基于教材單元主題的數(shù)學史與數(shù)學文化的擴充教學

河南省駐馬店市第二十八小學 龔保全 付永紅

數(shù)學教材中蘊含著豐富的數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學精神、數(shù)學名人故事及數(shù)學史料，所有這些構(gòu)成了豐富的數(shù)學文化。數(shù)學史和數(shù)學文化有的蘊含于主題探究之中，有的蘊含于習題之中，還有的在教材中以“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學”的插入形式進行簡要介紹。但是，由于教材編排體系是以知識為主，教材編寫是以讓學生學會知識為目的，數(shù)學史和數(shù)學文化只能作為暗線隱藏于數(shù)學學習之中，即使以“你知道嗎？”“生活中的數(shù)學”這樣的專題形式做專門性介紹，也是極其簡單，無法使學生領悟到背后所牽涉的數(shù)學精神和知識的發(fā)展史。蜻蜓點水似的滲透，學生淺嘗輒止，無法從整體上把握數(shù)學史和數(shù)學文化，不可能深入領悟數(shù)學所蘊含的魅力，無法助推高階思維的發(fā)生，從而導致對單元主題的把握流于表面。那么，如何對數(shù)學教材中蘊含的數(shù)學史和數(shù)學文化充分發(fā)掘，把隱性知識變?yōu)轱@性知識，使學生在學習中形成清晰的脈絡認知，助推單元學習主題的達成和學生高階思維的發(fā)生呢？

一、基于教材概念，圍繞單元主題挖掘數(shù)學史和數(shù)學文化

數(shù)學史和數(shù)學文化的挖掘不能隨意，不能把小學數(shù)學課堂學習當成大學的研究性史料學習，要基于教材為單元主題教學服務，圍繞單元主題進行開發(fā)，其學習形式可以是了解式的，如介紹數(shù)學史料；也可以是體驗式的，如進行相關游戲活動。在體驗中深刻理解數(shù)學方法，體會數(shù)學思想，使學生對單元主題學習更深入，對單元大概念的理解更透徹，引發(fā)學生深度學習。

比如在學習“因數(shù)和倍數(shù)”時，圍繞質(zhì)數(shù)這個數(shù)論中最重要的核心概念，我們進行了“梅森素數(shù)”的挖掘，設計了專門的拓展課例。讓學生了解質(zhì)數(shù)的發(fā)展史，感受質(zhì)數(shù)的神奇和魅力，體會質(zhì)數(shù)在數(shù)論中舉足輕重的地位，知道哥德巴赫猜想的由來和內(nèi)容，了解世界數(shù)學愛好者對哥德巴赫猜想的不懈研究史，知道中國的陳景潤在研究哥德巴赫猜想中的偉大貢獻和所處的領先位置，生發(fā)民族自豪感，樹立民族自信心，形成自主學習、自主探究數(shù)學的愿望。

學習“圓”時，圍繞“圓周率”這個核心概念，基于數(shù)學教材中的“你知道嗎？”板塊，我們進行了“兩編一課”的數(shù)學史和數(shù)學文化的教學工作。“兩編”就是收集、整理、編寫兩篇有關圓周率研究的文章：《中國古代數(shù)學奠基者— 劉徽》《擦亮數(shù)學明珠圓周率——祖沖之》，推送給學生進行自主閱讀，引領學生共讀，體會“割圓術”這個中國古代極限思想的佳作，了解我國古代勞動人民對圓周率研究的悠久歷史和所取得的偉大成就，知道“祖率”的含義，深化對圓周率的理解，對先人懷有崇敬之心?！耙徽n”是設計了“π 的傳奇”課例，引領學生了解π 的發(fā)展史，知道人們對π 的迷戀和狂熱，明確π 在研究曲線圖形時所起到的開創(chuàng)作用。經(jīng)過這樣基于教材，圍繞單元主題所進行的數(shù)學史和數(shù)學文化的學習，學生對知識學習不再局限于練習應用，而是通透知曉，形成整體化和結(jié)構(gòu)化的知識體系，為深度思考和以后研究打下基礎。

二、基于教材活動，圍繞探究方法植入數(shù)學史和數(shù)學文化

課堂教學圍繞主題進行探究活動，借助探究活動既培養(yǎng)了學生自主探索和合作學習的能力，又使學生在活動中體會數(shù)學思想、明確數(shù)學理念、掌握數(shù)學方法，從而逐步在學生頭腦中建立數(shù)學內(nèi)涵，構(gòu)建起知識、思想、理念、方法相互融合的數(shù)學知識體系。

