問題導之，思想滲之，明暗織之

郭海萍 林新建

杜賓斯基認為：任何一個數(shù)學教育中的理論或模型都應該致力于對“學生是如何學習數(shù)學的”以及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習的理解”，

本文試圖以《普通高中教科書·數(shù)學選擇性必修第二冊》（人教A版）第五章《一元函數(shù)的導數(shù)及其應用》中“函數(shù)的單調性”的教學為例，來呈現(xiàn)知識之間的縱向聯(lián)系，置知識于系統(tǒng)之中，體會數(shù)學內容的整體關聯(lián)性，促進學生理解數(shù)學知識，感悟數(shù)學思想，進而把握數(shù)學本質，發(fā)展核心素養(yǎng)．

1 課堂教學過程及說明

1.1數(shù)學情境，引發(fā)認知沖突

問題1研究函數(shù)f（x）=x-lnx一1的單調性，你能用已學過的方法判斷嗎？

追問過去我們是怎樣討論函數(shù)在其定義域內的單調性？判斷函數(shù)單調性的常用方法有哪些？

問題2函數(shù)的單調性能夠刻畫函數(shù)的變化趨勢，函數(shù)的瞬時變化率即導數(shù)也可以刻畫函數(shù)的變化趨勢，那么函數(shù)的單調性與導數(shù)之間有何關系呢？能用導數(shù)研究函數(shù)的單調性嗎？

師生活動設計教師提出問題1，并通過追問，引發(fā)學生思考，發(fā)現(xiàn)用所學的方法從“形”和“數(shù)”兩個角度均難以判斷此函數(shù)的單調性，認識到定義法和圖象法的局限性，引發(fā)認知沖突，產(chǎn)生探究新方法的求知欲，此時教師順勢引出問題2，并揭示課題，自然而然，

設計意圖創(chuàng)設合適問題情境，引導學生嘗試運用所學方法解決非基本初等函數(shù)的單調性，引發(fā)認知沖突，產(chǎn)生疑惑，激發(fā)學生主動學習新知識的熱情，啟動思維，讓學生認識到引入導數(shù)法研究函數(shù)單調性的必要性．

1.2數(shù)學探究，感知對應關系

設計意圖為了驗證函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負之間的關系，引導學生從熟悉的基本初等函數(shù)入手，讓學生動手操作，從“形”的角度直觀感知導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，學生經(jīng)歷觀察、猜想、歸納的過程，有益于發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)， 問題5請完成下列表格，你能從中概括出導數(shù)的正負與函數(shù)的單調性之間的關系嗎？

設計意圖由特殊到一般，由具體到抽象，引領學生進一步概括導數(shù)的正負與函數(shù)單調性的關系，學生在觀察、猜想、歸納、提煉中體驗知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程，并嘗試將已有的圖形語言，用文字語言和符號語言精準地表達出來，發(fā)展數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．

1.4數(shù)學內化，理解本質關系

問題6聯(lián)系函數(shù)單調性的定義，并思考在某個區(qū)間上單調的函數(shù)y=f（x）其平均變化率的幾何意義與f（x）的正負關系，你能解釋為什么可以由函數(shù)在某區(qū)間上的導數(shù)的正負來判斷函數(shù)在該區(qū)間上的增減性？

師生活動設計教師引導學生從函數(shù)單調性定義與導數(shù)定義找到函數(shù)單調性與導數(shù)的本質關系，根據(jù)學生回答的情況，教師給予適當啟發(fā)和拓展．

再通過追問，由逼近思想，研究切線的斜率與函數(shù)的單調性的關系．在區(qū)間D內，割線的斜率可以反映曲線的平均變化趨勢，當其中一點無限逼近另一點時，割線就成了該點處的切線，切線的斜率（導數(shù)的幾何意義）反映的是曲線的瞬時變化趨勢，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D的圖象上任意一點處切線的斜率為正（f（x）>0），則在區(qū)間D的圖象上任意兩點割線斜率為正，從圖象變化趨勢上看函數(shù)在該區(qū)間內呈上升趨勢，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上單調遞增．

