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    一道截面問題的探究之旅*

    2022-11-24 12:03:31林清利吳曉明曾獻(xiàn)峰福建省莆田第一中學(xué)351100
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年5期
    關(guān)鍵詞:交線平行線中點(diǎn)

    林清利 吳曉明 曾獻(xiàn)峰 (福建省莆田第一中學(xué) 351100)

    在我校近期的一次考試中,學(xué)生在一道作截面圖問題上得分不夠理想.在批閱試卷過程中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生未作答或得分很低,同時(shí)發(fā)現(xiàn)存在多種解法,但有些解法是錯(cuò)誤的.這引起了筆者的思考:為何一道看似簡潔、直觀、普通的試題得分情況卻不理想?下面我們一同探個(gè)究竟.

    題目如圖1,三棱柱ABC-A1B1C1中,M是AA1的中點(diǎn),過MC1作該三棱柱的截面α,使A1B∥α,寫出作圖步驟,并證明.

    圖1

    1 錯(cuò)解分析

    錯(cuò)解1 如圖2,設(shè)AB中點(diǎn)為N,連結(jié)MN,則截面為△C1MN.

    圖2 圖3 圖4

    經(jīng)了解,不少考生對于截面的概念模糊不清,錯(cuò)誤地認(rèn)為截面就是平面,只要能找到截面上的三個(gè)不共線的點(diǎn),那么這三個(gè)點(diǎn)確定的三角形就是截面.事實(shí)上,截面是指平面與幾何體的面相交所圍成的平面圖形.所以截面的每條邊均在幾何體的表面,而圖2中C1N在幾何體內(nèi)部,從而截面不是△C1MN.

    錯(cuò)解2 如圖3,設(shè)AB,BB1中點(diǎn)分別為N,D,連結(jié)MN,ND,DC1,則截面為四邊形C1MND.

    錯(cuò)解3 如圖4,設(shè)AB,BC中點(diǎn)分別為N,D,連結(jié)MN,ND,DC1,則截面為四邊形C1MND.

    有的考生憑感覺取中點(diǎn)D,想當(dāng)然認(rèn)為截面就是四邊形C1MND,然而C1,M,N,D四點(diǎn)不共面.事實(shí)上C1M與ND是異面直線.這些考生缺少對平面的直觀想象,對兩條異面直線缺乏直觀的判斷經(jīng)驗(yàn).普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(A版)第131頁例2告訴我們一種判斷異面直線的方法:與一個(gè)平面相交的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線[1].若學(xué)生能運(yùn)用這個(gè)方法來判斷,就可以避免犯這種錯(cuò)誤.

    2 解法探究

    作幾何體的截面,往往是先找到截面與幾何體的三個(gè)不共線的公共點(diǎn),這三點(diǎn)確定一個(gè)三角形,再對這個(gè)三角形進(jìn)行延展.延展的基本手法是延長某條邊,或者過一點(diǎn)作對邊的平行線.其理論依據(jù)是平面的三個(gè)基本事實(shí).若涉及平行、垂直的問題,還需要線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理,以及三垂線定理等.

    本題中要作出截面,考慮從線段C1M的端點(diǎn)下手作直線,但可能還是不清楚如何作直線.我們可以把最終目標(biāo)A1B平行截面α當(dāng)作條件考慮,可以想象讓A1B平行移動起來,不難發(fā)現(xiàn)在平面A1AB內(nèi),設(shè)AB中點(diǎn)為N,連結(jié)MN,則MN∥A1B,MN?α,A1B?α,從而A1B∥α,接下來再作截面.

    思路1通過延長直線來延拓平面

    分析1 圖2中平面C1MN與平面C1CBB1有一個(gè)公共點(diǎn)C1,直觀想象MN的延長線與平面C1CBB1相交,此交點(diǎn)與點(diǎn)C1的連線就是平面C1MN與平面C1CBB1的交線.

    解法1 如圖5,延長MN,B1B,設(shè)MN∩B1B=D,連結(jié)C1D,交BC于點(diǎn)E,連結(jié)EN得截面MNEC1.

    圖5 圖6

    分析2 同分析1,考慮作平面C1MN與平面ABC的交線.

    解法2 如圖6,分別延長CA,C1M,設(shè)CA∩C1M=D,連結(jié)DN并延長交BC于點(diǎn)E,連結(jié)C1E得截面MNEC1.

    思路2通過作平行直線來延拓平面.

    分析3 要延拓△C1MN所在平面,可以從其頂點(diǎn)下手,作對邊的平行線.基于圖形的直觀,嘗試過點(diǎn)C1作MN的平行線.

    解法3 如圖7,過B作直線BD//AC,設(shè)BD=AC,易證BD平行且等于A1C1,則四邊形A1BDC1是平行四邊形,從而A1B//DC1.又MN//A1B,所以MN//C1D,那么M,N,C1,D共面.連結(jié)DN交BC于E,連結(jié)EC1得截面MNEC1.

    圖7 圖8 圖9

    分析4 從其頂點(diǎn)下手,作對邊的平行線.嘗試過點(diǎn)N作MC1的平行線,但這條平行線與平面BCC1B1的交點(diǎn)F不易直觀確定,故考慮讓MC1“落地”,即取CC1中點(diǎn)D,則AD//MC1,那么在△ABD中,易知點(diǎn)F的準(zhǔn)確位置.

