斜程度？

2)嘗試求庫底與水壩所成角的大小.

學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論，最后師生共研.學(xué)生普遍想到過點(diǎn)B作BEAD(如圖7)，聯(lián)結(jié)CE，用∠CBE的大小來衡量水壩與庫底的相對傾斜程度，通過計(jì)算可求得∠CBE=120°.盡管沒有學(xué)習(xí)過二面角以及二面角的平面角的概念，學(xué)生還是能夠比較自然地找到用∠CBE來刻畫大小，再一次說明了數(shù)學(xué)的自然性.

4.2.2 概念生成

通過水壩與庫底的結(jié)構(gòu)圖，聯(lián)系生活中翻書、開門等實(shí)際場景，抽象出二面角的概念以及用二面角的平面角來刻畫相對傾斜程度.當(dāng)二面角是直二面角時(shí)定義兩個(gè)平面互相垂直，后續(xù)可類比面面平行去研究面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，梳理出空間直線、平面垂直的線索.這個(gè)內(nèi)容可以在下一課時(shí)獨(dú)立完成學(xué)習(xí).

4.2.3 模型建構(gòu)

雖然“二面角的平面角”本質(zhì)上也是用線線角刻畫，但當(dāng)我們逐步降維去看時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)“二面角”可轉(zhuǎn)化為“線面角”，“線面角”再轉(zhuǎn)化為“線線角”.由此引發(fā)我們思考：平面內(nèi)任意動(dòng)直線與另一個(gè)平面所成角大小與二面角大小的關(guān)系，從而猜想和論證最大角定理：在一個(gè)銳二面角中，二面角是一個(gè)半平面內(nèi)任意一條直線與另一個(gè)半平面內(nèi)直線所成角的最大角.

圖8

4.2.4 聯(lián)結(jié)應(yīng)用

例4如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求下列二面角的余弦值.

圖9

1)二面角D1-AB-D；

2)二面角C1-BD-C.

圖10

5 研究結(jié)論

5.1 增強(qiáng)學(xué)生的問題意識

“問題解決過程為線索”的設(shè)計(jì)模式，凸顯了數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)生的問題意識，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生“問題發(fā)現(xiàn)和提出、問題分析和解決”的能力.問題可以驅(qū)動(dòng)思維，思維需要問題激勵(lì).以問題探究為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，在問題解決過程中完善知識建構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的求知欲.如何結(jié)合情境設(shè)計(jì)能激發(fā)學(xué)生深度思考的核心問題是重中之重，因?yàn)樗P(guān)乎學(xué)習(xí)任務(wù)的認(rèn)知水平，直接影響學(xué)生在執(zhí)行過程中的思維含量，指引活動(dòng)的思考方向[2].“射擊中仰角的大小”“水壩與庫底之間夾角的大小”等，都是我們?nèi)粘媾R和思考的問題，具有較強(qiáng)的典型性，引入到一般性思考就是刻畫空間直線、平面的相對傾斜程度，這正是數(shù)學(xué)需要思考和解決的問題.通過本單元的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)空間三角的概念既有直覺上的合理性，又有數(shù)學(xué)推理中的嚴(yán)密性.

5.2 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)大觀念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方面是幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)觀念，以數(shù)學(xué)大觀念統(tǒng)攝數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)大觀念是內(nèi)容、過程和價(jià)值的融合，既包含對于核心內(nèi)容本質(zhì)的理解，也包括知識形成和應(yīng)用過程中所體現(xiàn)出來的思想方法和思維方式[3].空間三角的學(xué)習(xí)，在問題提出和解決中要明確研究對象，建立數(shù)學(xué)概念，構(gòu)建知識體系，提供一般化刻畫的方法.特別是經(jīng)歷空間三角的學(xué)習(xí)，一方面，感悟一個(gè)概念抽象建構(gòu)的完整過程，經(jīng)歷從感性到理性、猜想到論證的過程；另一方面，感悟空間角的升維和降維(升維指空間角的發(fā)展性，從線線角到線面角，線面角再到二面角；降維指空間角解決方法的平面化，從二面角到線面角，線面角再到線線角)，這也體現(xiàn)了事物的兩面性.

5.3 利于學(xué)生形成知識結(jié)構(gòu)

一節(jié)一節(jié)、一章一章地學(xué)習(xí)，盡管一定程度上也能達(dá)成夯實(shí)基礎(chǔ)、提升技能的目標(biāo)，但缺乏運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，容易使學(xué)生“只見樹木，不見森林”[4].單元學(xué)習(xí)有利于將知識從零散走向系統(tǒng)，讓知識建構(gòu)通過一條問題解決的主線實(shí)現(xiàn)串聯(lián)與遷移，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).平面化將空間三角緊密聯(lián)系在一起，通過“問題聚焦、概念生成、模型建構(gòu)、聯(lián)結(jié)應(yīng)用”建立起了空間角的學(xué)習(xí)線索，在問題解決過程中生成了相應(yīng)的垂直概念，又通過類比空間直線、平面平行得到了空間直線、平面垂直相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)，形成良好知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖(如圖11).

圖11