最后，從“數(shù)”的角度，回到導數(shù)定義，揭示

導數(shù)正是函數(shù)平均變化率的極限，所以我們從對應的數(shù)學定義中找到了導數(shù)的正負與函數(shù)單調性的本質關系，

設計意圖遵循最近發(fā)展區(qū)原理，激發(fā)學生思維，他們既學會從“形”直觀觀察得到結論，又能從“數(shù)”的角度，抓住導數(shù)和函數(shù)單調性的定義之間的聯(lián)系來提煉結論，呈現(xiàn)了知識之間的縱向聯(lián)系，讓學生體會到函數(shù)單調性定義、割線的斜率、導數(shù)三者的密切相關，認識到用導數(shù)法研究函數(shù)單調性具有一般性，從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)結論、論證結論，在此過程中滲透“猜想 歸納論證”的思想方法，讓學生體驗到研究數(shù)學問題時，既要有直觀感受，也要重視推理證明，從中培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣，提升其邏輯推理素養(yǎng)．

師生活動設計教師提出例1，學生思考回答，先根據(jù)導數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調性，從而畫出原函數(shù)的大致圖象，此例具有一定開放性，學生得出的函數(shù)圖象不唯一，只要抓住了問題的本質即可，同時教師將問題進行適當變式，由已知原函數(shù)圖象去確定對應導函數(shù)的大致圖象，加深對導數(shù)正負與原函數(shù)增減性之間的關系的理解，

設計意圖對原函數(shù)圖象與導數(shù)圖象進行對照探討，經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的過程，意圖是讓學生深入理解導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系，感悟數(shù)形結合、化歸與轉化思想，從而發(fā)展學生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，

例2判斷下列函數(shù)的單調性并求其單調區(qū)間，

師生活動設計教師提出例2，引導學生思考解決問題的幾種方法，比較方法的優(yōu)缺點，對于較復雜函數(shù)（如由多個基本初等函數(shù)經(jīng)四則運算后得的新函數(shù)），用導數(shù)法來研究其單調性．教師示范第（2）題解題過程，幫助學生掌握用導數(shù)法研究函數(shù)單調性的規(guī)范步驟．解題后，要求學生根據(jù)函數(shù)單調性作出其大致圖象，建立“數(shù)”到“形”的聯(lián)系，教師再用畫圖軟件畫出函數(shù)圖象，與所求結果進行對照，強調導數(shù)法在研究函數(shù)單調性的一般性，

設計意圖通過新舊方法的對照，加深了對新知的理解，開拓了學生的思維，在研究函數(shù)單調性后，要求學生根據(jù)函數(shù)單調性作出其大致圖象，使學生經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”的思維過程，再次感悟導數(shù)法研究函數(shù)單調性的一般性、有效性和優(yōu)越性，同時，強調運算要準確，步驟要規(guī)范有條理，從中發(fā)展學生數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)．

2幾點思考

（1）問題導之，發(fā)展能力．教師精心創(chuàng)設問題，通過問題引領，激活學生思維，使得在知識產(chǎn)生的必要性中體悟知識的內涵，在自主探究活動中體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，在最近發(fā)展區(qū)中積累活動經(jīng)驗并獲得新知，從中學會發(fā)現(xiàn)問題，并提出問題，學會分析問題，并解決問題．

（2）思想滲之，培育素養(yǎng)．本節(jié)除了關注教學的邏輯性，教師還關注知識的思想性，諸多環(huán)節(jié)滲透著特殊到一般、數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想，教師遵循知識的發(fā)生發(fā)展規(guī)律及學生的認知自然規(guī)律，引導學生思考、體驗、內化、理解，使學生真正理解知識，領悟思想，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

（3）明暗織之，把握本質．本節(jié)從引入導數(shù)法研究函數(shù)單調性的必要性，到導數(shù)法研究函數(shù)單調性的一般性，再到導數(shù)法處理函數(shù)單調性問題的優(yōu)越性，層層遞進，揭示導數(shù)、直線斜率和函數(shù)單調性的本質關系，以此構建了知識的明線．同時，還有特殊到一般、數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想這一“知識暗線”貫穿著數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的全過程．在提出問題，探究問題，解決問題，應用體悟的“活動明線”中，學生經(jīng)歷著從認知沖突到激發(fā)思維，從動手操作到歸納概括，從直觀感知到代數(shù)闡述，從淺層認知到深入理解的思維“活動暗線”，明暗交織，使學生逐步掌握數(shù)學研究的一般方法，把握數(shù)學本質，

參考文獻

[1中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]林新建．我的教學主張：自然數(shù)學[M]．廈門：廈門大學出版社，2020（本文系福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于深度學習的高中數(shù)學函數(shù)主題單元教學實踐研究”（FJJKXB20-724）的階段性成果）