順應(yīng)“三新”研究趨勢(shì) 探索變式教學(xué)模式
——“數(shù)學(xué)經(jīng)典試題及變式”征集活動(dòng)解析幾何母題組精選

一、求圓錐曲線的方程

吉林 韓兆峰

【試題分析】考查知識(shí)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率，解題關(guān)鍵在于理解雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程中相關(guān)參數(shù)之間的等量關(guān)系與幾何意義.

解題方法：定義法，待定系數(shù)法，運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

綜合拓展：引伸到點(diǎn)、直線、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，研究圓錐曲線的方程問題.

【答案】B

吉林 韓兆峰

【變式1】(知識(shí)變式)轉(zhuǎn)化為雙曲線的一部分

如圖,P是圓C：(x+3)2+y2=25上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A(3,0)，線段AP的垂直平分線l和直線CP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡方程是______.

吉林 韓兆峰

【變式2】(方法變式)變“雙曲線”背景為“橢圓”背景,利用弦長(zhǎng)處理參數(shù)問題

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式3】(方法變式)改變確定雙曲線的條件

【答案】D

吉林 韓兆峰

【變式4】(綜合變式)把離心率轉(zhuǎn)化為漸近線與圓的關(guān)系

經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，且漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )

【答案】A

吉林 韓兆峰

【變式5】(綜合變式)從向量的角度描述動(dòng)點(diǎn)

【答案】D

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式6】(綜合變式)雙曲線中融入圓

【答案】A

湖北 馮愛龍

【母題2】下列命題為真命題的序號(hào)是________．

(4)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).過點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為x+y-2=0.

【試題分析】考查知識(shí)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的幾種常用方法，直線、圓、橢圓等曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.

解題方法：求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”.所謂“定型”，就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的k,a2，b2，p等參數(shù)的值．

綜合拓展：從代數(shù)與幾何兩方面認(rèn)識(shí)圓錐曲線的定義與性質(zhì).

【答案】(1),(2),(4)

河北 趙偉娜

【變式1】(知識(shí)變式)給出方程看曲線

(2020·新高考Ⅰ卷·9)已知曲線C：mx2+ny2=1.則( )

A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

D．若m=0，n>0，則C是兩條直線

【答案】ACD

河北 趙偉娜

【變式2】(知識(shí)變式)變換條件，利用不同方法求圓錐曲線的方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中：

在①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

湖北 馮愛龍

【變式3】(方法變式)向量作為數(shù)形結(jié)合的典型工具，將幾何條件數(shù)量化

已知點(diǎn)P(2,2)，圓C:x2+y2-8y=0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】(x-1)2+(y-3)2=2

湖北 馮愛龍

【變式4】(綜合變式)利用圓的對(duì)稱性、平行線轉(zhuǎn)化得到角的等量關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|為定值

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

湖北 馮愛龍

【變式5】(綜合變式)拋物線的定義與焦半徑公式，點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化，用向量的數(shù)量積知識(shí)轉(zhuǎn)化垂直條件

設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為( )

A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

【答案】C

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【母題3】(2022·全國(guó)甲卷理·20(1))設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3,求C的方程.

【試題分析】考查知識(shí)：拋物線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程.

解題方法：化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

綜合拓展：圍繞拋物線定義的綜合問題.

【答案】y2=4x

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式1】(知識(shí)變式)將垂直變?yōu)殚L(zhǎng)度相等

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M,N兩點(diǎn)，若|MF|=|MD|=3，求C的方程.

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式2】(知識(shí)變式)拋物線中嵌入向量數(shù)量積

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式3】(方法變式)將垂直變?yōu)椴淮怪?/p>

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式4】(方法變式)拋物線中嵌入最值

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)原點(diǎn)O到直線MN的距離最大時(shí)，|MF|=3,求C的方程.

【答案】y2=6x

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式5】(綜合變式)改變題設(shè)條件

【答案】y2=3x

二、圓錐曲線離心率的取值范圍問題

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【試題分析】考查知識(shí)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系等.

解題方法：推理計(jì)算法.

綜合拓展：基于上述知識(shí)的綜合問題.

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式1】(知識(shí)變式)把橢圓換成雙曲線

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式2】(知識(shí)變式)把圓換成拋物線

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式3】(知識(shí)變式)把橢圓換成雙曲線，同時(shí)把圓換成拋物線

甘肅 彭長(zhǎng)軍

河北 趙偉娜

【試題分析】考查知識(shí)：橢圓與雙曲線的定義及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

解題方法：數(shù)形結(jié)合、方程與不等式思想的應(yīng)用.

綜合拓展：基于求離心率的取值范圍問題.

河北 趙偉娜

【變式1】(知識(shí)變式)焦點(diǎn)三角形頂角發(fā)生變化，由特殊角變?yōu)榉翘厥饨?/p>

河北 趙偉娜

【變式2】(綜合變式)變換角度關(guān)系為線段長(zhǎng)度關(guān)系，利用二次函數(shù)求取值范圍

(2022·高三模擬·8)已知橢圓C1和雙曲線C2有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，C1和C2在第一象限相交于點(diǎn)P，且|F1F2|=2|PF2|，設(shè)C1與C2的離心率分別為e1，e2，則e2-e1的取值范圍是( )

【答案】D

甘肅 彭長(zhǎng)軍

【變式3】(綜合變式)將范圍問題變?yōu)樽钪祮栴}

【答案】C

陜西 韓紅軍

A.(2，+∞) B．(1，2)

【試題分析】考查知識(shí)：雙曲線的離心率，雙曲線的定義及其性質(zhì).

解題方法：利用正弦定理的邊角互化以及雙曲線的定義解不等式，考查數(shù)形結(jié)合思想.

綜合拓展：基于雙曲線離心率的綜合問題.

【答案】D

陜西 韓紅軍

【答案】B

陜西 韓紅軍

陜西 韓紅軍

【答案】C

陜西 韓紅軍

【答案】C

廣東 龍宇

【試題分析】考查知識(shí)：橢圓的定義，直線斜率的意義，直線與橢圓的位置關(guān)系，軸對(duì)稱的性質(zhì).

解題方法：利用基本量法獲得橢圓三個(gè)參數(shù)間的關(guān)系從而獲得離心率，根據(jù)橢圓的第三定義求解，利用伸縮變換將橢圓化為圓，利用圓的性質(zhì)求解，再結(jié)合伸縮變換的性質(zhì)確定橢圓的離心率.

綜合拓展：通過解題培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，滲透邏輯推理以及直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【答案】A

山西 李小麗

【變式1】(知識(shí)變式)將“焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”變?yōu)椤敖裹c(diǎn)在y軸上的橢圓”

【答案】A

山西 李小麗

【變式2】(知識(shí)變式)將“兩頂點(diǎn)”變?yōu)椤瓣P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)”

江蘇 沈雪明

【變式3】(知識(shí)變式)從橢圓遷移到雙曲線

【答案】D

遼寧 蔡明天

【變式4】(知識(shí)變式)關(guān)于x,y軸對(duì)稱互變

四川 王昌林

【變式5】(方法變式)通過幾何分析，求出或用未知數(shù)表示出a，c的值，求出離心率

【答案】A

江蘇 沈雪明

【變式6】(方法變式)由原題過頂點(diǎn)的兩直線斜率乘積為定值，轉(zhuǎn)化為過焦點(diǎn)的兩直線的斜率為定值

山西 李小麗

【變式7】(綜合變式)將“母題中橢圓上的點(diǎn)A，P，Q”均變?yōu)椤皺E圓上一般的三點(diǎn)”