初中數(shù)學(xué)解題中放縮法的運(yùn)用分析

?江蘇省南京市第八中學(xué) 李鳴午

在最近的初中數(shù)學(xué)競賽題乃至教材(比如蘇科版等)中都陸陸續(xù)續(xù)出現(xiàn)了借助于放縮法理論工具進(jìn)行解答的試題.可見，放縮法在初中數(shù)學(xué)解題中的重要性愈來愈明顯.筆者結(jié)合具體的例子嘗試著對放縮法在初中數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用展開分析，歸納提煉出解題的方法及思考路徑.通常而言，把代數(shù)式子的某個具體項或是某一項所涉及到的某個具體因式加以放大或是縮小處理即不等取代，從而使它向結(jié)論的方向轉(zhuǎn)化的一種數(shù)學(xué)方法，叫“放縮法”.比如，在證明A

1 不等式問題中放縮法的運(yùn)用

放縮法在初中數(shù)學(xué)不等式習(xí)題中是常用的一種方法.借助于放縮法的特性，可以巧妙地化解有關(guān)不等式的證明問題[1].

綜上所述，原不等式成立.

2 最值問題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)問題中，有一類習(xí)題是關(guān)于最值的問題.一般情況下，當(dāng)難以順利地確定出最大值或者最小值時，合理運(yùn)用放縮法，便可以有效化解這一類最值問題.

例2已知二次函數(shù)y=x2+ax+b的圖象和x軸2個交點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)依次是m，n，同時|m|+ |n|≤1.假定與上述的條件相吻合的b對應(yīng)的最大、最小值依次是P，Q，試求|P|+ |Q|的數(shù)值[2].

解：由m，n為一元二次方程x2+ax+b=0的2個實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理，可知m+n=-a，mn=b.

又|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1.

由于原方程式存在實(shí)數(shù)根，因此Δ≥0，也就是a2-4b≥0.

3 完全平方數(shù)問題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)完全平方數(shù)的問題.由于完全平方數(shù)本身具有性質(zhì)上的獨(dú)特性，如果能夠有意識地把握住這一點(diǎn)，同時合理運(yùn)用好放縮法這一工具，能夠使這類問題迎刃而解[3].

例3求使m2+m+7屬于完全平方數(shù)的全部整數(shù)m的值.

解析：(1)如果m≥7，那么m+7≤2m.

因此，m2+m+7處于2個連續(xù)的整數(shù)的平方之間，而非完全平方數(shù).

(2)如果0

(3)如果m=0，那么m2+m+7的值為7，非完全平方數(shù).

(4)如果m<0，那么使n=-m，由于n為正整數(shù)，因此m2+m+7=n2-n+7.就二次三項式n2-n+7而言，如果n>7，那么-n<-7，且有-n+7<0.也就是n2-n+7(n-1)2.因此(n-1)2

如果n≤7，將n=1，2，3，4，5，6，7依次代入到n2-n+7中，通過運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，僅僅在n=2或7的時候，n2-n+7屬于完全平方數(shù).因為n=-m，所以m=-2或-7.

綜上所述，與條件相吻合的整數(shù)m的值分別為1，6，-2，-7.

上述問題的化解，不僅僅使同學(xué)們掌握了借助于放縮法判斷單個整數(shù)是否屬于完全平方數(shù)的手段，同時訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思想方法中重要的分類討論法.對上述問題還能夠進(jìn)行以下的變式練習(xí)：當(dāng)n為自然數(shù)時，求證4n2+4n+4不可能屬于完全平方數(shù).

4 不定方程問題中放縮法的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)習(xí)題中，不定方程問題相對比較復(fù)雜，如果按部就班地求解，步驟顯然會變得非常繁瑣.此時，恰當(dāng)?shù)厥褂梅趴s法可以達(dá)到事半功倍的效果[4].

綜上所述，方程的正整數(shù)解是x=1.

事實(shí)上，上述有關(guān)不定方程的相關(guān)問題能夠進(jìn)一步推廣到以下例子.

由x>0,可得

由于x為正整數(shù)，因此x=2,3,4.

通過檢驗x=3符合題意.

故a=3，b=4，c=5，d=6.

綜上所述，基于以上4個不同的初中數(shù)學(xué)題型的探討及其解答，不難發(fā)現(xiàn)放縮法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有非常重要的作用.按照中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”的相關(guān)要求，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的有效運(yùn)用，并達(dá)到創(chuàng)新性使用的目的.因此，通過放縮法的運(yùn)用，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用數(shù)學(xué)意識”，并落實(shí)到初中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中去，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的良好習(xí)慣．