“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)中高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

寧愛榮

（甘肅省武威市涼州區(qū)下雙鎮(zhèn)九年制學(xué)校，甘肅武威 733000）

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出了數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際教學(xué)及后續(xù)應(yīng)用中的重要作用與意義。在教學(xué)實(shí)踐中，通過數(shù)形結(jié)合的方式能夠使學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生直觀印象，無論是在教學(xué)效率還是在學(xué)生的理解水平上均具有明顯優(yōu)勢。然而，教師在應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的過程中依舊存在一定的不足，如沒有對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效傳導(dǎo)、沒有對教學(xué)過程進(jìn)行有效展示等?；谏鲜鲈蚺c問題，在探討數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用價(jià)值及當(dāng)下存在問題的基礎(chǔ)上，以小學(xué)高年級為例對其在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用開展研究。

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值及存在問題

（一）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值

1.有助于學(xué)生掌握知識點(diǎn)。通過圖像的方式將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表達(dá)，使得相關(guān)概念的表達(dá)更為準(zhǔn)確，信息傳播更為高效。在教師層面上，多了一種知識呈現(xiàn)方式，使課堂元素更為多元，課堂氛圍更加活潑。在學(xué)生層面上，有助于學(xué)生對于相關(guān)概念的理解，此種方式不僅具有數(shù)字和文字展示，更可通過圖像的方式進(jìn)行視覺展示，尤其是在數(shù)學(xué)的動態(tài)過程理解上更是具有不可替代的優(yōu)勢，在多腦區(qū)協(xié)調(diào)的條件下建立更為立體的信息維度，便于學(xué)生加深對于概念及知識的理解。

2.有助于學(xué)生提高解題能力。通過圖形的方式建立更為直觀的展現(xiàn)體系，進(jìn)而在對比大小關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、比例關(guān)系等方面取得實(shí)際的效果。數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢還在于其信息密度的顯著增加。在傳統(tǒng)的應(yīng)用題中，需要通過很多文字對已知條件進(jìn)行描述，而一張圖表可對全部的已知條件進(jìn)行展現(xiàn)。針對部分圖表類題目，也能夠使學(xué)生更為快速地獲取已知條件以及問題指向，客觀上提高了解決問題的速度與準(zhǔn)確性，更利于建立有效的解題思維。

3.有助于學(xué)生建立綜合思維。數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生建立學(xué)科之間的立體思維，尤其是在建立代數(shù)與幾何的相關(guān)關(guān)系上具有明顯作用。學(xué)生可通過讀圖獲得相關(guān)數(shù)字信息，也可將數(shù)字信息有效地轉(zhuǎn)化為圖像。這一能力的構(gòu)建有助于學(xué)生的綜合知識學(xué)習(xí)與運(yùn)用。不僅僅在數(shù)學(xué)課堂，對于學(xué)生的未來學(xué)習(xí)，如科學(xué)課程、物理課程、化學(xué)課程等均具有積極作用與影響。這也符合知識學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律，在實(shí)際生活中的問題解決很難僅依靠單一學(xué)科知識，往往是綜合能力的體現(xiàn)，而通過數(shù)形結(jié)合的方式可鍛煉此種能力。

（二）數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用中的問題

1.主觀上重視程度不足。雖然在部分課堂中數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式得到了一定的應(yīng)用，也起到了一定的傳導(dǎo)思想的作用。但是，針對數(shù)形結(jié)合思想的研究與運(yùn)用尚未形成有效體系，零散的應(yīng)用僅能夠在對應(yīng)的知識點(diǎn)教學(xué)中起到作用，而無法形成數(shù)形結(jié)合思想，對于學(xué)生的相關(guān)能力建設(shè)作用也相對薄弱。教師技能也是限制該思想在教學(xué)中具體應(yīng)用的限制條件之一，尤其是在圖形構(gòu)思、圖形實(shí)現(xiàn)以及綜合展示上存在明顯的不足。

2.客觀上理解較難成型。由于課程設(shè)置以及教師教學(xué)過程中不重視顯現(xiàn)過程，容易形成學(xué)生理解不到位，諸如“畫圖還不如直接算”等錯誤理解普遍存在，甚至存在“小題懶得畫，大題畫不明白”的現(xiàn)象。這一現(xiàn)象的產(chǎn)生，一方面是教師對于數(shù)形結(jié)合的相關(guān)作用宣導(dǎo)不到位，學(xué)生沒有真正理解數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重要作用；另一方面也存在學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)沒有達(dá)到循序漸進(jìn)的效果，而是以解決具體問題為導(dǎo)向，進(jìn)而產(chǎn)生了此種工具“不好用”的錯誤認(rèn)知。

3.條件上過程難以落實(shí)。即使教師具有應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的主觀能動性在能力上也具備相關(guān)技能，但在實(shí)際落實(shí)中依然會受到條件的限制。數(shù)形結(jié)合的落實(shí)需要數(shù)字化課堂的配合，且在部分圖形的編輯上需要專業(yè)軟件來予以實(shí)現(xiàn)。如果達(dá)不到這一條件很容易變成“吃力不討好”的額外負(fù)擔(dān)。另一方面，學(xué)生的條件參差不齊很難做到與教師之間的有效配合，尤其是在課下任務(wù)的完成上更是缺少必要條件。

