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    基于數(shù)學核心素養(yǎng)對高考真題的深度探究
    ——以2022年新高考Ⅱ卷第22題為例

    2022-11-19 10:00:44甘肅劉延明
    教學考試(高考數(shù)學) 2022年5期
    關鍵詞:母題證法單調

    甘肅 劉延明

    高考命題往往設置綜合性的問題和較為復雜的情境,重視基于數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵能力的考查,而以函數(shù)、導數(shù)與數(shù)列不等式結合為載體的綜合問題則是高考命題考查的重點和熱點,往往處于解答題壓軸題的位置.2022年新高考Ⅱ卷的第22題就是基于數(shù)學核心素養(yǎng)與關鍵能力考查的一道綜合試題,該試題將函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列與不等式等知識有機結合,考查學生靈活應用函數(shù)、不等式思想解決復雜問題的能力,對抽象概括能力和推理論證能力有較高的要求,無論是在數(shù)學知識層面、數(shù)學能力層面,還是在創(chuàng)新思維層面都很好地體現(xiàn)了基于數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學關鍵能力的考查.為此,本文以該試題為母題,從解法和變式等不同視角進行深度探究.

    一、母題呈現(xiàn)

    【例】(2022·新高考Ⅱ卷·22)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

    (1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

    (2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

    二、母題分析

    該母題是以高考中高頻次出現(xiàn)的基本函數(shù)“ex”為背景的導數(shù)應用試題,其中第(3)問是數(shù)列不等式的證明問題,解答這一小問的基本思路是:逆向“執(zhí)果”分析,尋求與目標不等式等價的不等式→構造函數(shù),由導數(shù)知識證明或推理得到函數(shù)的基礎不等式結論→將結論通過賦值轉換為數(shù)列的不等關系→運用數(shù)列中諸如裂項、累加等方法或結合“放縮法”的應用→數(shù)列不等式得以證明.

    三、母題解答

    (1)當a=1時,f(x)=xex-ex,所以f′(x)=(x+1)ex-ex=xex.

    所以當x≥0時,f′(x)≥0;當x<0時,f′(x)<0,

    故f(x)在[0,+∞)上單調遞增,在(-∞,0)上單調遞減.

    (2)解法1:令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x>0),

    則由f(x)<-1,得g(x)0恒成立.

    又g′(x)=eax+axeax-ex,所以g′(0)=0.

    令h(x)=g′(x)=eax+axeax-ex,

    則h′(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex,h′(0)=2a-1.

    點評:解法1直接轉化,構造函數(shù),借助導數(shù)定義在分析和推理論證的基礎上求解,落實了數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

    解法2:由題意可知f′(x)=(1+ax)eax-ex,f′(0)=0.

    令g(x)=f′(x)=(1+ax)eax-ex,則g′(x)=(2a+a2x)eax-ex,g′(0)=2a-1.

    所以g(x) 在(0,x0)上單調遞增,又g(0)=0,所以g(x)>0在(0,x0)上恒成立,

    則h(0)=-1,

    點評:解法2首先對函數(shù)求導,然后構造函數(shù),借助“二階”導數(shù)在分析和推理論證的基礎上求解,落實了數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

    (3)證法1(分析法):令Sn=ln(n+1),

    故不等式得證.

    點評:證法1首先將所證數(shù)列不等式逆向分析、轉化,發(fā)現(xiàn)其結構形式、特點,然后換元、構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性證明不等式結論,從而利用該不等式結論證得不等式.

    所以τ(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以當x>0時,τ(x)>τ(0)=0.

    點評:證法3直接利用對數(shù)均值不等式來證明,過程簡潔,十分巧妙.這里需要說明的是,在考試中對數(shù)均值不等式不可以直接應用,需要先進行證明.

