序數(shù)權(quán)重統(tǒng)一表示下的權(quán)重穩(wěn)健性Hasse圖分析

岳立柱, 陸 暢, 施光磊

(1.黃山學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,安徽 黃山 245000; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 管理科學(xué)與工程研究院,遼寧 葫蘆島 125105)

0 引言

序數(shù)權(quán)重是比較特殊的一類(lèi)權(quán)重，根據(jù)權(quán)重秩次通過(guò)一定的運(yùn)算方式得到具體權(quán)值。在實(shí)際問(wèn)題中，決策者的精力和信息處理能力有限，尤其是在復(fù)雜和不確定環(huán)境下，通常很難確定決策參數(shù)的準(zhǔn)確值，可能只給出準(zhǔn)則權(quán)重系數(shù)的區(qū)間，或者一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重大于另一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重等模糊信息[1]。此外，在群決策的過(guò)程中，決策者往往得不到精確的權(quán)重信息，只能給出模糊的語(yǔ)義順序[2]。因此，在時(shí)間、精力和處理能力等受限的條件下序數(shù)權(quán)重具有獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。

學(xué)者們研究開(kāi)發(fā)了多種序數(shù)權(quán)重。典型的方法有ROC賦權(quán)法[3]、RE賦權(quán)法[4]、 RR賦權(quán)法、RS賦權(quán)法[5]和EW賦權(quán)法。不同的學(xué)者對(duì)這些方法進(jìn)行了評(píng)估，得出的共同結(jié)論是：ROC方法不僅具有吸引人的理論基礎(chǔ)，在精度表現(xiàn)方面似乎也優(yōu)于其它方法。當(dāng)決策者僅能提供序數(shù)信息時(shí)，推薦應(yīng)用ROC法。不過(guò)，最近Pierre等[6]給出了有力證據(jù)，認(rèn)為ROC并不是最優(yōu)選擇。選擇哪種方法更為妥當(dāng)，當(dāng)前出現(xiàn)了分歧和爭(zhēng)論。學(xué)者Kirkwood等[7]仿真研究表明，現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題只利用序數(shù)權(quán)值往往無(wú)法確定最理想方案。

在多種序數(shù)權(quán)重方法中，到底哪種方法更優(yōu)？或者說(shuō)存在最為理想的賦權(quán)方法嗎？權(quán)重可能是客觀的、也可能是在互動(dòng)中建構(gòu)的，但均具有不確定性，如何提升略顯“僵化”的序數(shù)權(quán)重應(yīng)對(duì)不確定性的能力？為解決以上疑問(wèn)，在以往研究的基礎(chǔ)上，找到了序數(shù)權(quán)重的統(tǒng)一表達(dá)方式，即極值點(diǎn)的特殊線性組合。在極值點(diǎn)集統(tǒng)一表示的框架內(nèi)構(gòu)造偏序關(guān)系，將權(quán)重問(wèn)題轉(zhuǎn)換為偏序問(wèn)題，通過(guò)Hasse圖分析權(quán)重的穩(wěn)健性。

1 研究基礎(chǔ)

1.1 序數(shù)權(quán)重

通過(guò)權(quán)重秩次得到權(quán)值的方法稱(chēng)為序權(quán)法。假設(shè)有n個(gè)準(zhǔn)則，遵從習(xí)慣約定最重要權(quán)重秩次賦值為1、次重要賦值為2，依次類(lèi)推，最不重要權(quán)重秩次賦值為n。目前研究較多的序權(quán)法有5種，數(shù)學(xué)表達(dá)式及相關(guān)研究見(jiàn)表1。

表1 序數(shù)權(quán)重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)式及相關(guān)研究

1.2 權(quán)重空間與極值點(diǎn)

自始至終假定所有備選方案的準(zhǔn)則取值都是精確已知的，且準(zhǔn)則的重要性按從最重要到最不重要降序排列，令

WRO={(w1,…,wn)T}w1≥…≥wn,Σwj=1}

(1)

假設(shè)方案集A={a1,…,am}，準(zhǔn)則集C={c1,…,cn}。vi=(vi1,…,vin)表示方案ai在準(zhǔn)則集上的取值向量，vij表示方案ai在準(zhǔn)則cj上的取值。簡(jiǎn)單線性加權(quán)函數(shù)和線性規(guī)劃分別為:

(2)

Dij=min{f(ai)-f(aj)=viw-vjw|w∈WRO}

(3)