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

（一）方式性應(yīng)用模式

方式性應(yīng)用主要是指以圖像表征數(shù)學(xué)問題中的已知條件或者是數(shù)學(xué)概念，使得條件及概念更為清晰，將抽象轉(zhuǎn)變?yōu)榍逦梢姷闹庇^印象，便于學(xué)生理解。在方式性應(yīng)用的過程中，教師要重點(diǎn)展示圖像的構(gòu)成過程，并幫助學(xué)生總結(jié)由條件變化為圖像的思維方式以及必要性，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的思考。

案例1：小明與小王分別駕車到某地，小明的車速為每小時60 千米，小王出發(fā)晚了半個小時，以較快的車速追趕，車速為每小時80 千米，問小王追上小明需要多長時間。

分析：此類問題為典型的追及問題，可認(rèn)為兩車在同一直線上行駛，題干中隱含的條件是出發(fā)點(diǎn)與某地之間的距離不變。在一般的教學(xué)中往往采用尋找等量列方程求解的方式對此類問題進(jìn)行作答。而學(xué)生常常由于變量之間的相關(guān)關(guān)系錯誤或等式構(gòu)建錯誤等，而無法正確地進(jìn)行解決。針對這一問題，采用簡單圖像的方式可有效規(guī)避上述兩種問題，進(jìn)而提升學(xué)生的解題效率與正確率。在進(jìn)行作圖的過程中遵循如下方法與過程：1.首先根據(jù)距離不變的已知條件繪制出發(fā)點(diǎn)到某地的線段；2.在線段中標(biāo)記出小明先出發(fā)的半小時；3.小王速度較快，可見小王必然在小明出發(fā)點(diǎn)與某地之間追上小明，而時間未知。根據(jù)上述條件可繪制出追及圖形；4.對圖形進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)小王追上小明后二者走過的總路程相等，或者小王從出發(fā)點(diǎn)到相遇點(diǎn)以及小明從先出發(fā)半小時后地點(diǎn)到相遇點(diǎn)所用時間相等。

圖1 案例1 數(shù)形結(jié)合示意圖

解題：根據(jù)上述分析，本題的具體解題思路如下：以所用時間相等為等式條件。小明走過的路程為60×0.5+50x，小王走過的路程為80x，聯(lián)立等式后可解出x=1。

（二）作用性應(yīng)用模式

作用性應(yīng)用主要是指讓學(xué)生能夠從圖形中“讀取”數(shù)學(xué)條件，進(jìn)而對相關(guān)的問題進(jìn)行求解。此種方式類似于語文中的看圖說話，只不過需要對圖像具有充分的解讀能力，此種能力決定了學(xué)生能否“看懂”圖像，并形成由圖像到數(shù)學(xué)關(guān)系的反向推理能力。

案例2：請?jiān)敿?xì)描繪下圖中臺風(fēng)的運(yùn)動。

分析：該案例主要考查學(xué)生對于圖像的觀察能力，重點(diǎn)在于學(xué)生能否從圖像中提煉足夠的數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而對數(shù)學(xué)關(guān)系以及相關(guān)問題進(jìn)行求解，其核心要求是全面、準(zhǔn)確，并盡可能挖掘隱藏信息。

圖2 案例2 數(shù)形結(jié)合示意圖

解題：從圖像中可清晰地看出包括了三方面的信息，即方向、距離、走向。隱含信息為地址。針對上述信息該圖像可做如下描述：“臺風(fēng)生成后沿東向西運(yùn)動540 千米，轉(zhuǎn)向西向北30°方向并運(yùn)動600 千米后到達(dá)A 市，在A 市沿西向北60°運(yùn)動20 千米到達(dá)B 市，隨后繼續(xù)沿東向西方向運(yùn)動100 千米?！?/p>

（三）互動性應(yīng)用模式

互動性應(yīng)用模式主要是指通過將數(shù)字變成圖像的方式引發(fā)學(xué)生之間以及師生的討論，進(jìn)而獲得與題干相對的更多信息。此種應(yīng)用方式的核心是利用圖像信息的豐富性形成開放性問題，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的討論，提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)的興趣。

案例3：班級內(nèi)共有50 名學(xué)生，學(xué)生根據(jù)自己的興趣與愛好報(bào)名參加了體育興趣班，請根據(jù)圖像進(jìn)行自由討論。

分析：討論是開放性問題，并不以具體的問題為方向，學(xué)生可根據(jù)所獲得的信息進(jìn)行自由討論。此種應(yīng)用的核心在于引發(fā)學(xué)生對圖形內(nèi)的信息進(jìn)行二次加工，進(jìn)而獲得更多的結(jié)論。

圖3 案例3 數(shù)形結(jié)合示意圖

解題：1.根據(jù)班級總?cè)藬?shù)及各興趣班所占比例可獲得各興趣班的具體人數(shù)；2.可求得參與其他體育項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)及比例；3.可對各項(xiàng)比賽進(jìn)行組織，比如參加乒乓球興趣班的學(xué)生一共有16 人，以2 人取優(yōu)的方式需要經(jīng)過16 場比賽才能夠決出冠亞季軍等。

