概念教學(xué)，讓思維拾級而上

陳靖濤

數(shù)學(xué)概念是抽象的產(chǎn)物，推理的基礎(chǔ)，模型應(yīng)用的前提，如何開展概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教師研究和關(guān)注的重要課題．筆者認為概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循層級發(fā)展，在不同的階段設(shè)計合適的教學(xué)環(huán)節(jié)，實現(xiàn)層層深入，最終提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

1 概念教學(xué)

羅增儒教授指出，“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)血肉細胞，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)肌體的靈魂[1]．一個沒有血肉、沒有靈魂的人，即使穿上華麗的外衣，也是僵尸；同樣，沒有數(shù)學(xué)概念做血肉，沒有數(shù)學(xué)思想做靈魂，即使給解題穿上華麗的外衣，也是僵尸數(shù)學(xué)”[1]．

數(shù)學(xué)概念是抽象的產(chǎn)物、推理的基礎(chǔ)、模型應(yīng)用的前提．掌握概念是一切數(shù)學(xué)活動的開始．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細胞，更是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開概念教學(xué)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心．

2 有層次地認識平移

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）看，平移是“圖形的變化”領(lǐng)域中一塊重要的內(nèi)容．讓圖形在頭腦中動起來，有助于學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)．通過圖形的平移探尋不變的幾何性質(zhì)，是學(xué)生以“運動”視角研究圖形的開篇，因此，平移概念的教學(xué)至關(guān)重要，

《課標(biāo)》在不同學(xué)段，對平移提出了不同的要求，從內(nèi)容上看，平移是在對平行線充分認識的基礎(chǔ)上展開的，是平行線的一個應(yīng)用，這里的應(yīng)用更多是指賦予學(xué)生“平行線”的視角觀察平移的眼光，是在知識儲備已經(jīng)提高了觀察品質(zhì)之后進行的學(xué)習(xí)，與前兩個學(xué)段的學(xué)習(xí)有著本質(zhì)的區(qū)別．

筆者認為，在平移概念的教學(xué)中，對平移的認識有以下五個層級，

層級1在平移現(xiàn)象中，對平移有感觀認知，這時對平移的認識是感性朦朧的、模糊的，是平移概念形成的原始感性素材，

層級2在描圖操作中，體會只有“方向”和“距離”兩個要素的共同參與，才能完成圖形的平移．這時對平移的認識是感性具體的、直觀的，能為進一步探究提供操作素材．

層級3在觀察和思考中，歸納概括平移的本質(zhì)特征，得到“新圖形與原圖形全等”和“對應(yīng)點連線平行且相等”兩條性質(zhì)，認識到點的平移是圖形平移的本質(zhì)，雖然圖形不同，點的選取不同，但點的運動規(guī)律相同．這時對平移的認識是理性具體的，對平移運動的關(guān)注點實現(xiàn)從整體到局部的轉(zhuǎn)換，復(fù)雜圖形的平移轉(zhuǎn)化成了簡單的“點”的平移，對平移的認識從感性走向理性，是思維品質(zhì)質(zhì)的飛躍．

層級4形成平移的概念，在利用“對應(yīng)點”實現(xiàn)平移的作圖或者圖案設(shè)計的過程中，充分感受給定平移方向和距離就確定了平移，給定一對對應(yīng)點也就確定了平移，這時對平移的認識是理性抽象的，是“精致”的概念，不僅可以從萬千變化中識別和區(qū)分開來，而且能自覺指導(dǎo)實踐，

層級5在用坐標(biāo)表示平移的探究中，建立形的性質(zhì)與數(shù)的結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，借助幾何直觀理解問題，獲得用平移的視角認識和研究事物的經(jīng)驗，這時對平移的認識上升到了理性遷移，形成幾何直觀能力，形成探索解決問題的新思路，獲得用數(shù)學(xué)的眼光（直觀想象）看世界的能力．

3 平移概念的教學(xué)策略

概念同化是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的最基本方式[4]．但是，由于學(xué)生此前對平移的認識處于感性朦朧的狀態(tài)，作為“固著點”的已有知識不足，因此，平移概念無法在認知結(jié)構(gòu)中獲得“平衡”．所以需要經(jīng)歷一個由感性朦朧、感性具體、理性具體、理性抽象到理性遷移的形成過程，

筆者認為，應(yīng)當(dāng)遵循平移概念的層級發(fā)展，在不同的階段，設(shè)計合適的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生實現(xiàn)平移概念認識的逐級提升，層層深入，最終提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，

環(huán)節(jié)1觀察與欣賞

展示履帶傳送商品的過程，演示黑板擦沿著黑板邊緣水平或豎直擦黑板的過程．我們是否學(xué)習(xí)過這種移動方式？它叫什么？

欣賞上面美麗的圖案，請你說說它們的共同的特點嗎？你能根據(jù)其中一部分繪制出整個圖案嗎？應(yīng)該怎樣繪制？說說你的看法，

設(shè)計意圖調(diào)動學(xué)生的生活經(jīng)驗，提出研究的課題，同時喚醒學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中對平移感性朦朧的認識，

環(huán)節(jié)2描圖

如圖2，在一張半透明的紙上，嘗試畫出一排形狀和大小完全一樣的小屋子．設(shè)計意圖“一排”對應(yīng)著“直線”，暗含著“方向”；描出第1個，第2個，第3個……第n個的區(qū)別就在于“距離”．在描圖操作中，體會只有“方向”和“距離”兩個要素的共同參與，才能完成圖形的平移，形成對平移感性具體的認識，為進一步探究提供操作素材．

