《機(jī)器人學(xué)》教學(xué)難點(diǎn)與應(yīng)對(duì)策略

孟凱 劉希東 耿向前 劉豫喜 劉旭賀

在《中國(guó)制造2025》提出的戰(zhàn)略任務(wù)和重點(diǎn)中，大力推動(dòng)重點(diǎn)領(lǐng)域突破發(fā)展，其中一個(gè)重要方向是推動(dòng)機(jī)器人技術(shù)發(fā)展。“十四五”機(jī)器人產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃提出，到2035年，我國(guó)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)綜合實(shí)力達(dá)到國(guó)際領(lǐng)先水平，機(jī)器人成為經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人民生活、社會(huì)治理的重要組成部分。隨著國(guó)家大力推進(jìn)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，與之對(duì)應(yīng)的機(jī)器人產(chǎn)業(yè)研發(fā)和應(yīng)用人才的培養(yǎng)卻相對(duì)滯后。國(guó)家在機(jī)器人領(lǐng)域?qū)I(yè)人才的培養(yǎng)從2015年開(kāi)始發(fā)力，東南大學(xué)首個(gè)“機(jī)器人工程”專(zhuān)業(yè)當(dāng)年獲得備案，專(zhuān)業(yè)代碼080803T，如今備案“機(jī)器人工程”專(zhuān)業(yè)的本科高校已達(dá)322所，包含眾多“雙一流”高校，又包含眾多應(yīng)用技術(shù)性大學(xué)，人才的梯隊(duì)建設(shè)已建立起來(lái)，機(jī)器人行業(yè)人才培養(yǎng)工作穩(wěn)步推進(jìn)，人才培養(yǎng)體系日臻完善。新專(zhuān)業(yè)的設(shè)置，知識(shí)體系的構(gòu)建，在探索中穩(wěn)步提高。

作為“機(jī)器人工程”專(zhuān)業(yè)的核心課程《機(jī)器人學(xué)》的教學(xué)普遍存在教學(xué)難和學(xué)習(xí)難的問(wèn)題。這與知識(shí)體系構(gòu)建、教學(xué)方法和手段的應(yīng)用存在直接的關(guān)系，大量的教育工作者對(duì)本課程的教學(xué)方法和教學(xué)手段提出了眾多的改進(jìn)策略，取得了較好的教學(xué)效果。在此基礎(chǔ)上，若能更加關(guān)注該課程知識(shí)體系中教學(xué)難點(diǎn)的解決和課程體系的銜接，必然取得更加良好的教學(xué)效果和促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升。

1.《機(jī)器人學(xué)》課程特點(diǎn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)

《機(jī)器人學(xué)》是“機(jī)器人工程”專(zhuān)業(yè)的核心課程，是一門(mén)知識(shí)點(diǎn)高度交叉的課程，在課程體系中具有承上啟下的重要地位。其對(duì)先導(dǎo)課程的知識(shí)靈活運(yùn)用要求較高，而且還是機(jī)器人數(shù)字建模、軌跡規(guī)劃、運(yùn)動(dòng)控制、機(jī)器視覺(jué)控制等核心內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。該課程的內(nèi)容涉及三維空間中的位置與姿態(tài)的描述、靜態(tài)正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、速度和靜力、加速度和動(dòng)力學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)劃等內(nèi)容。

2.教學(xué)難點(diǎn)

2.1與先導(dǎo)課程的銜接

《機(jī)器人學(xué)》課程以《線性代數(shù)》《MATLAB及應(yīng)用》《工程力學(xué)》（運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)）、《機(jī)械原理》《計(jì)算方法》《自動(dòng)控制原理》等為先修課程，不但要求學(xué)生掌握較多的數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)，并且要求對(duì)這些知識(shí)理解深刻，融會(huì)貫通，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)普遍反映比較吃力。