在權(quán)重空間WRO內(nèi)，若存在w使得f(ai)-f(aj)的最小值大于等于零，則對(duì)?w∈WRO都有f(ai)≥f(aj)。

根據(jù)式(3)文獻(xiàn)[13]構(gòu)建了占優(yōu)矩陣D=(dij)m×m，在此基礎(chǔ)上實(shí)施方案排序。對(duì)于式(3)文獻(xiàn)[12,14]證明了該線性規(guī)劃有n個(gè)極值點(diǎn)，極值點(diǎn)集為E={e1,e2,…,en}，各極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)展開(kāi)式為:

e1=(1,0,0,…,0)T

(4)

…

由序數(shù)權(quán)重生成權(quán)重空間和極值點(diǎn)的詳盡介紹可參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。但現(xiàn)有文獻(xiàn)沒(méi)有明確，對(duì)任意權(quán)重是否可由極值點(diǎn)集表示及如何進(jìn)行表示。

2 序權(quán)的極值點(diǎn)統(tǒng)一表示

2.1 權(quán)重的極值點(diǎn)表示定理

圍繞線性規(guī)劃研究權(quán)重的不確定性，已經(jīng)成為了多準(zhǔn)則決策中提升魯棒性的強(qiáng)有力工具。線性模型通常以相對(duì)簡(jiǎn)單的方式捕捉現(xiàn)象，進(jìn)而成為開(kāi)啟復(fù)雜之門(mén)的“鑰匙”。通過(guò)線性規(guī)劃的極值點(diǎn)，不難驗(yàn)證任意權(quán)重均可由極值點(diǎn)集表示。

定理1對(duì)?w∈WRO，一定存在γ=(γ1,γ2,…,γn)，使得

w=γ1·e1+γ2·e2+…+γn·en

(5)

且，Σγi=1,γi≥0,i=1,2,…,n。

2.2 五種序權(quán)的極值點(diǎn)表示

定理1表明，給定任意權(quán)重w∈WRO，均可表示為極值點(diǎn)集的(加權(quán))線性組合。表2給出如上五種序權(quán)的極值點(diǎn)表達(dá)式。

表2 五種序數(shù)權(quán)重的極值點(diǎn)表達(dá)式

通過(guò)上述五種權(quán)重的極值點(diǎn)表達(dá)式，可以歸納出任意序數(shù)權(quán)重均可由極值點(diǎn)集來(lái)生成，權(quán)重研究可以轉(zhuǎn)換成極值點(diǎn)上的研究。哪種組合更為合適，取決于理想(真實(shí))權(quán)重的變動(dòng)特征。例如，若相鄰權(quán)重之差相等(不為零)，選擇RS法更為合適；若相鄰權(quán)重之差構(gòu)成了遞減序列，采用ROC法或RR法更為妥當(dāng)。因此，不同的權(quán)重有著不同的適用條件，不存在適用一切的最優(yōu)的序數(shù)權(quán)重。

3 序權(quán)穩(wěn)健性的Hasse圖分析

由于信息獲取制約和決策者認(rèn)知局限，方案間的比較關(guān)系本質(zhì)上是偏序關(guān)系，全序只是其特例。偏序關(guān)系最終可以通過(guò)Hasse圖直觀展示，能夠體現(xiàn)出權(quán)重排序的穩(wěn)健性和不確定性[16,17]。

3.1 由極值點(diǎn)構(gòu)造偏序關(guān)系

根據(jù)式(5)可知，任何權(quán)重向量均可表示為極值點(diǎn)集的加權(quán)線性組合，即

w=[e1,e2,…,en]·γT

(6)

對(duì)各準(zhǔn)則進(jìn)行線性集結(jié)，由式(2)和式(6)得到方案評(píng)價(jià)值向量

(7)

為了方便分析，記上式右端子式

(8)

定理2若矩陣D第i行小于等于第j行，則對(duì)?w∈WRO均有f(ai)≤f(aj)。

當(dāng)矩陣D第i行小于等于第j行，式(8)等價(jià)于下式

viet≤vjet,t=1,2,…,n

(9)

根據(jù)式(9)知，構(gòu)造偏序關(guān)系[18]

ai?aj?viet≤vjet,t=1,2,…,n

(10)

由上式右端可知，當(dāng)滿(mǎn)足矩陣D第i行小于等于第j行時(shí)，根據(jù)定理2可知f(ai)≤f(aj)，故由偏序關(guān)系可以得到ai?aj?f(ai)≤f(aj)。

3.2 由偏序關(guān)系獲得Hasse圖

對(duì)方案進(jìn)行兩兩比較，建立偏序關(guān)系矩陣R=(rij)m×n，即?ai,aj∈A，其中

(11)

若全序關(guān)系為特殊的偏序關(guān)系，則矩陣為可達(dá)矩陣R=(rij)m×n。不過(guò)偏序關(guān)系矩陣存在冗余信息，可將其簡(jiǎn)化為Hasse矩陣HR。文獻(xiàn)[19]給出了二者的轉(zhuǎn)換公式

