用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值高考真題分析
——以2022年全國乙卷理科第16題為例

江蘇 龔 亮

高考數(shù)學命題依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》，突出、落實“綜合性”考查要求，突出對主干、重點知識和內容的考查，發(fā)揮高考試題對中學教學改革的引導和促進作用.2022年全國乙卷理科第16題是一道突出“綜合性”考查要求的導數(shù)應用試題.這里，以該試題為母題，就導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題中的應用進行探究.

一、母題呈現(xiàn)

(2022·全國乙卷理·16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點．若x1

二、母題分析

函數(shù)的極值和最值是利用導數(shù)研究函數(shù)性質的兩個重要應用，母題是以函數(shù)極值點的大小關系為題設背景設計的應用導數(shù)求參數(shù)取值范圍問題.解答母題首先要理解函數(shù)“極值點”的概念，并在對a分類討論的基礎上，將函數(shù)“極值點”轉化為導函數(shù)“零點”，再轉化為相應方程的“根”，進而通過構造函數(shù)，轉化為函數(shù)圖象有兩個交點，數(shù)形結合或利用函數(shù)的最值求解.解答母題要運用函數(shù)與方程、化歸與轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想，對數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模及數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的要求較高.

三、母題解答

思路1：由x1，x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點可得，當x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)時，f′(x)<0，當x∈(x1，x2)時，f′(x)>0，再分a>1和0

解法1：因為f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)，

所以f′(x)=2axlna-2ex=2(axlna-ex).

因為x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點，

所以f′(x1)=f′(x2)=0，且函數(shù)f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上單調遞減，在(x1，x2)上單調遞增，

所以當xx2時，f′(x)<0，當x10.

若a>1，當x<0時，2lna·ax>0，2ex<0，則此時f′(x)>0與當x1不符合題意，所以0

由f′(x1)=f′(x2)=0，可知x=x1和x=x2是方程f′(x)=0，即2(axlna-ex)=0的兩根，

所以函數(shù)y=axlna與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點，且交點的橫坐標分別為x1和x2.

令g(x)=axlna，則g′(x)=axln2a，0

設過原點且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點坐標為(x0，ax0lna)，則切線的斜率為g′(x0)=ax0ln2a，

解法2：因為x1，x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點，所以x1，x2分別是導函數(shù)f′(x)的兩個零點，即x1，x2分別是方程f′(x)=0的兩個根，且x1

由解法1知a>1不符合題意，所以0

四、考查模式

導數(shù)及其應用是中學數(shù)學的核心內容，也是每年高考考查的重點和熱點，無論是客觀題還是解答題，多數(shù)情況下處于壓軸題的位置，起著“把關定向”的作用.高考數(shù)學“成也導數(shù)，敗也導數(shù)”是導數(shù)試題重要性的真實寫照.極值和最值是函數(shù)的兩條最重要的性質，用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值更是高考命題考查的熱點，常常在同一個題中同時考查.除上述母題外，還有2021全國乙卷理科第20題：“設函數(shù)f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點.

另外需要指出的是，母題的函數(shù)中出現(xiàn)了一般指數(shù)函數(shù)“ax”的形式，這在全國卷中不足為怪，但在新高考卷中卻鮮有涉及，主要是以特殊指數(shù)函數(shù)“ex”的形式呈現(xiàn)，這或許是全國卷與新高考卷的一點差異吧，2023年高考由全國卷轉為新高考卷的地區(qū)的師生在復習備考中應特別關注一下.

五、母題變式

若母題的題設條件不變，結合母題的解法2，設計求函數(shù)最值的取值范圍，則有：

若改變母題中的函數(shù)形式，同時不明確兩個極值點的屬性和大小關系，則有：

變式2：已知函數(shù)f(x)=ex(aex-1)+x(a>0)有兩個極值點x=x1和x=x2，則實數(shù)a的取值范圍為________.

解析：因為f(x)=ex(aex-1)+x，所以f′(x)=2ae2x-ex+1，

令t=ex,t∈(0,+∞)，則令f′(x)=0可得2at2-t+1=0，則判別式Δ=1-8a.

則當x∈(-∞，x1)時，f′(x)>0，當x∈(x1，x2)，f′(x)<0，當x∈(x2，+∞)時，f′(x)>0，此時函數(shù)f(x)有兩個極值點，符合題意，

若改變母題中的題設函數(shù)，設計函數(shù)存在極值，且極值為正數(shù)，則有：

變式3：已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-xex(a≠1)有極值，且極值為正數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．

解析：函數(shù)f(x)的定義域為(-1，+∞).

當a≤0時，f′(x)<0，所以f(x)在(-1，+∞)上單調遞減，所以f(x)無極值．

所以f′(x)在(-1，+∞)上單調遞減．

又f′(0)=a-1，f′(a-1)=1-aea-1．

①當00，所以在(-1，+∞)上存在唯一的x0∈(a-1，0)，使得f′(x0)=0．

當-10，所以f(x)單調遞增；當x>x0時，f′(x)<0，所以f(x)單調遞減，所以f(x)的極大值為f(x0)>f(0)=0，符合題意；

②當a>1時，f′(0)>0，f′(a-1)<0，同理符合題意．

綜上，可得a>0且a≠1．

故實數(shù)a的取值范圍是(0，1)∪(1，+∞).

若改變母題中的函數(shù)形式，設計判斷兩個極值的差是否有最小值的探索性問題，則有：

解析：f(x1)-f(x2)無最小值，理由如下：

函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞).

設g(x)=-x2+x-a.

因為函數(shù)有兩個不同的極值點x=x1和x=x2，

所以方程-x2+x-a=0有兩個不同的根x=x1和x=x2，

因為f(x1)-f(x2)的最小值為f(x)極小值-f(x)極大值，不妨設f(x1)為極小值，f(x2)為極大值，

故f(x1)-f(x2)不存在最小值.

六、方法規(guī)律

導數(shù)是解決函數(shù)問題的有力工具，運用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等問題是高考命題的一類熱點題型，常常處于壓軸題的位置.這里，將函數(shù)的極值與最值相關的知識和注意事項加以歸納整理.

1.利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值的思維程序

2.利導數(shù)求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上的極值

利導數(shù)求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上的極值的步驟：

①求導數(shù)f′(x)；

②求方程f′(x)=0的根x0；

③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符號：“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；“左負右正”?f(x)在x0處取極小值.

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題時要注意f′(x)=0為極值點的必要非充分條件.判斷極值時，一定要結合函數(shù)的單調性來判斷，避免出現(xiàn)錯誤.如果函數(shù)在x=x0處滿足f′(x0)=0，若導函數(shù)的值在該點附近符合“左正右負”，則x0是極大值點；若符合“左負右正”，則x0是極小值點.

3.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值

若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導，則求函數(shù)f(x)在(a，b)上的最值的步驟：

①求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的極值；

②將求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.

利用導數(shù)研究函數(shù)的最值時應注意：①函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整個取值范圍內討論問題，是一個整體性的概念；②函數(shù)在其定義域區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個.

4.由函數(shù)的極值或最值求參數(shù)取值范圍