三維空間中的位置與姿態(tài)的描述要求學(xué)生掌握空間矢量的表達(dá)和計(jì)算，矩陣的計(jì)算和概念的理解，并且融合了運(yùn)動(dòng)學(xué)中的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)的概念和表達(dá)。其中矢量分析的內(nèi)容雖然包含在了《線性代數(shù)》課程中，但是應(yīng)用時(shí)學(xué)生普遍感到吃力。經(jīng)過(guò)對(duì)比《線性代數(shù)》關(guān)于矢量的內(nèi)容和《機(jī)器人學(xué)》中知識(shí)的需求比較，發(fā)現(xiàn)兩者之間具有較大差異?！毒€性代數(shù)》課程對(duì)矢量的教學(xué)側(cè)重點(diǎn)在于矢量的運(yùn)算，而對(duì)矢量關(guān)于空間變換應(yīng)用的內(nèi)容未有涉及，而《機(jī)器人學(xué)》課程則直接應(yīng)用矢量對(duì)空間進(jìn)行表達(dá)和描述，中間缺乏過(guò)渡的情況下，知識(shí)跨度大，學(xué)生普遍反映用矢量知識(shí)解決空間位置和描述的內(nèi)容無(wú)法快速接受。

在《機(jī)器人學(xué)》連桿速度的傳遞部分，關(guān)于速度的合成問(wèn)題，尤其是角速度的表達(dá)問(wèn)題，《機(jī)器人學(xué)》教材推導(dǎo)簡(jiǎn)單，或者直接給出結(jié)論。對(duì)于悟性較好的同學(xué)，通過(guò)自學(xué)可以較好地習(xí)得這部分內(nèi)容，而程度一般的同學(xué)對(duì)這部分學(xué)習(xí)比較吃力。關(guān)于速度合成問(wèn)題，在《機(jī)器人學(xué)》和《工程力學(xué)》中的表述和推導(dǎo)具有一定的差異。在《機(jī)器人學(xué)》中速度合成，稱(chēng)為線速度、線加速度、角速度和角加速度，而《工程力學(xué)》中稱(chēng)為相對(duì)速度、相對(duì)加速度、牽連速度和牽連加速度。《機(jī)器人學(xué)》中采用基于坐標(biāo)系的矢量變換后矢量分析法進(jìn)行推導(dǎo)，而《工程力學(xué)》中則采用聯(lián)立方程的形式進(jìn)行標(biāo)量分析法進(jìn)行推演，雖然表達(dá)含義相同，表現(xiàn)形式卻存在較大差距，給初次接觸的學(xué)生帶來(lái)不小的困擾，無(wú)所適從。

2.2計(jì)算過(guò)程煩瑣復(fù)雜

《機(jī)器人學(xué)》公式的推導(dǎo)計(jì)算量較大，即便是簡(jiǎn)單的三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣相乘就需要幾十次的乘法和加法的運(yùn)算，用手工計(jì)算復(fù)雜易出錯(cuò)，且對(duì)原理的理解促進(jìn)意義不大。大多數(shù)教材中關(guān)于機(jī)械臂連桿的例題都是基于兩連桿系統(tǒng)平面運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，更貼近實(shí)際需求的>6自由度的機(jī)器人連桿系統(tǒng)在實(shí)際例題的分析中很少見(jiàn)，通常無(wú)法講解清楚。

學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往把精力放在了數(shù)值計(jì)算上，本末倒置現(xiàn)象嚴(yán)重。非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)《機(jī)器人學(xué)》，對(duì)數(shù)學(xué)工具的了解和使用知之甚少，加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。

2.3理論性強(qiáng)，理論實(shí)踐結(jié)合不緊密

傳統(tǒng)的《機(jī)器人學(xué)》的學(xué)習(xí)主要是以教師課堂講解和學(xué)生課下習(xí)題練習(xí)為主，由于該課程的理論性強(qiáng)，強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理推導(dǎo)和控制算法的應(yīng)用?！稒C(jī)器人學(xué)》所需求的數(shù)學(xué)、力學(xué)等知識(shí)點(diǎn)都是理論性較強(qiáng)的內(nèi)容，同時(shí)也是本課程乃至整個(gè)專(zhuān)業(yè)的重點(diǎn)，在課程教學(xué)過(guò)程中一定要抓住重點(diǎn)，打牢基礎(chǔ)。授課時(shí)還要注意和實(shí)踐相結(jié)合，多舉實(shí)例，讓學(xué)生明白夯實(shí)理論基礎(chǔ)在機(jī)器人學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。大多數(shù)學(xué)生難以理解這些復(fù)雜的推導(dǎo)究竟對(duì)實(shí)際的工程有何種用處和意義，即便是掌握了一定的理論分析方法，也不能熟練地應(yīng)用到具體的實(shí)踐，從而導(dǎo)致畏難情緒較大，學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力不足。