HR=(R-I)-(R-I)*(R-I)

(12)

其中，I為單位矩陣，運(yùn)算符*為布爾乘法。根據(jù)HR可以繪制Hasse圖(二者是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)。

3.3 權(quán)重排序的Hasse圖分析

Hasse圖作為一種深度可視化工具，有助于增強(qiáng)決策者對(duì)決策的理解和分析。心理學(xué)研究表明對(duì)信息的理解和決策過(guò)程都受到信息呈現(xiàn)方式的影響。決策反饋互動(dòng)與流程透明度已經(jīng)成為高質(zhì)量決策的必要條件，交互式數(shù)據(jù)可視化的Hasse圖可以促進(jìn)實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)。不僅如此，通過(guò)本文方法獲得的Hasse圖能夠捕獲如下關(guān)鍵信息：

(1)識(shí)別方案比較的穩(wěn)健性。對(duì)于可比方案(Hasse圖中路徑連通的方案)只要權(quán)重秩次保持不變，無(wú)論權(quán)重怎樣變動(dòng)，原可比方案優(yōu)劣關(guān)系不變。

(2)識(shí)別方案比較的不確定性。對(duì)于不可比方案(Hasse圖中沒(méi)有路徑連通的方案)，序權(quán)法對(duì)其比較或排序，充滿(mǎn)了不確定性，即隨著權(quán)重的變動(dòng)方案排序存在“翻轉(zhuǎn)”可能，存在排序風(fēng)險(xiǎn)。

(3)通過(guò)Hasse圖實(shí)施分層聚類(lèi)。該分層方式屬于無(wú)參數(shù)聚類(lèi)方法，層內(nèi)元素兩兩不可比，不同層之間至少存在一對(duì)可比元素。不難證明若指標(biāo)取大為優(yōu)，最優(yōu)方案一定位于首層。

4 實(shí)例分析

4.1 獲取砂輪選料Hasse圖

砂輪是由結(jié)合劑將磨料固結(jié)成一定形狀，具有一定強(qiáng)度的固結(jié)磨具。選擇砂輪磨料有8個(gè)方案，7個(gè)準(zhǔn)則，所有這些準(zhǔn)則除了材料成本外，都是效益型的。砂輪磨料選擇問(wèn)題原始數(shù)據(jù)參見(jiàn)文[20,21]。

Step1根據(jù)文[21]提供的權(quán)重順序w3≥w1≥w4≥w2≥w7≥w5≥w6，根據(jù)權(quán)重秩次信息，采用極差歸一化方式得到調(diào)整后的評(píng)價(jià)矩陣V=(vij)8×7(見(jiàn)表4)。

Step2由表4得到矩陣D，即從左到右依次累加再均值化，得到表5。

表4 調(diào)整后的評(píng)價(jià)矩陣V

表5 矩陣D

圖1 八種選料方案的Hasse圖

Step3對(duì)表5各行兩兩進(jìn)行比較，建立偏序關(guān)系矩陣R=(rij)m×n(略)。

Step4根據(jù)式(12)得到Hasse矩陣(略)，繪制Hasse圖(圖1)。

4.2 仿真模擬

為檢驗(yàn)Hasse圖的穩(wěn)健性，應(yīng)用Python 3.6編寫(xiě)仿真程序。隨機(jī)生成10000個(gè)權(quán)重向量，權(quán)重向量乘以方案向量，得到10000行10列的模擬評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，對(duì)模擬評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行兩兩列比較，最終模擬結(jié)果如表6。

表6 權(quán)重隨機(jī)變動(dòng)下的選料方案比較結(jié)果

表6中的數(shù)據(jù)表示10000次模擬中行方案綜合值大于列方案綜合值的次數(shù)。在Hasse圖中，只要權(quán)重秩次不變，無(wú)論權(quán)重如何變動(dòng)，可比方案的比較關(guān)系均不變，不可比方案存在翻轉(zhuǎn)的可能，如A1和A4為不可比方案，在10000次模擬中出現(xiàn)了7897次A1優(yōu)于A4的情況，揭示了有78.97%可能A1優(yōu)于A4，而可比方案是100%完全優(yōu)于。表格中還存在一些雖是不可比方案，在模擬結(jié)果中卻100%優(yōu)于的情況，說(shuō)明方案翻轉(zhuǎn)的可能性較小，但在模擬次數(shù)足夠大時(shí)，還是會(huì)存在翻轉(zhuǎn)的可能。