環(huán)節(jié)3描述平移

這些平移都有確定的起始位置和結(jié)束位置，我們選擇其中一個平移過程進行研究，請你描述一下是原圖形如何平移得到新圖形？新圖形與原圖形之間有什么樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖在觀察和思考中，歸納概括出平移的本質(zhì)特征，得出“新圖形與原圖形全等”和“對應(yīng)點連線平行且相等”兩條性質(zhì)．為了更細致地描述，需要說明距離，而學(xué)生已經(jīng)有兩點之間距離的概念，自然會聯(lián)想到利用點來描述距離．為了加深學(xué)生對“對應(yīng)點”的含義的理解，在實際教學(xué)中可以采用以下“有意偏差”的策略，

如圖3，點A平移后與點A重合，故點A和點A是對應(yīng)點，而點A”不是點A的對應(yīng)點，

在該環(huán)節(jié)中，學(xué)生充分認識到點的平移是圖形平移的本質(zhì)．雖然圖形不同，點的選取不同，但點的運動規(guī)律相同，對平移運動的關(guān)注點實現(xiàn)從整體到局部的轉(zhuǎn)換，復(fù)雜圖形的平移轉(zhuǎn)化成了簡單的“點”的平移，對平移的認識從感性具體走向理性具體，是學(xué)生思維品質(zhì)飛升的重要環(huán)節(jié)，

環(huán)節(jié)4平移AABC

如圖4，平移AABC使得點A移動到點A，

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)畫圖與之前畫圖有本質(zhì)的區(qū)別，第一次畫圖是在對平移感性朦朧認識的基礎(chǔ)上進行“描圖”，第二次畫圖是在形成平移概念的認識下，自覺利用“對應(yīng)點”實現(xiàn)平移的作圖，是在理性認識平移的前提下，將復(fù)雜圖形的平移轉(zhuǎn)化成“點”的平移，是理論指導(dǎo)下的實踐．

4 教學(xué)反思

4.1概念教學(xué)是個漫長的過程

顯然，通過上述教學(xué)環(huán)節(jié)的實施，學(xué)生對平移的認識只是達到了層級4，而到達層級5絕不是一蹴而就，思維的提升是需要一個漫長的過程，縱觀人教版教材，我們看到這個過程的艱辛，

第五章相交線與平行線：賦予觀察平移的知識儲備；

第七章平面直角坐標(biāo)系：用坐標(biāo)表示平移，建立數(shù)與形聯(lián)系；

第十三章軸對稱：類比平移的研究思路展開；

第十八章平行四邊形：線段平移得到平行四邊形對邊平行且相等，實現(xiàn)以平移的視角認識基本圖形；

第十九章一次函數(shù)：平移函數(shù)圖象，建立數(shù)式結(jié)構(gòu)與圖象之間的聯(lián)系；

第二十二章二次函數(shù)：以平移的視角研究二次函數(shù)，從頂點式推至一般式得到二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，密切了數(shù)式的結(jié)構(gòu)與圖象性質(zhì)之間的聯(lián)系；

第二十三章旋轉(zhuǎn)：再次類比平移的研究思路展開，總結(jié)研究圖形變換的一般思路，綜合運用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三者設(shè)計圖案，

在各地市的中考試題中，不乏有借助幾何直觀理解問題，利用平移獲得解題思路，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，高中階段以及高等數(shù)學(xué)以變換的觀點來研究函數(shù)圖象的例子隨處可見，生活中通過平移設(shè)計圖案、制作商品零件、工程制圖更是比比皆是，滲透于此，認識如是，才能真正獲得用數(shù)學(xué)的眼光（直觀想象）看世界的能力．

4.2類型相同的概念，教學(xué)方式相近

等距變換下的不變性是歐式幾何的研究內(nèi)容[2]．初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱都是等距變換，因此，平移作為第一個學(xué)生學(xué)習(xí)的圖形變化，承擔(dān)著構(gòu)建幾何變換研究思路的任務(wù)，

中學(xué)階段研究圖形的變換大致包括以下內(nèi)容：

①調(diào)動生活經(jīng)驗，通過實例認識圖形的變換；

②在操作中探索圖形變換的性質(zhì)；

③作出一個圖形變換后的圖形；

④利用圖形的變換進行圖案設(shè)計；

⑤用坐標(biāo)表示圖形的變換．

不論是平移還是軸對稱、旋轉(zhuǎn)、相似變換，研究對應(yīng)點的變化才是圖形變化的實質(zhì)，這是從整體到部分，復(fù)雜到簡單，感性到理性的必然選擇；所以平移的概念要重視對“對應(yīng)點”教學(xué)，達成圖形變換以“對應(yīng)點”的研究為抓手的共識，

總之，概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循層級發(fā)展，在不同的階段，通過設(shè)計合適的教學(xué)環(huán)節(jié)，實現(xiàn)層層深入，才能提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，

參考文獻

[1]王淼生．概念：數(shù)學(xué)教學(xué)永恒主題[M]．廈門：廈門大學(xué)出版社，2018

[2]曹才翰，章建躍．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)[Ml．北京：北京師范大學(xué)出版社，2021