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    序數(shù)權(quán)重統(tǒng)一表示下的權(quán)重穩(wěn)健性Hasse圖分析

    2022-11-10 03:17:38岳立柱施光磊
    運(yùn)籌與管理 2022年10期
    關(guān)鍵詞:序數(shù)偏序賦權(quán)

    岳立柱, 陸 暢, 施光磊

    (1.黃山學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,安徽 黃山 245000; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 管理科學(xué)與工程研究院,遼寧 葫蘆島 125105)

    0 引言

    序數(shù)權(quán)重是比較特殊的一類(lèi)權(quán)重,根據(jù)權(quán)重秩次通過(guò)一定的運(yùn)算方式得到具體權(quán)值。在實(shí)際問(wèn)題中,決策者的精力和信息處理能力有限,尤其是在復(fù)雜和不確定環(huán)境下,通常很難確定決策參數(shù)的準(zhǔn)確值,可能只給出準(zhǔn)則權(quán)重系數(shù)的區(qū)間,或者一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重大于另一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重等模糊信息[1]。此外,在群決策的過(guò)程中,決策者往往得不到精確的權(quán)重信息,只能給出模糊的語(yǔ)義順序[2]。因此,在時(shí)間、精力和處理能力等受限的條件下序數(shù)權(quán)重具有獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。

    學(xué)者們研究開(kāi)發(fā)了多種序數(shù)權(quán)重。典型的方法有ROC賦權(quán)法[3]、RE賦權(quán)法[4]、 RR賦權(quán)法、RS賦權(quán)法[5]和EW賦權(quán)法。不同的學(xué)者對(duì)這些方法進(jìn)行了評(píng)估,得出的共同結(jié)論是:ROC方法不僅具有吸引人的理論基礎(chǔ),在精度表現(xiàn)方面似乎也優(yōu)于其它方法。當(dāng)決策者僅能提供序數(shù)信息時(shí),推薦應(yīng)用ROC法。不過(guò),最近Pierre等[6]給出了有力證據(jù),認(rèn)為ROC并不是最優(yōu)選擇。選擇哪種方法更為妥當(dāng),當(dāng)前出現(xiàn)了分歧和爭(zhēng)論。學(xué)者Kirkwood等[7]仿真研究表明,現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題只利用序數(shù)權(quán)值往往無(wú)法確定最理想方案。

    在多種序數(shù)權(quán)重方法中,到底哪種方法更優(yōu)?或者說(shuō)存在最為理想的賦權(quán)方法嗎?權(quán)重可能是客觀的、也可能是在互動(dòng)中建構(gòu)的,但均具有不確定性,如何提升略顯“僵化”的序數(shù)權(quán)重應(yīng)對(duì)不確定性的能力?為解決以上疑問(wèn),在以往研究的基礎(chǔ)上,找到了序數(shù)權(quán)重的統(tǒng)一表達(dá)方式,即極值點(diǎn)的特殊線性組合。在極值點(diǎn)集統(tǒng)一表示的框架內(nèi)構(gòu)造偏序關(guān)系,將權(quán)重問(wèn)題轉(zhuǎn)換為偏序問(wèn)題,通過(guò)Hasse圖分析權(quán)重的穩(wěn)健性。

    1 研究基礎(chǔ)

    1.1 序數(shù)權(quán)重

    通過(guò)權(quán)重秩次得到權(quán)值的方法稱(chēng)為序權(quán)法。假設(shè)有n個(gè)準(zhǔn)則,遵從習(xí)慣約定最重要權(quán)重秩次賦值為1、次重要賦值為2,依次類(lèi)推,最不重要權(quán)重秩次賦值為n。目前研究較多的序權(quán)法有5種,數(shù)學(xué)表達(dá)式及相關(guān)研究見(jiàn)表1。

    表1 序數(shù)權(quán)重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)式及相關(guān)研究

    1.2 權(quán)重空間與極值點(diǎn)

    自始至終假定所有備選方案的準(zhǔn)則取值都是精確已知的,且準(zhǔn)則的重要性按從最重要到最不重要降序排列,令

    WRO={(w1,…,wn)T}w1≥…≥wn,Σwj=1}

    (1)

    假設(shè)方案集A={a1,…,am},準(zhǔn)則集C={c1,…,cn}。vi=(vi1,…,vin)表示方案ai在準(zhǔn)則集上的取值向量,vij表示方案ai在準(zhǔn)則cj上的取值。簡(jiǎn)單線性加權(quán)函數(shù)和線性規(guī)劃分別為:

    (2)

    Dij=min{f(ai)-f(aj)=viw-vjw|w∈WRO}

    (3)

