淺論函數(shù)奇偶性的判斷方法

335500 江西省萬年縣萬年中學(xué) 徐 廣

335500 江西省萬年縣萬年一中 李 敏

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，更是廣大高中生的易錯(cuò)點(diǎn)．學(xué)好函數(shù)的奇偶性一直是廣大高中生的訴求，要掌握好函數(shù)奇偶性的判斷方法，可以從以下三個(gè)方面入手．

一、 關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義

北師大版高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義簡(jiǎn)述如下

.

設(shè)函數(shù)

y

=

f

(

x

)，

x

∈

I

，且對(duì)任意

x

∈

I

，恒有-

x

∈

I

(即定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，(1)若

f

(-

x

)=-

f

(

x

)，則稱

y

=

f

(

x

)為奇函數(shù)；(2)若

f

(-

x

)=

f

(

x

)，則稱

y

=

f

(

x

)為偶函數(shù)．

上述定義從理論上說明，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提．相當(dāng)一部分學(xué)生常常忽視所給函數(shù)的定義域，直接用函數(shù)奇偶性的判別式確定其奇偶性，很容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論．

例1

判斷函數(shù)的奇偶性．

錯(cuò)解：

由題意可得

F

(

x

)=

x

，從而有

F

(-

x

)=

F

(

x

)，所以

y

=

F

(

x

)為偶函數(shù)．

評(píng)析：

上述解答沒有求出函數(shù)的定義域，忽視了判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

正解：

因?yàn)?p>y

=

F

(

x

)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以

y

=

F

(

x

) 不具有奇偶性．

因此，教師在講授新課時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的重要性與先決性．

類似的，函數(shù)不具有奇偶性．

例2

若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)

k

的值．

錯(cuò)解：

因?yàn)?p>f

(

x

)是奇函數(shù)，所以

f

(0)=0，即從而有

k

=1．

評(píng)析：

上述解法沒有考慮0是否屬于

f

(

x

)的定義域，而是默認(rèn)

f

(

x

)在

x

=0處有定義．

正解：

由

f

(-

x

)=-

f

(

x

)，得整理可得

k

(2+2-)=2+2-，從而有

k

=1或

k

=-1．經(jīng)驗(yàn)證，均合題意．

例3

設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)

a

的值．

解析：

注意到函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，已知

x

≠-2且

x

≠

a

，所以要保證定義域?qū)ΨQ，則

a

=2，這是

f

(

x

)為奇函數(shù)的必要條件，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．

二、 函數(shù)奇偶性的四則運(yùn)算合成

在默認(rèn)的最大定義域內(nèi)，為互質(zhì)的奇數(shù)(

p

，

q

為互質(zhì)的奇數(shù))，

y

=sin

x

，

y

=tan

x

，

y

=cot

x

為奇函數(shù)；為互質(zhì)的正整數(shù)，

p

為偶數(shù)(

p

，

q

為互質(zhì)的正整數(shù)，

p

為偶數(shù))，

y

=cos

x

為偶函數(shù)；

y

=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．

在掌握了初等函數(shù)的奇偶性后，對(duì)于給定的復(fù)雜函數(shù)的奇偶性，往往不需要直接用定義方法來證明或判斷，而是用合成方法處理．

設(shè)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)

f

(

x

)和

f

(

x

)為奇函數(shù)，而

g

(

x

)與

g

(

x

)為偶函數(shù)，

k

，

c

為常數(shù)，則有如下結(jié)論

.

(1)當(dāng)

k

≠0時(shí)，

y

=

kf

(

x

)為奇函數(shù)，

y

=

kg

(

x

)為偶函數(shù)．特別地，當(dāng)

k

=0時(shí)，

y

=

kf

(

x

)和

y

=

kg

(

x

)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．(2)當(dāng)

c

≠0時(shí)，

y

=

f

(

x

)+

c

不是奇函數(shù),

y

=

g

(

x

)+

c

為偶函數(shù)．(3)

y

=

f

(

x

)±

f

(

x

)為奇函數(shù)，

y

=

g

(

x

)±

g

(

x

)為偶函數(shù)．

為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．定義域可能會(huì)有所變化，例如和

(5)

y

=

f

(

x

)

f

(

x

)為偶函數(shù)，

y

=

g

(

x

)

g

(

x

)為偶函數(shù)．(6)

y

=

f

(

x

)

g

(

x

)為奇函數(shù)．(7)設(shè)

h

(

x

)=

kf

(

x

)+

cg

(

x

)(其中

f

(

x

)不為偶函數(shù)，

g

(

x

)不為奇函數(shù)),若

h

(

x

)為奇函數(shù)，則

c

=0；若

h

(

x

)為偶函數(shù)，則

k

=0

.