    四、考查模式

    導數(shù)及其應用是高考考查的核心內容,其解答題常處于高考壓軸題的位置.在導數(shù)及其應用解答題中融入數(shù)列不等式證明問題,不僅體現(xiàn)了高考命題知識間的交匯、綜合,也使得“導數(shù)題”起到了高考“把關定向”的作用.在高考中,數(shù)列不等式的證明往往設置在導數(shù)及其應用解答題的最后一問考查,先由導數(shù)知識證明或推理得到函數(shù)的基礎不等式結論,然后將結論通過賦值轉換為數(shù)列的不等關系,再運用數(shù)列中如裂項、求和、累加等知識或方法并結合“放縮法”的應用,使得數(shù)列不等式得以證明.

    五、母題變式

    若只改變母題的題設中的函數(shù)形式,數(shù)列不等式不變,可有:

    (1)解關于x的不等式f(x)>0;

    所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

    又f(1)=0,所以f(x)>0的解集為(0,1).

    當n≥2且n∈N*時,由(1)可知,

    然后賦值、累加證得不等式,下同母題第(3)問證法2.

    若母題的題設中的函數(shù)形式不變,改變第(3)問所證明的數(shù)列不等式,可有:

    【變式2】已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

    (1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

    (2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

    解析:(1),(2)見母題的解析.

    若母題的題設中的函數(shù)形式,深度改變第(3)問所證明的數(shù)列不等式,可有:

    【變式3】已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

    (1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

    (2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

    解析:第(1),(2)問解析見母題的解析.

    (3)因為Sn=2n-1,

    所以當n=1時,a1=S1=21-1=1,

    當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,當n=1時,等式成立.

    故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.

    所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2(n-1+1)=2n,

    證法1:從不等式左邊式子是分式連乘積的形式等結構特點,聯(lián)想到運用累乘法,首先研究、變形“通項”,然后運用累乘法來證明.

    上述各式左、右兩邊分別相乘,得

    點評:證法1由不等式左邊式子的特點,聯(lián)想累乘法,通過“放縮”變形左邊連乘積的分式的“通項”,運用累乘法證得不等式.

    所以cn+1>cn,所以數(shù)列{cn}是單調遞增數(shù)列.

    所以cn>c1>1,

    點評:證法2首先通過構造數(shù)列,推證數(shù)列的單調性,利用數(shù)列的單調性證明不等式成立.在推證不等式的過程中運用了“分母擴大,分式縮小”的放縮技巧,值得重視.

    證法3:由于所證不等式是與正整數(shù)n有關的數(shù)列不等式,所以考慮運用數(shù)學歸納法來證明.

    則當n=k+1(k∈N*)時,

    所以當n=k+1時,不等式也成立.

    點評:證法3運用數(shù)學歸納法證明不等式,思路清晰、自然,但有兩點值得注意:一是由n=k時不等式成立,證明n=k+1時不等式也成立,務必要用歸納假設;二是在n=k+1在證明不等式時,用到配方、分離、放縮等代數(shù)式的變形技巧.

    六、方法規(guī)律

    通過上面母題和變式題的解析可以看出,解答函數(shù)、導數(shù)與數(shù)列不等式結合的綜合問題的關鍵是數(shù)列不等式的證明,在證明數(shù)列不等式的過程中往往需要用到 “放縮法”.“放縮法”靈活多變、技巧性強,如何把握放縮的“度”,使得放縮“恰到好處”,這正是“放縮法”的精髓和關鍵所在.在解題中要多觀察、分析、思考和體會,深入剖析問題特征,抓住規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s,從而順利完成數(shù)列不等式的證明.在數(shù)列不等式證明時,用到的“放縮法”主要有:

    1.裂項放縮證明數(shù)列不等式

    2.分式放縮證明數(shù)列不等式

    3.添舍項放縮證明不等式

    根據(jù)數(shù)列不等式的特點,將數(shù)列不等式的一邊添項或舍項進行放縮以達到解決問題的目的.如變式2.許多時候是多種方法共用,比如測試題或經(jīng)過多次放縮后才能達到證明不等式的目的.

    七、教學啟示

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