建模找規(guī)律 智慧學數(shù)學

福建省福州市倉山區(qū)教師進修學校 林 偉

探索規(guī)律是人們認識客觀世界的主要方式之一，對小學數(shù)學教育來說，其根本目的是培養(yǎng)、促進教育對象——學生在知識與技能、身體與心理、情感態(tài)度與價值觀方面的全面發(fā)展。小學數(shù)學新課程標準修訂將“雙基”調整為“四基”，著重強調了基本數(shù)學思想以及基本數(shù)學經(jīng)驗與數(shù)學思維之間的密切關系。甚至可以說，“四基”的核心就是數(shù)學思維，數(shù)學教育就是為了促進學生數(shù)學思維得到更好的發(fā)展。這個過程應該是一個生動、主動、自主、向上、富有個性的發(fā)展過程，更是一個基于探索、發(fā)現(xiàn)、驗證、領悟、運用、創(chuàng)造的模型思想建構過程，是讓學生學會借助模型所凸顯“規(guī)律”輔助應用的過程。

一、數(shù)學概念的感知是探索規(guī)律的過程

數(shù)學是人們在對客觀世界定性和定量刻畫的基礎上，逐步抽象概括形成方法和理論，并進行應用的過程。學生學習的數(shù)學內容是現(xiàn)實的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的，這樣的內容有利于他們自主從事觀察、發(fā)現(xiàn)、猜測、驗證、推理與交流。概念、定義、公式、法則、定律、規(guī)則等都是概念性知識，這些知識對于學生而言有兩種獲得的方式：（1）當學生學習新的數(shù)學概念時，利用已有認知結構中的概念與新概念建立聯(lián)系進行認知；（2）從大量具體例子出發(fā)概括出新概念的本質屬性概念，從而認知新概念。數(shù)學教學中無論哪種建立概念的形式都需要教師恰當?shù)乩盟嬖诂F(xiàn)實“模型”，借助學生對“模型”所存在的感知經(jīng)驗，同時注重緊密聯(lián)系學生生活環(huán)境。從學生經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，通過創(chuàng)設有助于學生自主學習、合作交流的具體問題情境，逐步完成從圖到形、從形到數(shù)的抽象。在此基礎上對非本質屬性進行引導，逐步剝離，讓學生關注其本質屬性從而進行概念認識學習。

例如，在教學人教版二年級“倍的認識”一課時，借助圖形數(shù)量研究，利用“擺一擺”操作活動引出“倍”。接著教師以2 倍為基礎，引導學生進行“倍的認識”這節(jié)課的第一次抽象跳躍。3 個三角形卡片與6 個三角形卡片，3 個正方形卡片與6 個正方形卡片，3 個圓形卡片與6 個圓形卡片，這些都存在關于2 倍的概念。緊接著從2 倍拓展到3 倍、4 倍……在學生心里建立起“一份”和“幾份”的認知，明確“幾份”的產(chǎn)生是由“一份”所決定的，利用“倍”這一概念的外延挖掘“倍”的內涵進行這節(jié)課第二次抽象跳躍。在這種逐層跳躍的基礎上，借助變化形的特征，從三角形卡片到正方形卡片，再到圓形卡片，讓學生逐步認識到一個本質屬性——“只要存在一個數(shù)是另一個數(shù)的幾份的關系，就存在倍的關系”，從形的支撐到數(shù)的抽象，凸顯了數(shù)學規(guī)律的本質。

又如，在教學人教版四年級下冊教學“三角形的認識”一課時，筆者讓學生事先準備了小棒，5 厘米長的小棒3 根，3 厘米、4 厘米、9 厘米長的小棒各1 根。請學生先用9 厘米長的小棒去圍三角形，學生發(fā)現(xiàn)任何兩根小棒都不能圍成三角形?！盀槭裁茨兀俊薄斑@根小棒太長了，另外兩根小棒太短了?！薄叭绻阉鼈儞Q掉，你們能將它們圍成三角形嗎？”學生共同討論，圍成了各種三角形。實踐活動中，學生知道了三角形中兩邊之和大于第三邊的特性以及共同抽象出三條線段圍成封閉的圖形是三角形的兩個本質屬性，隨后通過變式練習深化學生對三角形的認識。通過學生動手操作解決問題，并通過大量的實踐探索從而在現(xiàn)象之下追尋本質，通過對數(shù)學內在規(guī)律的探索感受數(shù)學魅力，體驗成功探究的樂趣。從這個意義上說，數(shù)學就是探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。

二、數(shù)學技能的形成是在感受規(guī)律的過程

形成運算技能是數(shù)學學習的重要部分。運算技能的形成過程要經(jīng)歷三個階段：初步認知階段，明了運算法則；發(fā)現(xiàn)規(guī)律階段，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并把知識與規(guī)律進行結合連接；運用階段，將所發(fā)現(xiàn)并驗證的規(guī)律進行運用階段。