課堂活動中如何圍繞探究方法挖掘數(shù)學史和數(shù)學文化，在學生頭腦中逐步植入數(shù)學思想、數(shù)學理念和數(shù)學方法呢？在長期實踐中，我們形成了圍繞主題自主探究，植入數(shù)學史，融入數(shù)學文化的活動過程。在開展圍繞主題的探究活動時，先讓學生自主探索，合作交流，進行猜想、嘗試、驗證等，嘗試多樣化解決問題。在學生探究過程中，尋找適當契機植入數(shù)學史，使學生知道所探究的內(nèi)容在數(shù)學發(fā)展中的地位，在小結(jié)時歸納學生的探究方法，點明蘊含的數(shù)學思想，使學生感受到數(shù)學文化的博大精深，擁有活動成就感，享受學習數(shù)學的快樂，體驗到數(shù)學的生動有趣。

比如在學習“圓”時，圍繞主題“圓周率”進行探究活動，我們設計了兩個主要探究活動，一個是探究測量并計算圓的周長，一個是探究計算圓的面積。在進行第一個探究活動時，首先讓學生自主或合作測量給定的實物圓的周長，學生有的用滾動的方法，滾出一條線段，再測量出線段的長度就是圓的周長；有的用繩子圍圓一周，把繩子拉直，度量出繩子的長度就是圓的周長；有的學生把圓周長平均分成若干份弧，用直尺測量出一小段弧的近似長度，再計算出整個圓的周長；有的學生直接用卷尺圍圓一周，得出圓的周長。在進行評價時，教師點出其中蘊含的數(shù)學思想方法——化曲為直。探究第二階段，讓學生想辦法測量或計算出探究單上所畫圓的周長。個別學生沿用第一階段中把圓周長平均分成若干段弧的方法，連接弧的兩端成一線段，測量出線段的長度再計算出整個圓的周長。但是這樣做很麻煩，誤差較大。有的學生用剪刀把圓從紙上剪下來，在另一張紙上滾動成線段或者用線繞圓一圈，用卷尺圍一圍，繼而得出圓的周長，但是這樣做費工費時，同時破壞了探究紙張的完整性。教師提出問題：“有沒有簡潔的辦法找出圓的周長呢？”引導學生回顧發(fā)現(xiàn)長方形和正方形周長公式的探究過程，反思其中蘊含的數(shù)學思想。在變中找不變，以不變應萬變，即尋找出變中數(shù)量之間的不變關系，用關系式解決所有同類問題。繼而引導學生觀察所測量圓的周長和直徑的幾組數(shù)據(jù)，學生發(fā)現(xiàn)所有圓的周長除以直徑的商都是約等于3，由此得出圓的周長與直徑的倍數(shù)的定值關系。教師在評價中告訴學生這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，它是古人探究曲線圖形的一個里程碑，開啟了由直入曲的迷宮鑰匙。教師在此時介紹圓周率，介紹圓周率的產(chǎn)生、作用和發(fā)展史，介紹歷史上古人對圓周率值的探究，圓周率的應用等，使學生對圓周率的發(fā)展史有一個完整的認識，了解到在不同的數(shù)學發(fā)展階段圓周率所處的地位和所起的作用，并對孜孜不倦進行探索的古今中外數(shù)學家產(chǎn)生深深的敬意。這個活動中，由于學生深刻理解了圓周率并知道了圓周率的由來，那么圓的半徑、直徑和周長之間的互相換算也就不是問題，這就是深度學習的結(jié)果。這個過程中，教師再次強化了數(shù)學學習中讓學生尋找規(guī)律的意識，在變中找不變的數(shù)學思想。

第二個探究活動，當學生用以前學習的數(shù)方格法、單位圖形度量方法都不能解決問題時，教師要引導學生用剪拼的方法重新組合圖形。學生有的拼出了長方形，有的拼出了三角形，還有的拼出了梯形。教師提出問題讓學生思考：“這種剪拼重組的方法蘊含著什么樣的數(shù)學思想？”那就是化圓為學過的圖形—— 化圓為方、化曲為直、化不規(guī)則為規(guī)則。其中還蘊含著什么樣的數(shù)學思想？極限思想、微積分思想等。在推導完成圓的面積公式后，教師提問學生：“推導過程中蘊含著什么樣的數(shù)學方法和數(shù)學思想？”其中蘊含分析法、等量替代法、歸納法、邏輯推理思想和等積變形理念、符號意識等。在活動中適機進行問題引領思考和點撥，滲透了數(shù)學史和數(shù)學文化，如此學生對學習主題的理解更加透徹。

三、基于教材習題，圍繞解題方法開發(fā)數(shù)學史和數(shù)學文化

教材習題的編寫，目的是鞏固知識，提升學生綜合運用知識的能力。教材的數(shù)學習題編排了許多基于數(shù)學史和數(shù)學文化的古典題目，而這些題目也是深化理解單元主題的經(jīng)典素材。學生在解決這些問題時，只要圍繞理解題意，分析解題方法，思古人所思，想古人所想，就能從源頭上尋找到這些題目所產(chǎn)生的歷史生活背景，通曉古人智慧，從而全面深刻地了解數(shù)學史的發(fā)展歷程，體會數(shù)學文化的豐富多彩和博大精深。基于教材習題，圍繞解題方法開發(fā)數(shù)學史和數(shù)學文化，有利于豐富學生單元主題知識背景，能夠有力助推學生對單元主題的深入領會。