    在權(quán)重空間WRO內(nèi),若存在w使得f(ai)-f(aj)的最小值大于等于零,則對(duì)?w∈WRO都有f(ai)≥f(aj)。

    根據(jù)式(3)文獻(xiàn)[13]構(gòu)建了占優(yōu)矩陣D=(dij)m×m,在此基礎(chǔ)上實(shí)施方案排序。對(duì)于式(3)文獻(xiàn)[12,14]證明了該線性規(guī)劃有n個(gè)極值點(diǎn),極值點(diǎn)集為E={e1,e2,…,en},各極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)展開(kāi)式為:

    e1=(1,0,0,…,0)T

    (4)

    由序數(shù)權(quán)重生成權(quán)重空間和極值點(diǎn)的詳盡介紹可參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。但現(xiàn)有文獻(xiàn)沒(méi)有明確,對(duì)任意權(quán)重是否可由極值點(diǎn)集表示及如何進(jìn)行表示。

    2 序權(quán)的極值點(diǎn)統(tǒng)一表示

    2.1 權(quán)重的極值點(diǎn)表示定理

    圍繞線性規(guī)劃研究權(quán)重的不確定性,已經(jīng)成為了多準(zhǔn)則決策中提升魯棒性的強(qiáng)有力工具。線性模型通常以相對(duì)簡(jiǎn)單的方式捕捉現(xiàn)象,進(jìn)而成為開(kāi)啟復(fù)雜之門(mén)的“鑰匙”。通過(guò)線性規(guī)劃的極值點(diǎn),不難驗(yàn)證任意權(quán)重均可由極值點(diǎn)集表示。

    定理1對(duì)?w∈WRO,一定存在γ=(γ1,γ2,…,γn),使得

    w=γ1·e1+γ2·e2+…+γn·en

    (5)

    且,Σγi=1,γi≥0,i=1,2,…,n。

    2.2 五種序權(quán)的極值點(diǎn)表示

    定理1表明,給定任意權(quán)重w∈WRO,均可表示為極值點(diǎn)集的(加權(quán))線性組合。表2給出如上五種序權(quán)的極值點(diǎn)表達(dá)式。

    表2 五種序數(shù)權(quán)重的極值點(diǎn)表達(dá)式

    通過(guò)上述五種權(quán)重的極值點(diǎn)表達(dá)式,可以歸納出任意序數(shù)權(quán)重均可由極值點(diǎn)集來(lái)生成,權(quán)重研究可以轉(zhuǎn)換成極值點(diǎn)上的研究。哪種組合更為合適,取決于理想(真實(shí))權(quán)重的變動(dòng)特征。例如,若相鄰權(quán)重之差相等(不為零),選擇RS法更為合適;若相鄰權(quán)重之差構(gòu)成了遞減序列,采用ROC法或RR法更為妥當(dāng)。因此,不同的權(quán)重有著不同的適用條件,不存在適用一切的最優(yōu)的序數(shù)權(quán)重。

    3 序權(quán)穩(wěn)健性的Hasse圖分析

    由于信息獲取制約和決策者認(rèn)知局限,方案間的比較關(guān)系本質(zhì)上是偏序關(guān)系,全序只是其特例。偏序關(guān)系最終可以通過(guò)Hasse圖直觀展示,能夠體現(xiàn)出權(quán)重排序的穩(wěn)健性和不確定性[16,17]。

    3.1 由極值點(diǎn)構(gòu)造偏序關(guān)系

    根據(jù)式(5)可知,任何權(quán)重向量均可表示為極值點(diǎn)集的加權(quán)線性組合,即

    w=[e1,e2,…,en]·γT

    (6)

    對(duì)各準(zhǔn)則進(jìn)行線性集結(jié),由式(2)和式(6)得到方案評(píng)價(jià)值向量

    (7)

    為了方便分析,記上式右端子式

    (8)

    定理2若矩陣D第i行小于等于第j行,則對(duì)?w∈WRO均有f(ai)≤f(aj)。

    當(dāng)矩陣D第i行小于等于第j行,式(8)等價(jià)于下式

    viet≤vjet,t=1,2,…,n

    (9)

    根據(jù)式(9)知,構(gòu)造偏序關(guān)系[18]

    ai?aj?viet≤vjet,t=1,2,…,n

    (10)

    由上式右端可知,當(dāng)滿(mǎn)足矩陣D第i行小于等于第j行時(shí),根據(jù)定理2可知f(ai)≤f(aj),故由偏序關(guān)系可以得到ai?aj?f(ai)≤f(aj)。

    3.2 由偏序關(guān)系獲得Hasse圖

    對(duì)方案進(jìn)行兩兩比較,建立偏序關(guān)系矩陣R=(rij)m×n,即?ai,aj∈A,其中

    (11)