3.應(yīng)對(duì)策略

3.1難點(diǎn)內(nèi)容的處理方法

（1）“矩陣計(jì)算”與“空間變換”的關(guān)系

“矩陣計(jì)算”是利用空間來(lái)投射和表征數(shù)據(jù)的基本工具，讓研究人員更為直觀、準(zhǔn)確地探查到數(shù)據(jù)的主要特征和維度信息。因此，其基礎(chǔ)核心地位不言而喻，他是“空間變換”學(xué)習(xí)的攀登階梯?！毒€性代數(shù)》關(guān)于“矩陣計(jì)算”的本質(zhì)在空間描述上的應(yīng)用，可方便用于矢量的觀點(diǎn)解釋“空間變換”。強(qiáng)調(diào)向量是原點(diǎn)作為起點(diǎn)的空間中“箭頭”，用列表的形式表示空間向量。“矩陣”是線性變換后的基的數(shù)值，“矩陣的列”是變換后的基向量?；蛄渴窍蛄靠臻g上各個(gè)維度正方向上，線性無(wú)關(guān)的，長(zhǎng)度為1的單位向量，空間的維度決定了基向量的個(gè)數(shù)。重點(diǎn)解釋空間描述向量的加法和數(shù)乘的定義?？臻g描述下，“矩陣”與“向量”相乘表示“線性變換”作用于這個(gè)向量；“矩陣”與“矩陣”相乘就是兩個(gè)“線性變換”的依次作用。用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)解釋空間向量。介紹矩陣乘法與復(fù)合線性變換之間的聯(lián)系，用矢量積解釋空間平面四邊形的面積、平行六面體的體積和力矩的表示，明確空間描述下“行列式”的含義。二維空間下“行列式”表示線性變換改變面積的比例；三維空間下“行列式”的值為平行六面體的體積?！疤卣髦怠笔翘卣飨蛄吭谧儞Q后被縮放或拉伸的比例。

通過(guò)這些空間基本概念和方法基于矩陣的表示，建立起新知識(shí)點(diǎn)與先導(dǎo)課課程的知識(shí)點(diǎn)的過(guò)渡，緩解學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的陌生感，降低《機(jī)器人學(xué)》學(xué)習(xí)入門(mén)的門(mén)檻，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)遷移能力的培養(yǎng)。

（2）從《工程力學(xué)》中“運(yùn)動(dòng)的合成”遷移學(xué)習(xí)《機(jī)器人學(xué)》的“位姿變換”

在日常教學(xué)過(guò)程中穿插《線性代數(shù)》《工程力學(xué)》等基礎(chǔ)學(xué)科的復(fù)習(xí)和補(bǔ)缺，使學(xué)生從宏觀上理解整個(gè)課程體系中每門(mén)課程之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)?！豆こ塘W(xué)》中“運(yùn)動(dòng)的合成”與《機(jī)器人學(xué)》中的“位姿變換”的知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)上是一致的，但是《工程力學(xué)》的內(nèi)容推導(dǎo)是基于標(biāo)量分析的聯(lián)立方程的推導(dǎo)，內(nèi)容詳盡，而《機(jī)器人學(xué)》的“位姿變換”主要是基于矢量分析的矩陣描述，直接給出矢量基于坐標(biāo)系的表達(dá)。在教學(xué)中，先回顧《工程力學(xué)》中的標(biāo)量分析的推導(dǎo)過(guò)程，然后把標(biāo)量分析與矢量分析過(guò)程對(duì)比陳列，從而得出“位姿變換”的矢量表達(dá)，教學(xué)效果明顯優(yōu)于直接講解基于矢量分析的“位姿變換”。

