高考立體幾何全國(guó)卷與浙江卷對(duì)比研究

朱成萬(wàn) (浙江省杭州第十四中學(xué) 310006)

浙江省自2004年自主命題以來(lái)形成了自己的獨(dú)特風(fēng)格，浙江省教師的教學(xué)也形成了與之相應(yīng)的思維定式和教學(xué)套路.2023年浙江高考將使用全國(guó)卷，全國(guó)卷與浙江卷相差很大，包括命題風(fēng)格、題型、考查知識(shí)點(diǎn)的側(cè)重等.因此，研究高考全國(guó)卷的特點(diǎn)對(duì)迎考復(fù)習(xí)具有現(xiàn)實(shí)意義.本文研究近10年(2012—2021年)高考立體幾何部分試題(僅研究理科卷或文理合卷，其中全國(guó)卷共30份，浙江卷10份)，分析它們的異同，以期對(duì)教學(xué)有啟發(fā)作用.

1 題量與分值對(duì)比分析

1.1 題量、分值統(tǒng)計(jì)表

1.2 題量、分值分析

從表1可以看到，兩卷的題量與分值差別不大.全國(guó)卷中立體幾何的分值以22分為主，約占總分(150分)的14%；題量以3題為主，都有1道大題和2道小題(選擇或者填空題).浙江卷中立體幾何的分值均為23分，約占總分(150分)的15%；題量為3題(1大題2小題).無(wú)論是浙江卷還是全國(guó)卷，立體幾何均是高考必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容，在試卷中占有較大的比重，處于重要地位.

表1 2012—2021年高考浙江卷、全國(guó)卷立體幾何題量、分值

2 考查內(nèi)容對(duì)比與分析

2.1 考查內(nèi)容統(tǒng)計(jì)

為了直觀顯示兩卷的異同，根據(jù)表2畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖(圖1).

表2 2012—2021年高考全國(guó)卷、浙江卷立體幾何知識(shí)點(diǎn)的考查次數(shù)

圖1 2012—2021年高考全國(guó)卷、浙江卷立體幾何考查內(nèi)容頻率分布直方圖

2.2 考查內(nèi)容對(duì)比分析

從表2和圖1可以看出，對(duì)立體幾何內(nèi)容的考查，浙江卷與全國(guó)卷相差很大，主要體現(xiàn)在四個(gè)方面：

第一，浙江卷考點(diǎn)集中，全國(guó)卷考點(diǎn)分散.全國(guó)卷對(duì)內(nèi)容的考查相對(duì)分散，幾乎涉及立體幾何的所有知識(shí)：幾何體的體積與表面積、長(zhǎng)度與距離、三類角度、平行與垂直關(guān)系、球的切與接、折疊與展開、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用等.除了二面角及球的切與接，其他知識(shí)點(diǎn)分布比較均衡．相比而言，浙江卷中立體幾何的考點(diǎn)相對(duì)集中，主要集中在線面角、二面角，線面垂直的判定，以及折疊與展開等幾個(gè)問(wèn)題．可見(jiàn)全國(guó)卷中立體幾何的試題比浙江卷的試題視角更寬、層次更多．

第二，兩卷同時(shí)反復(fù)考查的知識(shí)點(diǎn)較少.全國(guó)卷與浙江卷同時(shí)反復(fù)考查的知識(shí)點(diǎn)不多，只有線面角、二面角，線面平行、線線垂直、線面垂直等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn).有許多內(nèi)容是全國(guó)卷反復(fù)考查而浙江卷從不考，或者浙江卷反復(fù)考查而全國(guó)卷從不考.比如球的切與接，全國(guó)卷10年考查了10次，而浙江卷從未考查；再如最小角定理，浙江卷考查4次，而全國(guó)卷從未考查.

第三，“全國(guó)愛(ài)考二面角，浙江愛(ài)考線面角.”空間三類角(兩異面直線夾角、線面角、二面角)是立體幾何的核心內(nèi)容，兩卷對(duì)它們的考查差別很大.先看線面角，浙江卷考查了6次，而且連續(xù)6年(2016—2021年)浙江卷立體幾何大題都是考查線面角，可見(jiàn)對(duì)浙江考生來(lái)說(shuō)“線面角的地位比二面角更高”；再看二面角，浙江卷考查了4次(2012—2015年)，全國(guó)卷考查了18次，遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于浙江卷.故稱：“全國(guó)愛(ài)考二面角，浙江愛(ài)考線面角.”