    若全序關(guān)系為特殊的偏序關(guān)系,則矩陣為可達(dá)矩陣R=(rij)m×n。不過(guò)偏序關(guān)系矩陣存在冗余信息,可將其簡(jiǎn)化為Hasse矩陣HR。文獻(xiàn)[19]給出了二者的轉(zhuǎn)換公式

    HR=(R-I)-(R-I)*(R-I)

    (12)

    其中,I為單位矩陣,運(yùn)算符*為布爾乘法。根據(jù)HR可以繪制Hasse圖(二者是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)。

    3.3 權(quán)重排序的Hasse圖分析

    Hasse圖作為一種深度可視化工具,有助于增強(qiáng)決策者對(duì)決策的理解和分析。心理學(xué)研究表明對(duì)信息的理解和決策過(guò)程都受到信息呈現(xiàn)方式的影響。決策反饋互動(dòng)與流程透明度已經(jīng)成為高質(zhì)量決策的必要條件,交互式數(shù)據(jù)可視化的Hasse圖可以促進(jìn)實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)。不僅如此,通過(guò)本文方法獲得的Hasse圖能夠捕獲如下關(guān)鍵信息:

    (1)識(shí)別方案比較的穩(wěn)健性。對(duì)于可比方案(Hasse圖中路徑連通的方案)只要權(quán)重秩次保持不變,無(wú)論權(quán)重怎樣變動(dòng),原可比方案優(yōu)劣關(guān)系不變。

    (2)識(shí)別方案比較的不確定性。對(duì)于不可比方案(Hasse圖中沒(méi)有路徑連通的方案),序權(quán)法對(duì)其比較或排序,充滿(mǎn)了不確定性,即隨著權(quán)重的變動(dòng)方案排序存在“翻轉(zhuǎn)”可能,存在排序風(fēng)險(xiǎn)。

    (3)通過(guò)Hasse圖實(shí)施分層聚類(lèi)。該分層方式屬于無(wú)參數(shù)聚類(lèi)方法,層內(nèi)元素兩兩不可比,不同層之間至少存在一對(duì)可比元素。不難證明若指標(biāo)取大為優(yōu),最優(yōu)方案一定位于首層。

    4 實(shí)例分析

    4.1 獲取砂輪選料Hasse圖

    砂輪是由結(jié)合劑將磨料固結(jié)成一定形狀,具有一定強(qiáng)度的固結(jié)磨具。選擇砂輪磨料有8個(gè)方案,7個(gè)準(zhǔn)則,所有這些準(zhǔn)則除了材料成本外,都是效益型的。砂輪磨料選擇問(wèn)題原始數(shù)據(jù)參見(jiàn)文[20,21]。

    Step1根據(jù)文[21]提供的權(quán)重順序w3≥w1≥w4≥w2≥w7≥w5≥w6,根據(jù)權(quán)重秩次信息,采用極差歸一化方式得到調(diào)整后的評(píng)價(jià)矩陣V=(vij)8×7(見(jiàn)表4)。

    Step2由表4得到矩陣D,即從左到右依次累加再均值化,得到表5。

    表4 調(diào)整后的評(píng)價(jià)矩陣V

    表5 矩陣D

    圖1 八種選料方案的Hasse圖

    Step3對(duì)表5各行兩兩進(jìn)行比較,建立偏序關(guān)系矩陣R=(rij)m×n(略)。

    Step4根據(jù)式(12)得到Hasse矩陣(略),繪制Hasse圖(圖1)。

    4.2 仿真模擬

    為檢驗(yàn)Hasse圖的穩(wěn)健性,應(yīng)用Python 3.6編寫(xiě)仿真程序。隨機(jī)生成10000個(gè)權(quán)重向量,權(quán)重向量乘以方案向量,得到10000行10列的模擬評(píng)價(jià)數(shù)據(jù),對(duì)模擬評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行兩兩列比較,最終模擬結(jié)果如表6。

    表6 權(quán)重隨機(jī)變動(dòng)下的選料方案比較結(jié)果

    表6中的數(shù)據(jù)表示10000次模擬中行方案綜合值大于列方案綜合值的次數(shù)。在Hasse圖中,只要權(quán)重秩次不變,無(wú)論權(quán)重如何變動(dòng),可比方案的比較關(guān)系均不變,不可比方案存在翻轉(zhuǎn)的可能,如A1和A4為不可比方案,在10000次模擬中出現(xiàn)了7897次A1優(yōu)于A4的情況,揭示了有78.97%可能A1優(yōu)于A4,而可比方案是100%完全優(yōu)于。表格中還存在一些雖是不可比方案,在模擬結(jié)果中卻100%優(yōu)于的情況,說(shuō)明方案翻轉(zhuǎn)的可能性較小,但在模擬次數(shù)足夠大時(shí),還是會(huì)存在翻轉(zhuǎn)的可能。