    解法4 如圖8,取CC1中點(diǎn)D,連結(jié)BD,取BD中點(diǎn)F,連結(jié)C1F并延長交BC于E.易證MC1//AD,AD//FN,那么MC1//FN,從而M,C1,F,N共面,連結(jié)EN得截面MNEC1.

    分析5 除了直觀地平移A1B至頂點(diǎn)M或C1,嘗試平移至△C1MN內(nèi)部的某個(gè)位置.考慮平面A1BC與截面必相交,則A1B平行該交線.

    解法5 如圖9,連結(jié)A1C,設(shè)A1C∩C1M=O,設(shè)BC∩α=E,因?yàn)锳1B//α,A1B?平面A1BC,α∩平面A1BC=OE,則A1B//OE.易得E是線段BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B),連結(jié)EC1,EN得截面MNEC1.

    分析6 由于上下底面平行,故截面與它們的交線必平行,這樣可輕松作出交線C1D和EN確定截面.

    解法6 如圖10,延長NM,B1A1,設(shè)NM∩B1A1=D,設(shè)P,Q,E分別為C1B1,CB的三等分點(diǎn),連結(jié)C1D,A1P,AQ,PQ,EN,易證C1D//A1P,A1P//AQ,AQ//EN,則C1D//EN,從而C1,D,E,N共面,連結(jié)EC1得截面MNEC1.

    圖10 圖11

    分析7 平面C1MN可轉(zhuǎn)化為面面平行,容易想到過A1作直線平行于C1M.再利用平行平面被第三個(gè)面截得的交線平行,進(jìn)而延拓平面C1MN.

    解法7 如圖11,延長CC1至D,使得C1D=A1M,易證A1D//C1M,又A1B//MN,從而平面C1MN//平面A1BD,則平面C1CBB1與它們的交線平行,設(shè)截面與BC交于點(diǎn)E,那么C1E//BF,易知E為CB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B).連結(jié)EC1,EN得截面MNEC1.

    思路3向量法

    分析8 文[2]基于平面、空間向量基本定理,用向量法輕松作出截面圖,令人拍案叫絕,故嘗試之.

    圖12

    3 追根溯源

    從上面的求解過程我們可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生對截面問題的思考必須經(jīng)歷識圖、想圖到構(gòu)圖的過程,要通過觀察、分析、想象、推理、計(jì)算才能加以求解.這是立體幾何教學(xué)所要求的核心素養(yǎng),能很好地體現(xiàn)新課程背景下要求學(xué)生自主探究的理念.課程標(biāo)準(zhǔn)為幫助教師更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與內(nèi)容、教學(xué)、評價(jià)、考試命題的關(guān)系,提供了一些范例,其中的案例11便是一個(gè)有關(guān)截面的問題——《正方體截面的探究》,結(jié)合正方體的截面設(shè)計(jì)問題串引導(dǎo)學(xué)生分類找出所有可能的截面、研究截面的形狀、獲取截面的方法、畫出截面的示意圖、研究截面面積最大的三角形等.在全國卷高考試題命制中也有所體現(xiàn),如2016年理科卷I題11、2018年理科卷I題12(具體試題見下方)都是有關(guān)正方體截面的問題,試題難度較大,對學(xué)生空間思維能力要求比較高;2015年理科卷II題19是有關(guān)長方體截面的問題,要求學(xué)生敢于試驗(yàn)、敢于探究,當(dāng)判斷錯(cuò)誤時(shí)能改進(jìn)試驗(yàn),試題的設(shè)計(jì)突出了操作與實(shí)踐性.

    (2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第11題)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( ).

    (2018年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第12題)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

    圖13

    以上三道真題直接或間接地考查作截面圖形的問題,圖形直觀、條件簡潔、解法多樣,值得細(xì)品.前兩道選擇題以正方體為載體,以面面平行為條件,考查作交線及截面問題.學(xué)生能比較熟練地作出圖形,可直接作平面進(jìn)而得交線,也可以轉(zhuǎn)化,或不作出交線.當(dāng)然亦可不作圖,建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)化求解交線的方向向量,進(jìn)而用向量夾角表示空間角.第三道解答題以線面平行為條件,可利用向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算問題,也可以轉(zhuǎn)化為面面平行,先作出平面再確定直線.

    人教版教材第140頁例題4和第171頁12題分別給出了我們熟知的正方體中的面面平行與線面垂直.“直線與平面平行”一節(jié)中第138頁上的例題3木料畫線問題本質(zhì)上也是一個(gè)截面問題.

    (第140頁例題4)如圖14,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,求證:平面AB1D1//平面BC1D.[1]

    圖14 圖15

    (第171頁第12題)如圖15,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:(1)B1D⊥平面A1BC1;(2)B1D與平面A1BC1的交點(diǎn)H是△A1BC1的重心.[1]

    我們不難發(fā)現(xiàn),上面的幾道高考題源于教材并高于教材,題在書外、根在書內(nèi).立體幾何中的作截面圖形問題,往往需要先直觀想象圖形的結(jié)構(gòu),分析其特征,再幾何論證或者代數(shù)運(yùn)算,以充分發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng).我們要堅(jiān)持讓學(xué)生多動手,重視畫圖,學(xué)會轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)其思考并提出問題,感悟數(shù)學(xué)思想,積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),形成和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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