4.3 五種賦權(quán)方法排序結(jié)果

根據(jù)權(quán)重秩次順序，得到RR法、ROC法、RS法、RE法和EW法等5種序權(quán)法的具體權(quán)重值(見(jiàn)表7)。應(yīng)用如上5種序權(quán)法得到8種砂輪磨料的綜合排名見(jiàn)表8。

表7 五種序數(shù)指標(biāo)權(quán)重

表8 多種權(quán)重的方案排序

由表8可見(jiàn)5種賦權(quán)方法與文[21]排名(A5≥A3≥A2≥A6≥A4≥A1≥A7≥A8)結(jié)果幾乎一致，且符合Hasse圖分層結(jié)果，其中RR、ROC和RE三種方法與文[21]方案排名完全相同，RS和EW與其略有差異。通過(guò)Hasse圖能夠清晰看到產(chǎn)生差異的原因，在Hasse圖中若兩個(gè)元素不可比，那么不同序權(quán)方法就可能存在排序翻轉(zhuǎn)的情況。若Hasse圖中兩個(gè)方案可比，那么無(wú)論用何種賦權(quán)方法，只要保證權(quán)重順序不變，得到的排序結(jié)果就會(huì)相同，不存在方案翻轉(zhuǎn)的情況。

4.4 結(jié)果分析

通過(guò)Hasse圖(圖1)直觀展示了方案間的結(jié)構(gòu)化信息，能夠獲得層集聚類(lèi)、確定性和不確定性等三方面的信息：

(1) 盡管5種方法得到排名并不完全一致，但是對(duì)應(yīng)的分層是完全一致的。雖然五種序數(shù)權(quán)重對(duì)應(yīng)的方案排序不同，但均對(duì)應(yīng)著相同的層級(jí)結(jié)構(gòu)(表8末列)，這揭示了不同的序數(shù)權(quán)重實(shí)質(zhì)上是在共同層級(jí)結(jié)構(gòu)上實(shí)施全排序，可比方案的比較關(guān)系是完全一致的，差異在于不可比方案。

(2) 方案比較的穩(wěn)健性分析。由Hasse圖可以看出，本例中A3和A5均優(yōu)于其它所有方案，在保持權(quán)重順序不變的條件下，無(wú)論權(quán)重怎樣變動(dòng)，最佳方案候選集{A3,A5}不變。不僅對(duì)于給定的5種序數(shù)賦權(quán)方法，即使再增加新的賦權(quán)方法，最佳方案候選集依然為{A3,A5}。因此，結(jié)合Hasse圖能夠迅速“鎖定”最優(yōu)候選方案集。

(3)方案比較的不確定性分析。盡管5種賦權(quán)方法和文獻(xiàn)[21]一致得到A5優(yōu)于A3，但二者的優(yōu)劣關(guān)系是不穩(wěn)定的，因?yàn)樵贖asse圖中二者為不可比方案。例如，如果第三個(gè)指標(biāo)上原料充足，A3可能為最佳；除此之外，選擇A5更可能是最佳選擇。因此，通過(guò)不確定分析能夠識(shí)別出不考慮第三個(gè)指標(biāo)變化而選擇A5可能帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。

5 結(jié)論

對(duì)任何序數(shù)權(quán)重均可以由線性規(guī)劃極值點(diǎn)的加權(quán)線性組合來(lái)表示，這表明研究權(quán)重問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)換為研究極值點(diǎn)問(wèn)題，這為權(quán)重問(wèn)題研究奠定了理論基礎(chǔ)。本文方法解答了文初的三個(gè)疑惑：(1)不同序數(shù)權(quán)重適用條件不同，不存在適用一切的“最優(yōu)”賦權(quán)方法；(2)在不完全信息條件下，由序數(shù)權(quán)重實(shí)施的排序具有不確定性，通過(guò)極值點(diǎn)構(gòu)造偏序關(guān)系，最終由Hasse圖捕獲不確定性。(3)盡管不同序權(quán)法得到方案排序有差異，但都能得到同樣的分層結(jié)構(gòu)，意味著在實(shí)踐應(yīng)用中不必太糾結(jié)于方法的選擇，因?yàn)闊o(wú)論選擇哪個(gè)方法，當(dāng)與Hasse圖結(jié)合分析時(shí)都會(huì)得到類(lèi)似的分析結(jié)果。Hasse圖與序權(quán)法相結(jié)合不限于本文給定的范圍，實(shí)際上可以和任意給定的序數(shù)權(quán)重和非序數(shù)權(quán)重相結(jié)合使用，因此可進(jìn)一步研究不同類(lèi)型的權(quán)重在應(yīng)用效果上的差異，降低權(quán)重變動(dòng)帶來(lái)的決策風(fēng)險(xiǎn)。