    4.3 五種賦權(quán)方法排序結(jié)果

    根據(jù)權(quán)重秩次順序,得到RR法、ROC法、RS法、RE法和EW法等5種序權(quán)法的具體權(quán)重值(見(jiàn)表7)。應(yīng)用如上5種序權(quán)法得到8種砂輪磨料的綜合排名見(jiàn)表8。

    表7 五種序數(shù)指標(biāo)權(quán)重

    表8 多種權(quán)重的方案排序

    由表8可見(jiàn)5種賦權(quán)方法與文[21]排名(A5≥A3≥A2≥A6≥A4≥A1≥A7≥A8)結(jié)果幾乎一致,且符合Hasse圖分層結(jié)果,其中RR、ROC和RE三種方法與文[21]方案排名完全相同,RS和EW與其略有差異。通過(guò)Hasse圖能夠清晰看到產(chǎn)生差異的原因,在Hasse圖中若兩個(gè)元素不可比,那么不同序權(quán)方法就可能存在排序翻轉(zhuǎn)的情況。若Hasse圖中兩個(gè)方案可比,那么無(wú)論用何種賦權(quán)方法,只要保證權(quán)重順序不變,得到的排序結(jié)果就會(huì)相同,不存在方案翻轉(zhuǎn)的情況。

    4.4 結(jié)果分析

    通過(guò)Hasse圖(圖1)直觀展示了方案間的結(jié)構(gòu)化信息,能夠獲得層集聚類(lèi)、確定性和不確定性等三方面的信息:

    (1) 盡管5種方法得到排名并不完全一致,但是對(duì)應(yīng)的分層是完全一致的。雖然五種序數(shù)權(quán)重對(duì)應(yīng)的方案排序不同,但均對(duì)應(yīng)著相同的層級(jí)結(jié)構(gòu)(表8末列),這揭示了不同的序數(shù)權(quán)重實(shí)質(zhì)上是在共同層級(jí)結(jié)構(gòu)上實(shí)施全排序,可比方案的比較關(guān)系是完全一致的,差異在于不可比方案。

    (2) 方案比較的穩(wěn)健性分析。由Hasse圖可以看出,本例中A3和A5均優(yōu)于其它所有方案,在保持權(quán)重順序不變的條件下,無(wú)論權(quán)重怎樣變動(dòng),最佳方案候選集{A3,A5}不變。不僅對(duì)于給定的5種序數(shù)賦權(quán)方法,即使再增加新的賦權(quán)方法,最佳方案候選集依然為{A3,A5}。因此,結(jié)合Hasse圖能夠迅速“鎖定”最優(yōu)候選方案集。

    (3)方案比較的不確定性分析。盡管5種賦權(quán)方法和文獻(xiàn)[21]一致得到A5優(yōu)于A3,但二者的優(yōu)劣關(guān)系是不穩(wěn)定的,因?yàn)樵贖asse圖中二者為不可比方案。例如,如果第三個(gè)指標(biāo)上原料充足,A3可能為最佳;除此之外,選擇A5更可能是最佳選擇。因此,通過(guò)不確定分析能夠識(shí)別出不考慮第三個(gè)指標(biāo)變化而選擇A5可能帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。

    5 結(jié)論

    對(duì)任何序數(shù)權(quán)重均可以由線性規(guī)劃極值點(diǎn)的加權(quán)線性組合來(lái)表示,這表明研究權(quán)重問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)換為研究極值點(diǎn)問(wèn)題,這為權(quán)重問(wèn)題研究奠定了理論基礎(chǔ)。本文方法解答了文初的三個(gè)疑惑:(1)不同序數(shù)權(quán)重適用條件不同,不存在適用一切的“最優(yōu)”賦權(quán)方法;(2)在不完全信息條件下,由序數(shù)權(quán)重實(shí)施的排序具有不確定性,通過(guò)極值點(diǎn)構(gòu)造偏序關(guān)系,最終由Hasse圖捕獲不確定性。(3)盡管不同序權(quán)法得到方案排序有差異,但都能得到同樣的分層結(jié)構(gòu),意味著在實(shí)踐應(yīng)用中不必太糾結(jié)于方法的選擇,因?yàn)闊o(wú)論選擇哪個(gè)方法,當(dāng)與Hasse圖結(jié)合分析時(shí)都會(huì)得到類(lèi)似的分析結(jié)果。Hasse圖與序權(quán)法相結(jié)合不限于本文給定的范圍,實(shí)際上可以和任意給定的序數(shù)權(quán)重和非序數(shù)權(quán)重相結(jié)合使用,因此可進(jìn)一步研究不同類(lèi)型的權(quán)重在應(yīng)用效果上的差異,降低權(quán)重變動(dòng)帶來(lái)的決策風(fēng)險(xiǎn)。

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