第四，全國(guó)卷的創(chuàng)新力度比浙江卷強(qiáng).浙江卷的題型基本固定，考查內(nèi)容也基本固定，試題的創(chuàng)新主要體現(xiàn)在幾何體結(jié)構(gòu)上的變化.全國(guó)卷試題則不僅在幾何體的結(jié)構(gòu)上創(chuàng)新，在考點(diǎn)和題型上也不斷出現(xiàn)新題，比如考查截面問(wèn)題、證明四點(diǎn)共面以及數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用問(wèn)題，而且還出現(xiàn)“多選題和結(jié)構(gòu)不良試題”等.特別是2015年全國(guó)卷II第19題，需要畫出截面四邊形，該題無(wú)論是考查內(nèi)容還是考查形式都讓人耳目一新.

3 考查內(nèi)容的理解

全國(guó)高考卷本著一核、四層、四翼的評(píng)價(jià)理念，注重學(xué)科特點(diǎn)，從學(xué)科思維價(jià)值和整體高度的角度出發(fā)，突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性和綜合性[1]，以立體幾何的重點(diǎn)知識(shí)和主干知識(shí)為主體，著意于數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的靈活性與創(chuàng)新性，將能力與素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．下面分析全國(guó)高考卷是如何以立體幾何為載體，通過(guò)“四翼”實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生“四層”的有效考查.

3.1 關(guān)注基礎(chǔ)

全國(guó)卷注重對(duì)立體幾何的基本概念和基本性質(zhì)的考查，體現(xiàn)了知識(shí)立意，旨在檢測(cè)學(xué)生的“學(xué)習(xí)掌握”情況．

圖2

例1(2019全國(guó)卷II理科題17)如圖2，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．

(1)證明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．

評(píng)注 該題以長(zhǎng)方體為載體，考查線面垂直關(guān)系和二面角的大小.該題給出了圖形，考生可以用綜合法求解，也可以直接建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量運(yùn)算求解.該題背景常規(guī)、設(shè)問(wèn)常規(guī)，解題方法也常規(guī)，只需掌握立體幾何的基本知識(shí)就可以解答.高考通過(guò)該題檢測(cè)學(xué)生對(duì)于立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，體現(xiàn)基礎(chǔ)性.

3.2 強(qiáng)調(diào)綜合

全國(guó)卷注重知識(shí)的綜合，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用．從學(xué)科內(nèi)容選擇的角度看，綜合性要求以多項(xiàng)相互關(guān)聯(lián)的活動(dòng)組成的復(fù)雜情境作為載體，能夠反映學(xué)科知識(shí)、能力內(nèi)部的整合及其綜合運(yùn)用.[2]全國(guó)卷以基本知識(shí)為載體，考查基本能力，體現(xiàn)了能力立意，旨在檢測(cè)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．

例2(2019年全國(guó)卷I理科題12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

評(píng)注 該題以三棱錐的外接球問(wèn)題為載體，主要考查了球的基本概念、三棱錐中元素的幾何度量與位置關(guān)系判定，突出考查了球與三棱錐組合情境下的空間想象能力，同時(shí)著重考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和應(yīng)用能力.該題并未給出圖形，如果考生畫出圖3，設(shè)PA=PB=PC=x，根據(jù)題中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，用x表示△AEC各邊長(zhǎng)，然后運(yùn)用余弦定理，則運(yùn)算非常繁瑣.如果能將三棱錐的外接球等價(jià)于正方體的外接球，畫出圖4，則問(wèn)題迎刃而解.該題突出了對(duì)學(xué)生綜合、靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力的考查，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指導(dǎo)意義.

圖3

圖4

3.3 重視應(yīng)用

全國(guó)卷重視學(xué)以致用，試題聯(lián)系生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用立體幾何知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與研究，進(jìn)而解決問(wèn)題，即強(qiáng)調(diào)立體幾何在數(shù)學(xué)外部的綜合應(yīng)用．

圖5

A.346 B.373 C.446 D.473

評(píng)注 本題以“三角高程測(cè)量法測(cè)量珠穆朗瑪峰高程”為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題，要求學(xué)生利用立體幾何的線面關(guān)系等構(gòu)建模型，通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論.這種試題情境真實(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