例如，在教學人教版六年級數(shù)學廣角“數(shù)與形”過程中，教師可以根據(jù)學生理解能力和思維特征，采用自主探究、合作交流、實踐活動的教學模式，讓學生充分經(jīng)歷觀察、實踐、驗證、歸納、應用的自主探究與合作交流過程，發(fā)現(xiàn)算式中蘊含的數(shù)學規(guī)律。讓學生思考怎樣用圖形來表示數(shù)的規(guī)律，也可以讓學生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律，從而構建數(shù)學模型，同步培養(yǎng)學生善于觀察、善于思考、善于總結、善于歸納、善于嘗試的良好學習習慣。

又如在一年級“數(shù)數(shù)”活動中可以引導學生“一個一個”地數(shù)、“兩個兩個”地數(shù)、“三個三個”地數(shù)……“順序”數(shù)、“倒序”數(shù)，在數(shù)數(shù)的過程中體驗、發(fā)現(xiàn)并感受連續(xù)等差數(shù)列的規(guī)律。相對應，我們所學的20 以內加法計算表、九九乘法口訣表也蘊含著規(guī)律，在“和”“差”“積”“商”這些方面不變的條件下，發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)量之間存在一些函數(shù)關系。在日歷表、百數(shù)圖可以發(fā)掘除了“橫”的、“豎”的、“斜”的排列所蘊含的規(guī)律，甚至還可以進一步探究每一行、每一列、間隔幾行，間隔幾列、相鄰兩個數(shù)、間隔幾個數(shù)之間所存在的關系，這些關系在高年級教學中也可以用字母表示其存在的函數(shù)關系。這樣的過程學生在操作中積累感性經(jīng)驗，形成豐富的動作思維，完成了整個技能形成的三個階段。

三、數(shù)學問題的解決是在應用規(guī)律的過程

解決問題是數(shù)學活動中一種更為高級的思維活動。學生在解決數(shù)學問題的過程中，不僅需要重組自身已有數(shù)學知識，搜索所認知的數(shù)學模型，進而找到切合實際的解決方法，嘗試應用模型從而解決問題，而且更為關鍵的是如果問題一旦解決，這個過程就成為學生的一種資源、一段經(jīng)歷。他們在解決問題中所形成的策略會不斷積淀，不斷經(jīng)歷優(yōu)勝劣汰的過程進一步儲存起來，逐步成為數(shù)學認知結構的重要組成部分。波利亞提出的“怎樣解決問題”表中表示出解決問題的一般過程必須經(jīng)歷了解問題、找出已知問題與未知問題間的聯(lián)系、制訂計劃、運用計劃、驗證并解答的步驟，其中關鍵步驟是找出已知問題與未知問題間的聯(lián)系，可以說就是尋找在解決問題中所存在的不同數(shù)量之間的特點、聯(lián)系、規(guī)律，也是一種模型思想的構建過程。

例如，在教學例題“一桶油連桶重36.5 千克，用了一半后，連桶還有20.5 千克，油桶重多少千克？”時，可以發(fā)現(xiàn)這類題目只要構建了相應的模型，找到解題關鍵步驟，即可建立起已知問題與未知問題間的聯(lián)系，問題自然迎刃而解。教師給予學生充分時間進行探討，然后獲得了多種解題算式：（1）36.5－（36.5－20.5）×2；（2）20.5×2－36.5；（3）（20.5－36.5÷2）×2；（4）設油桶重為X 千克，36.5－（36.5－X）÷2 ＝20.5；（5）其他。然后讓學生借助反饋器進行選擇和自己一樣的算式，接著隨機抽選相應學生解說自己是怎么理解的，讓學生在展示自己思路的過程中逐步將本題所蘊含的關鍵聯(lián)系——“用的是油，前后兩次的重量都包含桶的重量”這一已知問題與未知問題間的聯(lián)系核心就浮出水面了。接著無論是用“總重量剩下的重量=半桶油的重量”“總重量油重量=桶的重量”，還是用“算出一桶油和兩只桶的重量油和桶的總重量”或者用方程等假設的方式完成，都萬變不離其宗。這種平等開放的交流讓更多學生進行相互補充，學會了分析問題、找到規(guī)律、構建模型、應用規(guī)律的解決問題的策略和思想方法。