三、應(yīng)用策略與建議

（一）以作用為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)

要確定并非任何問題均能夠以數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解決，其中對較為簡單問題進(jìn)行作圖會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，降低學(xué)生興趣；對較難問題進(jìn)行作圖則會顯著提高對學(xué)生理解及抽象思維要求。因此，教師需要按照學(xué)生水平有針對性地循序漸進(jìn)進(jìn)行構(gòu)建，進(jìn)而讓學(xué)生的相關(guān)能力得到逐步增長。小學(xué)高年級數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題型增加，對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識理解能力和應(yīng)用能力也提出了更高的要求。在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題過程中，有的學(xué)生看到復(fù)雜的條件和數(shù)字頭腦就會空白，思緒混亂，無法將題目中的條件和數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可讓學(xué)生通過圖形的方式直觀地表達(dá)復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號，讓復(fù)雜的條件和數(shù)字簡單化、形象化，幫助學(xué)生更好地理解題目意識、理清解題思路，提高學(xué)生的實(shí)際問題解決能力。

（二）以提高能力為導(dǎo)向設(shè)計(jì)課程

應(yīng)用過程要以能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力為基本導(dǎo)向。課堂的教學(xué)目的不僅僅是教師能夠靈活地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想對相關(guān)概念進(jìn)行教學(xué)，更多的是將數(shù)形結(jié)合思想向?qū)W生進(jìn)行傳導(dǎo)，使之能夠切實(shí)地運(yùn)用此種能力解決未知問題。學(xué)生數(shù)學(xué)能力的構(gòu)成較為多樣，需要教師在不斷的教學(xué)實(shí)踐中予以觀察。基于此，在課程設(shè)計(jì)的過程中要以學(xué)生的能力提升為根本目標(biāo)與課程設(shè)計(jì)導(dǎo)向。第一，要清楚學(xué)生的能力邊界，即學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)該達(dá)到何種能力層次；第二，要掌握學(xué)生的能力建設(shè)現(xiàn)狀，設(shè)計(jì)對應(yīng)的讀圖或者解圖問題對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力進(jìn)行評價(jià)與分析；第三，構(gòu)建與學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及能力需求相適應(yīng)的教學(xué)過程。如部分學(xué)生對于數(shù)字轉(zhuǎn)變?yōu)閳D像的能力有所欠缺，教師可針對性地提出數(shù)量關(guān)系圖表專題課程來予以解決?；虿糠謱W(xué)生對于空間理解能力稍差，教師則可進(jìn)行專項(xiàng)讀圖課堂來進(jìn)行能力構(gòu)建?；诖?，形成有效的能力建設(shè)課堂，將數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用范圍進(jìn)行擴(kuò)大，不局限于某一類問題而是從數(shù)學(xué)的宏觀維度上去觀察學(xué)生在此方面的能力水平，進(jìn)而提出有效的可行策略。

（三）以高效應(yīng)用為導(dǎo)向豐富課堂

教師應(yīng)該具備相應(yīng)的能力才能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想向?qū)W生進(jìn)行有效的傳導(dǎo)，而評價(jià)教師是否能夠進(jìn)行有效的數(shù)形結(jié)合教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)則是數(shù)形結(jié)合的高效應(yīng)用。教師要運(yùn)用一切可行的手段為提高教學(xué)效率服務(wù)，包括但不限于多媒體技術(shù)、數(shù)據(jù)庫技術(shù)等。只有如此教師才能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效的課堂實(shí)現(xiàn)，才能夠?qū)φn堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效豐富。落實(shí)到具體的課堂建設(shè)上來可采用如下三種方式：其一是對數(shù)形結(jié)合具有較為深刻的理解，明確何種問題可通過圖形的方式進(jìn)行有效展示；了解圖形展示的目標(biāo)，能夠按照學(xué)生的理解方式對圖形進(jìn)行對應(yīng)講解。其二是掌握有效的數(shù)形結(jié)合構(gòu)建方法。結(jié)合當(dāng)下數(shù)字化課堂的具體建設(shè)要求，能夠使用畫圖軟件或者其他專業(yè)軟件對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行圖像展示，并能夠與課件、視頻、文字等進(jìn)行有效結(jié)合，達(dá)到高效傳輸信息的根本目的。此種方式能夠進(jìn)一步提高數(shù)形結(jié)合思想的傳輸效果，尤其是在課堂中引入了信息技術(shù)元素不僅能夠達(dá)到豐富課堂的效果，更能夠?qū)?shù)形結(jié)合的動態(tài)過程進(jìn)行有效的展示。如變更已知條件時的圖形變化。其三是教師要掌握有效的教學(xué)方法，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)應(yīng)用并不是利用圖像解決某一問題，而是需要讓學(xué)生在解決問題的過程中體會并掌握數(shù)形結(jié)合的思想核心，能夠有意識地利用圖像工具自主解決陌生問題。為此，教師要以學(xué)生思維訓(xùn)練為引導(dǎo)構(gòu)建教學(xué)方法。