3.4 適度創(chuàng)新

全國(guó)卷注重適度創(chuàng)新，通過(guò)創(chuàng)設(shè)合理情境，設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式，要求考生在新穎或陌生的情境中主動(dòng)思考，完成開放性或探究性的任務(wù)，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論，以檢測(cè)考生的關(guān)鍵能力和必備品格．

A.當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

圖6

4 教學(xué)建議

4.1 聚焦全國(guó)卷，改變教學(xué)思維定式

從以上分析可知，浙江卷與全國(guó)卷差別很大.浙江教師如果仍以浙江卷命題規(guī)律組織教學(xué)，那就很難應(yīng)對(duì)將來(lái)全國(guó)卷高考.比如浙江卷反復(fù)考查最小角定理，這類題目難度較大，學(xué)生需要較多的時(shí)間才能掌握，但是全國(guó)卷從不考，如果教師按照以往的思維定式，仍在該問(wèn)題上花大力氣，那是費(fèi)時(shí)、費(fèi)力且效果不佳.再比如，“球的切與接”也是一個(gè)較難的問(wèn)題，學(xué)生需要一定的訓(xùn)練才能掌握.該內(nèi)容全國(guó)卷年年考，但浙江卷從不考.如果教師還是按照之前應(yīng)對(duì)浙江卷的思路，不涉及該內(nèi)容，那么學(xué)生在未來(lái)高考遇到該問(wèn)題，一定會(huì)手足無(wú)措.因此，浙江教師要以全國(guó)卷為導(dǎo)向，教學(xué)與復(fù)習(xí)才有針對(duì)性，才能在未來(lái)的高考中取得好成績(jī).

4.2 聚焦核心知識(shí)，形成空間觀念

高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查既全面又突出重點(diǎn).對(duì)支撐學(xué)科知識(shí)的重要內(nèi)容，占有較大的比例，構(gòu)成試卷的主體.[3]立體幾何是高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，在全國(guó)卷或浙江卷中都占有較高的分值.立體幾何考查的核心是線面關(guān)系(特別是平行與垂直關(guān)系)和幾何量計(jì)算(特別是空間三類角).對(duì)平行關(guān)系而言，線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是考查的重點(diǎn)，對(duì)垂直關(guān)系而言，線面垂直與面面垂直也是考查的重點(diǎn)，需要花大力氣去訓(xùn)練.三類角的計(jì)算(特別是線面角與二面角)，無(wú)論是浙江卷還是全國(guó)卷都是重要考查內(nèi)容.教學(xué)時(shí)在這些內(nèi)容上下功夫，既是掌握立體幾何核心內(nèi)容、高考取得好成績(jī)的必要條件，也是幫助學(xué)生形成空間觀念、培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的良好載體.

4.3 不忘冷門知識(shí)點(diǎn)，復(fù)習(xí)要系統(tǒng)全面

高考要求“全面考查基礎(chǔ)知識(shí)”，所以教學(xué)不僅要關(guān)注重點(diǎn)內(nèi)容、關(guān)注熱點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)冷門知識(shí)也不能遺漏.從表2可以看到，浙江卷考查的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)集中，近10年集中在11個(gè)知識(shí)點(diǎn)上.對(duì)浙江卷而言，有許多知識(shí)是冷門(比如證明四點(diǎn)共面)，教師教學(xué)不重視，也很少給學(xué)生訓(xùn)練，將來(lái)使用全國(guó)卷，這些以往不重視、不關(guān)注的知識(shí)點(diǎn)都要重新重視起來(lái).所以，對(duì)知識(shí)的復(fù)習(xí)要系統(tǒng)全面，到邊到角，不留死角.

4.4 兼顧應(yīng)用與創(chuàng)新，培養(yǎng)思維品質(zhì)

素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)高考命題不斷創(chuàng)新，其主要特點(diǎn)表現(xiàn)為人文性、趣味性、新穎性、生活性、開放性等.教學(xué)要適應(yīng)高考的變化，在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的前提下要加強(qiáng)綜合性、應(yīng)用性問(wèn)題的訓(xùn)練，增強(qiáng)對(duì)多選題、開放題的研究和訓(xùn)練.在核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下組織復(fù)習(xí)材料，側(cè)重對(duì)立體幾何知識(shí)的理解和應(yīng)用，減少機(jī)械訓(xùn)練.通過(guò)掌握知識(shí)，提升思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在高考中立于不敗之地.