（3）從《工程力學(xué)》中“速度和加速度的合成”遷移學(xué)習(xí)《機(jī)器人學(xué)》“速度和加速度的變換”

《工程力學(xué)》和《機(jī)器人學(xué)》關(guān)于“速度和加速度”的關(guān)系類(lèi)似于“運(yùn)動(dòng)的合成”和“位姿變換”的關(guān)系，本質(zhì)是相同的，描述和表達(dá)的角度不同，從而也可以利用遷移學(xué)習(xí)的方法快速掌握?！八俣群图铀俣取钡谋举|(zhì)都是矢量的微商，《工程力學(xué)》中只做出了兩個(gè)坐標(biāo)系之間的速度和加速度變換的描述，而《機(jī)器人學(xué)》中的“速度和加速度”的描述是多個(gè)坐標(biāo)系的鏈?zhǔn)矫枋?。在《工程力學(xué)》中“速度和加速度”的描述基礎(chǔ)上，通過(guò)表達(dá)形式從標(biāo)量分析遷移為基于坐標(biāo)系的矢量分析，便得到《機(jī)器人學(xué)》中關(guān)于“速度和加速度”的描述，再利用矢量的疊加定理得出《機(jī)器人學(xué)》中鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)系下“速度和加速度”的描述。

（4）“有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)”和“角速度”的概念問(wèn)題

大部分的《機(jī)器人學(xué)》的教材遇到“有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)”問(wèn)題時(shí)，通常利用沿三個(gè)軸線的依次轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)矩陣的連乘不滿(mǎn)足交換律簡(jiǎn)單地進(jìn)行解釋?zhuān)瑥慕虒W(xué)實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生遇到這部分內(nèi)容時(shí)總是發(fā)生困惑，很難充分理解。因?yàn)楫?dāng)轉(zhuǎn)角較大時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣確實(shí)不滿(mǎn)足交換律，但是當(dāng)每次旋轉(zhuǎn)角度較小的時(shí)候，旋轉(zhuǎn)矩陣的連乘又基本符合交換律。這里學(xué)生往往認(rèn)為角速度是矢量，那么轉(zhuǎn)角也應(yīng)該是矢量，必然旋轉(zhuǎn)矩陣滿(mǎn)足交換律，結(jié)果恰恰相反。在這里需要明確一個(gè)概念，并非一切具有數(shù)值和方向的量都必定是矢量。盡管“有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)”有數(shù)值和方向，但是它們卻不能用矢量來(lái)表示，不是矢量。雖然“有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)”不是矢量，但是可以證明“有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)”的時(shí)間變化率（即角速度）可以用矢量表示，其方向?yàn)檗D(zhuǎn)軸方向，其大小為“有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)”的變化率（即有限（角）轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)）。

3.2數(shù)學(xué)工具軟件輔助計(jì)算推導(dǎo)

《機(jī)器人學(xué)》課程的習(xí)題中涉及大量的矩陣運(yùn)算和推導(dǎo)，手工推導(dǎo)不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)工具在機(jī)器人學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)較為深入，MATLAB軟件已廣泛地應(yīng)用于《機(jī)器人學(xué)》的學(xué)習(xí)當(dāng)中，不但在數(shù)值計(jì)算上有較大優(yōu)勢(shì)，在機(jī)器人的控制理論研究上利用其Simulink模塊也較為方便。尤其是基于MATLAB開(kāi)發(fā)的機(jī)器人工具箱（Robotics Toolbox）軟件，提供不僅包含常用的位姿表示，正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解，動(dòng)力學(xué)，軌跡規(guī)劃等函數(shù)，能夠用“標(biāo)準(zhǔn)的D-H法”或“修正D-H法”對(duì)任意連桿結(jié)構(gòu)的機(jī)器人進(jìn)行空間上的描述，還能進(jìn)行三維空間的運(yùn)動(dòng)仿真，計(jì)算正逆動(dòng)力學(xué)（逆動(dòng)力學(xué)采用遞歸牛頓歐拉法，效率高），分析機(jī)器人受控狀態(tài)下的參數(shù)輸出。系統(tǒng)自帶的PUMA560和standFord類(lèi)型的機(jī)器人模型，為相關(guān)控制算例的學(xué)習(xí)和講解帶來(lái)了巨大便利性。機(jī)器人工具箱軟件在《機(jī)器人學(xué)》的教學(xué)、學(xué)習(xí)、計(jì)算的驗(yàn)證和公式推導(dǎo)上具有較大優(yōu)勢(shì)，深受廣大教師和學(xué)生的擁護(hù)。