數(shù)學教材中有很多可用于開發(fā)數(shù)學史和數(shù)學文化的題目。比如人教版四年級上冊第69 頁有一道用七巧板拼圖的題目，在學生動手操作完成后，筆者及時插入介紹七巧板的發(fā)展史，使學生知道七巧板最早發(fā)源于我國明清時代，其前身是宋代的“燕幾圖”和明代的“蝶翅幾”，后來傳往日本和歐洲。這樣的插入介紹引發(fā)了學生了解燕幾圖和蝶翅幾的好奇心，他們課后自主查閱，甚至有學生畫出了這些圖形。這樣的插入介紹既豐富了學生對七巧板歷史的了解，又引發(fā)了學生進一步用七巧板拼出不同形狀圖形的愿望，有助于加深他們對平面圖形這一單元主題的認識。再比如在學習“數(shù)學廣角— 優(yōu)化”這個單元內(nèi)容時，借助教材習題可以讓學生了解田忌賽馬的故事，助力學生了解“優(yōu)化”的數(shù)學史，體會生活口語中的“三打兩勝”“五比三勝”所蘊含的數(shù)學優(yōu)化思想，也可以借習題展開介紹華羅庚的“優(yōu)選法”，從而加深對單元主題——“優(yōu)化”的理解。

四、基于教材作業(yè)，圍繞單元主題了解數(shù)學史和數(shù)學文化

基于教材中的數(shù)學史料和單元主題，我們常常布置研究性作業(yè)，讓學生圍繞一個主題通過搜索信息、查閱資料、動手實驗等方式去做研究，研究主題的來龍去脈，從產(chǎn)生、作用、地位、發(fā)展和未來等方面進行梳理，以是什么、為什么、怎么做的思路過程進行整理。我們根據(jù)學生年齡特點，讓學生圍繞主題綜合所收集的資料繪制成手抄報或讓學生在家長的幫助下制作關于主題內(nèi)容的PPT，用數(shù)學演講的方式進行展示，也讓有寫作能力的學生書寫為數(shù)學小論文，用這些方法圍繞單元主題了解數(shù)學史和數(shù)學文化，以此幫助學生理解單元主題。

根據(jù)小學階段人教版數(shù)學教材中數(shù)學史的內(nèi)容編排，我們從一年級開始就按計劃布置數(shù)學史性的主題讓學生在家長的幫助下通過利用周末時間到書店查閱資料、上網(wǎng)搜索、實物觀測、做實驗等方式圍繞所布置的主題進行探究，根據(jù)指導要求收集資料，做成手抄報公開展示，做成PPT 進行演講或按照書寫要求歸納形成數(shù)學小論文。一般是低年級段做圖文并茂的手抄報，高年級段書寫成數(shù)學小論文，而做成PPT 進行演講則從一年級開始鍛煉和培養(yǎng)。下面是我們各個年級每學期所布置的主題。

一年級上學期：算籌；象形文字；中國古今計時工具

一年級下學期：七巧板；中國的貨幣

二年級上學期：測量單位；乘號；九九歌

二年級下學期：除號；記數(shù)方式的演變

三年級上學期：分數(shù)

三年級下學期：指南針；小數(shù)

四年級上學期：數(shù)的產(chǎn)生；阿拉伯數(shù)字；算籌計數(shù)法；計算工具的認識；畝；格子乘法；神奇的莫比烏斯帶

四年級下學期：括號的由來；“雞兔同籠”問題

五年級上學期：方程；九章算術；出入相補

五年級下學期：哥德巴赫猜想；幾何學和歐幾里得

六年級上學期：極限；黃金比；圓周率；恩格爾系數(shù)；楊輝三角

六年級下學期：負數(shù)；圓柱容球；抽屜原理；七橋問題

以作業(yè)任務做驅(qū)動，以數(shù)學史和數(shù)學文化為內(nèi)容，通過圍繞教材單元主題有計劃連續(xù)性地系統(tǒng)性搜集整理資料，在閱讀中思考，在想象中操作，在實驗中驗證，在總結(jié)中畫、寫、說，學生對單元主題的把握更全面具體，對單元主題的領悟更深刻透徹?？傊诮滩?，圍繞單元主題開展數(shù)學史和數(shù)學文化的滲透性學習，有助于提升兒童數(shù)學核心素養(yǎng)，助推兒童形成完備的結(jié)構(gòu)化的知識體系，有利于深度學習的發(fā)生。