問(wèn)題導(dǎo)之，思想滲之，明暗織之

郭海萍 林新建

杜賓斯基認(rèn)為：任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”以及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)的理解”，

本文試圖以《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》（人教A版）第五章《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)為例，來(lái)呈現(xiàn)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，置知識(shí)于系統(tǒng)之中，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體關(guān)聯(lián)性，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)．

1 課堂教學(xué)過(guò)程及說(shuō)明

1.1數(shù)學(xué)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突

問(wèn)題1研究函數(shù)f（x）=x-lnx一1的單調(diào)性，你能用已學(xué)過(guò)的方法判斷嗎？

追問(wèn)過(guò)去我們是怎樣討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性？判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法有哪些？

問(wèn)題2函數(shù)的單調(diào)性能夠刻畫(huà)函數(shù)的變化趨勢(shì)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)也可以刻畫(huà)函數(shù)的變化趨勢(shì)，那么函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間有何關(guān)系呢？能用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性嗎？

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)教師提出問(wèn)題1，并通過(guò)追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)用所學(xué)的方法從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度均難以判斷此函數(shù)的單調(diào)性，認(rèn)識(shí)到定義法和圖象法的局限性，引發(fā)認(rèn)知沖突，產(chǎn)生探究新方法的求知欲，此時(shí)教師順勢(shì)引出問(wèn)題2，并揭示課題，自然而然，

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)合適問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用所學(xué)方法解決非基本初等函數(shù)的單調(diào)性，引發(fā)認(rèn)知沖突，產(chǎn)生疑惑，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)新知識(shí)的熱情，啟動(dòng)思維，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的必要性．

1.2數(shù)學(xué)探究，感知對(duì)應(yīng)關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖為了驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的基本初等函數(shù)入手，讓學(xué)生動(dòng)手操作，從“形”的角度直觀感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、歸納的過(guò)程，有益于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)， 問(wèn)題5請(qǐng)完成下列表格，你能從中概括出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般，由具體到抽象，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步概括導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，學(xué)生在觀察、猜想、歸納、提煉中體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過(guò)程，并嘗試將已有的圖形語(yǔ)言，用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言精準(zhǔn)地表達(dá)出來(lái)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．

1.4數(shù)學(xué)內(nèi)化，理解本質(zhì)關(guān)系

問(wèn)題6聯(lián)系函數(shù)單調(diào)性的定義，并思考在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)y=f（x）其平均變化率的幾何意義與f（x）的正負(fù)關(guān)系，你能解釋為什么可以由函數(shù)在某區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的增減性？

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)單調(diào)性定義與導(dǎo)數(shù)定義找到函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)關(guān)系，根據(jù)學(xué)生回答的情況，教師給予適當(dāng)啟發(fā)和拓展．

再通過(guò)追問(wèn)，由逼近思想，研究切線的斜率與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．在區(qū)間D內(nèi)，割線的斜率可以反映曲線的平均變化趨勢(shì)，當(dāng)其中一點(diǎn)無(wú)限逼近另一點(diǎn)時(shí)，割線就成了該點(diǎn)處的切線，切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）反映的是曲線的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率為正（f（x）>0），則在區(qū)間D的圖象上任意兩點(diǎn)割線斜率為正，從圖象變化趨勢(shì)上看函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢(shì)，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增．

最后，從“數(shù)”的角度，回到導(dǎo)數(shù)定義，揭示

導(dǎo)數(shù)正是函數(shù)平均變化率的極限，所以我們從對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)定義中找到了導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)關(guān)系，