再如，在教學五年級“用字母表示數(shù)”時，出示例題：“爸爸的年齡比小紅大30 歲，小紅的年齡用a 表示，爸爸的年齡是多少？”這種題目對學生來說不難理解，但是如何通過具體數(shù)讓學生進一步感受用字母的式子可以表示一個結果，同時讓學生明白字母表示的數(shù)在特定情況下是有范圍的這個關鍵步驟，極大地考驗學生對于規(guī)律的探究深度。在學生充分思考討論后，通過課堂中收集學生代表性做法：用文字表示“爸爸年齡=小紅年齡+30”；用單個字母表示“爸爸年齡是X”；用字母的式子表示“小紅年齡是X，爸爸年齡是X+30”；甚至用兩個字母分別表示等。這時候需要教師重點引導學生交流用一個字母表示爸爸年齡與用字母的式子表示爸爸年齡之間的區(qū)別，從而得出字母的式子不僅能夠表示爸爸的年齡，還能夠看出爸爸年齡與小紅年齡之間的關系。接著讓學生嘗試繼續(xù)應用這個探究結果進行討論：“X 可以表示哪些數(shù)？X 能是100、200……嗎？”通過具體的數(shù)所帶來的情境，讓學生進一步感知找出已知問題與未知問題間的聯(lián)系的重要性。

同樣，解決問題過程中所了解的基本數(shù)量關系；圖形的周長、面積、體積公式；總價、單價、數(shù)量；工作總量、工作效率、工作時間；路程、速度、時間甚至正比例、反比例關系都是函數(shù)關系的體現(xiàn)。學生在與這些數(shù)量關系的互動溝通、挖掘、理解與運用中，數(shù)學找規(guī)律的過程就變得豐富與生動起來。

四、數(shù)學智慧的應用是在構筑規(guī)律的過程

隨著教育部信息技術應用能力提升工程2.0 的開展與落實，提出了三種環(huán)境，其中的智慧學習環(huán)境與數(shù)學學科的應用能夠給學生構建數(shù)學模型、探索數(shù)學規(guī)律過程帶來極大助力，促進學生數(shù)學學習方式的轉變。

教師可以借助相關智慧課堂類教學平臺，為學生構筑一個基于智慧學習環(huán)境的網(wǎng)絡學習空間，實現(xiàn)資源分享、自主探究、合作與互動交流。如在教學“植樹問題”一課時，為了探究其規(guī)律，即構建相關數(shù)學模型，這樣就可以提出三類相關聯(lián)的規(guī)律。一類是按一定的間隔規(guī)律植樹，問可以植樹多少棵：“棵樹=間隔數(shù)+1”。一類是先確定植樹棵數(shù)，然后探索植樹的間隔規(guī)律：“間隔數(shù)=棵樹－1”。最后一類是如果兩端特別的情況：一端不種——“棵樹=間隔數(shù)”；兩端都不種——“棵樹=間隔數(shù)－1”；甚至類似一端不種的環(huán)形首尾相連的方式——“棵樹=間隔數(shù)”。由于這個規(guī)律的數(shù)學模型拓展較多，之間的變化關系學生沒有通過實際操作無法很好構建，尤其是在驗證方面會比較難以操作?！笆谥贼~不如授之以漁”，這時教師可以把知識點微課、互動課件、類比練習等實時分享給學生，學生根據(jù)自身掌握情況借助設備進行探究、驗證、總結和歸納甚至后續(xù)的拓展與鞏固。若部分學生不能掌握新課內容，還可以重復觀看微課、自主使用互動課件進行“拖”“擺”“移”“組”，多次進行找規(guī)律的過程，逐步構建起適宜的數(shù)學模型，也可以在遇到困難時及時尋求教師或小組成員的協(xié)助。教師可以借助平臺實時了解學生學習進度與情況，進行精準推送，有效開展針對性個別輔導，課后還能對學生借助平臺而留存的實時大數(shù)據(jù)進行分析，找準學生的生長點以及得到改進教育教學的方法和策略。

由此可見，教師充分借助智慧課堂的實施，構建小組合作學習的模式，采用精準化、個性化、項目式等學習方式，既能夠讓教學活動從傳統(tǒng)的“以教師為中心”轉換為更加適應教學規(guī)律的“以學生為中心”的教學，又能讓學生由被動接受知識轉為主動思考和探究知識。因此，極大地提升了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，更好地培養(yǎng)了學生的觀察能力，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力以及團結協(xié)作、學以致用的能力，促進學生全面發(fā)展。

從以上方面來看，數(shù)學學習過程其實是構建模型思想、借助數(shù)學模型找規(guī)律的過程。教師可以使用信息技術直觀呈現(xiàn)、易于嘗試、快速收集的特性來輔助學生形成表象，構建模型，驗證規(guī)律。這個過程中，教師應該發(fā)揮引導者作用，充分引導學生找準探索規(guī)律的起點，完善探索規(guī)律的過程，拓展探索規(guī)律的體驗，讓學生充分進行數(shù)學思考，積累數(shù)學學習的體驗和活動經(jīng)驗，提升數(shù)學素養(yǎng)，讓學習數(shù)學的過程變得更加的有規(guī)律。