例4

判斷下列函數(shù)的奇偶性．

解：

(1)

f

(

x

)在(-∞,0)∪(0,+∞)上為奇函數(shù)；(2)

g

(

x

)在

R

上的為奇函數(shù)；(3)

h

(

x

) 在上為偶函數(shù)．

例5

設(shè)

F

(

x

)=

x

+(

t

-1)

x

為

R

上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)

t

的值．

解：

由題意可得

t

-1=0，即

t

=1．這里可以直接省去用

F

(-1)=-

F

(1)計(jì)算得出結(jié)果，或者由計(jì)算稍微復(fù)雜的

F

(-

x

)+

F

(

x

)=0推導(dǎo)得到結(jié)果．

例6

若函數(shù)在(-2,2)上為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)

a

與

b

的值．

分析：

因?yàn)?p>f

(

x

)在

x

=0處有定義，所以

f

(0)=0，可得

a

=1，所以分子為

x

，是奇函數(shù)，而

f

(

x

)為奇函數(shù)，所以分母

x

+

bx

+1必須為偶函數(shù)，即有

b

=0．

解：

因?yàn)?p>f

(

x

)的定義域?yàn)?-2,2)，所以有

f

(0)=0，即

a

=1，從而可得為偶函數(shù)，進(jìn)而有

b

=0．這里主要應(yīng)用了函數(shù)

y

=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的性質(zhì)，在判斷加減復(fù)合的過程中，將“雜項(xiàng)”變換為常數(shù)0，消除它的影響．

三、 復(fù)合函數(shù)的奇偶性

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的奇偶性，也可以用復(fù)合法則進(jìn)行判斷．

設(shè)函數(shù)

y

=

f

(

t

)與

t

=

g

(

x

)分別為復(fù)合函數(shù)

y

=

f

[

g

(

x

)]的外層函數(shù)(簡(jiǎn)稱外函數(shù))和內(nèi)層函數(shù)(簡(jiǎn)稱內(nèi)函數(shù))，則

y

=

f

[

g

(

x

)]的奇偶性如表1所示

.

表1

y=ft t=gx y=fgx 奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

由奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，可知奇函數(shù)中自變量帶有負(fù)號(hào)可以向外提出，而偶函數(shù)自變量中的負(fù)號(hào)不能向外提出，即可內(nèi)消．

因此，可以歸納出判斷復(fù)合函數(shù)奇偶性的方法

.

首先，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次，不論是幾層復(fù)合函數(shù)，一旦有一層為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)，否則為奇函數(shù)．

例7

判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)

f

(

x

)=sin(

x

-

x

)；(2)

g

(

x

)=cos(

x

+

x

)；(3)

h

(

x

)=|tan

x

|．

解：

(1)

f

(

x

)為

R

上的奇函數(shù)；(2)

g

(

x

)為

R

上的偶函數(shù)；(3)

h

(

x

)為上的偶函數(shù)．

這種方法方便學(xué)生在審題時(shí)確定函數(shù)的奇偶性，但在處理具體問題時(shí)，一定要確認(rèn)其定義域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性．

四、 函數(shù)的局部奇偶性

對(duì)于奇(偶)函數(shù)平移后得到的新函數(shù)，在此將其稱為具有局部奇偶性函數(shù)，常用分離方法處理這類問題．

例8

設(shè)函數(shù)

f

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

+1，且

f

(3)=5，求

f

(-3)的值．

分析：

對(duì)于函數(shù)

f

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

+1，其中

a

sin

x

-

bx

為奇函數(shù)，

y

=

f

(

x

)的圖像可由

g

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

的圖像向上平移1個(gè)單位得到．要求

f

(-3)，關(guān)鍵要求出

g

(-3)的值，而

g

(-3)=-

g

(3)．顯然，

g

(3)=

f

(3)-1．

解：

設(shè)

g

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

，則

f

(

x

)=

g

(

x

)+1，所以

f

(3)=

g

(3)+1=5．從而，

g

(3)=4，

g

(-3)=-

g

(3)=-4，則

f

(-3)=

g

(-3)+1=-3．

綜上可知，要熟練掌握函數(shù)的奇偶性，不但要深刻理解奇偶性的定義，而且要能領(lǐng)會(huì)奇偶函數(shù)的本質(zhì)特征．