設(shè)計(jì)意圖遵循最近發(fā)展區(qū)原理，激發(fā)學(xué)生思維，他們既學(xué)會(huì)從“形”直觀觀察得到結(jié)論，又能從“數(shù)”的角度，抓住導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的定義之間的聯(lián)系來(lái)提煉結(jié)論，呈現(xiàn)了知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)單調(diào)性定義、割線的斜率、導(dǎo)數(shù)三者的密切相關(guān)，認(rèn)識(shí)到用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性具有一般性，從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)結(jié)論、論證結(jié)論，在此過(guò)程中滲透“猜想 歸納論證”的思想方法，讓學(xué)生體驗(yàn)到研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，既要有直觀感受，也要重視推理證明，從中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，提升其邏輯推理素養(yǎng)．

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)教師提出例1，學(xué)生思考回答，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性，從而畫(huà)出原函數(shù)的大致圖象，此例具有一定開(kāi)放性，學(xué)生得出的函數(shù)圖象不唯一，只要抓住了問(wèn)題的本質(zhì)即可，同時(shí)教師將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)變式，由已知原函數(shù)圖象去確定對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的大致圖象，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)增減性之間的關(guān)系的理解，

設(shè)計(jì)意圖對(duì)原函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)照探討，經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的過(guò)程，意圖是讓學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，

例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間，

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)教師提出例2，引導(dǎo)學(xué)生思考解決問(wèn)題的幾種方法，比較方法的優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)（如由多個(gè)基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后得的新函數(shù)），用導(dǎo)數(shù)法來(lái)研究其單調(diào)性．教師示范第（2）題解題過(guò)程，幫助學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的規(guī)范步驟．解題后，要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)單調(diào)性作出其大致圖象，建立“數(shù)”到“形”的聯(lián)系，教師再用畫(huà)圖軟件畫(huà)出函數(shù)圖象，與所求結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)單調(diào)性的一般性，

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)新舊方法的對(duì)照，加深了對(duì)新知的理解，開(kāi)拓了學(xué)生的思維，在研究函數(shù)單調(diào)性后，要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)單調(diào)性作出其大致圖象，使學(xué)生經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”的思維過(guò)程，再次感悟?qū)?shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的一般性、有效性和優(yōu)越性，同時(shí)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算要準(zhǔn)確，步驟要規(guī)范有條理，從中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)．

2幾點(diǎn)思考

（1）問(wèn)題導(dǎo)之，發(fā)展能力．教師精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，激活學(xué)生思維，使得在知識(shí)產(chǎn)生的必要性中體悟知識(shí)的內(nèi)涵，在自主探究活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，在最近發(fā)展區(qū)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并獲得新知，從中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并提出問(wèn)題，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，并解決問(wèn)題．

（2）思想滲之，培育素養(yǎng)．本節(jié)除了關(guān)注教學(xué)的邏輯性，教師還關(guān)注知識(shí)的思想性，諸多環(huán)節(jié)滲透著特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，教師遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律及學(xué)生的認(rèn)知自然規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生思考、體驗(yàn)、內(nèi)化、理解，使學(xué)生真正理解知識(shí)，領(lǐng)悟思想，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

（3）明暗織之，把握本質(zhì)．本節(jié)從引入導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的必要性，到導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的一般性，再到導(dǎo)數(shù)法處理函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的優(yōu)越性，層層遞進(jìn)，揭示導(dǎo)數(shù)、直線斜率和函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)關(guān)系，以此構(gòu)建了知識(shí)的明線．同時(shí)，還有特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想這一“知識(shí)暗線”貫穿著數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的全過(guò)程．在提出問(wèn)題，探究問(wèn)題，解決問(wèn)題，應(yīng)用體悟的“活動(dòng)明線”中，學(xué)生經(jīng)歷著從認(rèn)知沖突到激發(fā)思維，從動(dòng)手操作到歸納概括，從直觀感知到代數(shù)闡述，從淺層認(rèn)知到深入理解的思維“活動(dòng)暗線”，明暗交織，使學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，

參考文獻(xiàn)

[1中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]林新建．我的教學(xué)主張：自然數(shù)學(xué)[M]．廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社，2020（本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)函數(shù)主題單元教學(xué)實(shí)踐研究”（FJJKXB20-724）的階段性成果）