所有可能的剛體的運(yùn)動(dòng)都是李群及其子群的典型范例，《機(jī)器人學(xué)》研究的三維空間的剛體運(yùn)動(dòng)的映射集合構(gòu)成一個(gè)六維李群SE（3），平面剛體的變換又涉及李群SE（2）。大部分開(kāi)設(shè)“機(jī)器人工程”專(zhuān)業(yè)的高校開(kāi)設(shè)《李群李代數(shù)》課程的極少，大多數(shù)學(xué)生對(duì)此都不甚熟悉。而在MATLAB機(jī)器人工具箱的使用中大量的變量定義涉及李群概念的理解，學(xué)生在工具箱的使用中遇到不小的困惑。而單獨(dú)開(kāi)設(shè)《李群李代數(shù)》課程客觀條件又不允許。教學(xué)實(shí)踐中，根據(jù)機(jī)器人工具箱所涉及的李群概念進(jìn)行扼要的講解和常用符號(hào)的必要解釋?zhuān)灸軌驖M(mǎn)足機(jī)器人工具箱的正常使用。

3.3教學(xué)過(guò)程引入項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)

項(xiàng)目式教學(xué)具有知識(shí)講解式教學(xué)所不具備的優(yōu)勢(shì)，在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的同時(shí)促進(jìn)自主學(xué)習(xí)意識(shí)，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)由“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的轉(zhuǎn)變。項(xiàng)目式教學(xué)融合理論分析、數(shù)值實(shí)驗(yàn)、仿真分析等多種方法，使得抽象的概念具象化，對(duì)創(chuàng)新性人才和應(yīng)用型人才的培養(yǎng)都具有重要意義。教學(xué)中，項(xiàng)目設(shè)置為“雙臂機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃與協(xié)調(diào)控制”，內(nèi)容涵蓋了整個(gè)機(jī)器人學(xué)的全部知識(shí)點(diǎn)。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)完畢便可根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容完善項(xiàng)目對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。由于每次的學(xué)習(xí)都只能完成項(xiàng)目的局部?jī)?nèi)容，在好奇心的驅(qū)使下，學(xué)生提前學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的意識(shí)得到加強(qiáng)。由于知識(shí)點(diǎn)的連續(xù)性，又促進(jìn)了學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)點(diǎn)的自覺(jué)回顧復(fù)習(xí)，加深了知識(shí)點(diǎn)的熟練程度。

《機(jī)器人學(xué)》教學(xué)難點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)與多門(mén)學(xué)科相關(guān)，計(jì)算推導(dǎo)復(fù)雜，理論性強(qiáng)，本文針對(duì)教學(xué)難點(diǎn)探索出了基于知識(shí)遷移的教學(xué)方法，利用熟悉知識(shí)點(diǎn)達(dá)到以舊知新；通過(guò)數(shù)學(xué)工具的引入，煩瑣的理論計(jì)算過(guò)程得到有效緩解，學(xué)生可以把主要精力用于基本原理的理解；項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)模式的建立調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力，提升了主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。相關(guān)的教學(xué)方法和應(yīng)對(duì)策略及經(jīng)驗(yàn)也值得其他的課程改革和創(chuàng)新進(jìn)行借鑒。

（孟凱，博士，講師，主要從事仿生機(jī)器人和減振降噪研究。）