一道普高特長生招生資格考試作圖題的探究

倪建

筆者所在地區(qū)的教育局組織了多次中學生申報普高學科特長生招生資格考試．筆者參與了多次閱卷工作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學難度很大，很好的起到了甄選考生的作用，其中一道作圖引起了筆者的思考，下面將思考的過程整理如下．

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，已知圓O，點P為圓O外一點，求作：圓O的切線PA，其中A為切點．

（1）小華給出了如圖2的作法，這樣做的依據(jù)為____

（2）請你給出另外的兩種作圖方法，寫出作法，保留作圖痕跡．

2 問題解法探究

這道題得分率非常低，很多學生會第一問，因為這種解法是蘇科版教材上的方法，依據(jù)為：直徑所對的圓周角為直角，然后就無從下手了；也有不少同學畫了圖，但明顯還停留在“試試看”，畫出的圖看著很像是對的，但所寫的作法有明顯的問題，

解法1如圖3，連接PO，延長至D，使得DO= PO，交圓O于B，C，以O為圓心，以PO的長度為半徑作半圓，以D為圓心，以BC的長度為半徑畫弧，交半圓于E，連接PE，交圓O于A， PA即為所求，

解法分析這種方法有一點“投機取巧”，因為題干當中已經(jīng)給出了小華的解法，有很大的參考價值，仔細觀察圖3，相當于圖2擴大了一倍，之前用的是以PO為直徑作圓，而這里用2PO為直徑作圓，之前半徑為r，這里以D為圓心，以2r為半徑畫弧，考生能想到這樣解決問題，還是很機智的，用到了位似的知識，

解法2如圖4，連接PO，以P為圓心，以PO為半徑畫弧，以O為圓心，以圓O的直徑畫弧，交第一條弧于B，連接OB，交圓O于A，連接PA，

解法分析閱卷時，看到這種方法，覺得很好，考生是怎么想到的呢？作圖題的解題教學時，總是和學生“先有答案，再有過程”，即先化一個滿足結(jié)論的草圖，然后在分析它所具有的性質(zhì)，要具有這個性質(zhì)，怎樣作圖實現(xiàn)，如圖5，P是圓O的切線，試著連一下PO，OA．因為是切線，所以PA⊥OA，∠PAO= 90°，那怎樣才能滿足∠PAO= 90°呢，聯(lián)想之前學過的知識點：垂線，高線（等腰三角形“三線合一”），直徑所對的圓周角為直角，直角三角形（勾股定理），這幅圖熟悉嗎？母子型（相似、射影定理）…解法1，感覺是考生靈感迸發(fā)，聯(lián)想到了三線合一，腦子里有圖4，有點“天外飛仙”的感覺．這類方法并非本文要探討的，那怎樣解決這個問題呢？解決幾何問題，會用分析法進行幾何推理，作圖題是幾何問題的一部分，顯然也可以借助幾何推理來解決問題，如小華給出的解法，想要∠PAO= 90°，聯(lián)想直徑所對的圓周角是直角，從而解決了問題．

3 反思

尺規(guī)作圖是初中平面幾何中的重要知識，是中考、各類競賽的熱門題型，但很多學生解答此類問題時還停留在“試一試”、“碰運氣”的層面上，想著中學范圍內(nèi)有5種基本作圖，作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作垂線，作垂直平分線，作角平分線，遇到問題就往上面靠，缺少分析，解決問題的效率極低，層次高點的學生，知道運用幾何推理，先畫出滿足題意得草圖，然后分析草圖具有的性質(zhì)，這種方法筆者稱之為“先有答案，再有過程”，更高層次的學生需要掌握本文介紹的方法，融入“計算”的作圖，它比單純的幾何推理更加精確，如本文做的切線，本來是一個純幾何問題，但通過運用一些定理、計算，轉(zhuǎn)化為作一些已知長短的線段或角度，更具思維含量，使得作圖題和其他幾何題一樣完全可控，而不是碰運氣．2021年南京市聯(lián)合體一模第27題，是一道作圖壓軸題，它完全契合了本文中提到的融入“計算”的作圖，

參考文獻

[1]胡小華．尺規(guī)作圖——過圓外一點作圓的切線方法歸納[J]．數(shù)理化解題研究，2019 （35）：31-32