管道包扎問題中正弦函數(shù)模型的實(shí)驗(yàn)探究與教學(xué)設(shè)計(jì)

何宇 譚代倫

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)這一主題列入必修課程之中，并且提出數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容[1]．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生往往被動(dòng)接受數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)問題通常是給定條件信息，求解目標(biāo)問題．而數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是給定一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，教師通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生開拓思維，把數(shù)學(xué)和生活緊密聯(lián)系在一起，從實(shí)際生活中尋找數(shù)學(xué)問題，從而通過建模的方法解決問題，養(yǎng)成遇到問題從數(shù)學(xué)模型角度思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．

1 教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)是人教A版必修1數(shù)學(xué)建模板塊——建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的內(nèi)容，教師以實(shí)際生活中常見的管道包扎問題為背景，通過實(shí)驗(yàn)探究的方法引導(dǎo)學(xué)生從大量的信息中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并分析尋找所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，

教學(xué)重點(diǎn)正確完成實(shí)驗(yàn)探究，合理分析實(shí)驗(yàn)結(jié)論，

教學(xué)難點(diǎn) （1）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，領(lǐng)悟建立數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程；（2）實(shí)物圖形合理轉(zhuǎn)化為抽象幾何圖形，構(gòu)造輔助線獲得數(shù)學(xué)模型．

2 學(xué)情分析

2.1知識(shí)結(jié)構(gòu)

（1）學(xué)生在初中階段已經(jīng)具備運(yùn)用正弦函數(shù)解直角三角形；（2）在“圖形與幾何”這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，了解圓柱體的基本性質(zhì)，具備了制作實(shí)物模型和想象展開圖的能力；（3）學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理論有一定的了解．

2.2能力水平

（1）具備“通過觀察、分析、操作、抽象概括等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的能力；（2）具備了一定的抽象概括能力和合情推理能力；（3）使用文字和數(shù)學(xué)符號(hào)的能力，有一定程度的發(fā)展．

3 教學(xué)目標(biāo)

目標(biāo)1：（1）將學(xué)生學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生的生活空間，強(qiáng)調(diào)幾何知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程；（2）初步熟悉“實(shí)驗(yàn)探究”的方法，能正確完成實(shí)驗(yàn)操作過程、合理分析和探究實(shí)驗(yàn)結(jié)論；（3）能合理轉(zhuǎn)化實(shí)物圖形為抽象幾何圖形，恰當(dāng)構(gòu)造輔助線，正確建立問題的數(shù)學(xué)模型．

目標(biāo)2：（1）培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究的能力；（2）培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)猜想”能力和“幾何降維”思想；（3）在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力[2]．

目標(biāo)3：（1）培養(yǎng)學(xué)生探究嚴(yán)謹(jǐn)、注重細(xì)節(jié)的求學(xué)態(tài)度；（2）學(xué)生親自體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)、探索、分析、研究得出結(jié)論，并能正確地對(duì)問題作數(shù)值結(jié)果求解和趨勢(shì)（規(guī)律）分析，以驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的合理性，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索新知識(shí)的精神．

4 教學(xué)方法與教具

4.1教學(xué)方法實(shí)驗(yàn)探究法，案例教學(xué)法，啟發(fā)與討論法．

4.2課堂教具4個(gè)A4紙制作的圓形紙筒，半徑為3大1?。?條寬度不同的長(zhǎng)方形紙帶，寬度為1寬3窄；雙面膠，剪刀，直尺，筆．

5 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

5.1問題提出

問題情境在生產(chǎn)生活中，隨處可見各種類型的輸送管道，很多時(shí)候，管道表面都會(huì)包扎著一圈一圈的帶狀物，如圖1所示．經(jīng)過包扎的管道，通常具有防曬、防火、防腐蝕等作用，提高了管道的使用壽命，保證了管道的輸送效果，但是，也增加了工程成本．因此，對(duì)于管道的包扎，如何保證質(zhì)量，如何節(jié)約成本，是值得研究的．

設(shè)計(jì)意圖通過觀察圖片，引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容．建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理、數(shù)學(xué)猜想的能力，啟發(fā)學(xué)生思維，引發(fā)問題．

5.2分析問題

問題1：在問題描述中，涉及到的研究對(duì)象有哪些？

預(yù)設(shè)：管道、布帶，

問題2：從數(shù)學(xué)建模的角度來看，我們需要了解這些研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征和參量，那么，它們有哪些數(shù)學(xué)特征呢？比如：形狀？幾何參數(shù)？

預(yù)設(shè)：管道一圓柱形：半徑，直徑，周長(zhǎng)，表面積，體積．布帶一長(zhǎng)方形：寬度，長(zhǎng)度．

問題3：?jiǎn)栴}的目標(biāo)是什么？要達(dá)成這樣的目標(biāo)有什么要求？

預(yù)設(shè)：?jiǎn)栴}的目標(biāo)是“節(jié)約材料”，問題的要求是“包扎緊密”，

問題4：這里，什么是“緊”？什么是“密”？

預(yù)設(shè)：“緊”是指完全貼合在管道的表面上，“密”是指相鄰布帶之間，既無空隙，也不重疊，

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生清楚問題中的主要對(duì)象和它們所具有的數(shù)學(xué)特征，也對(duì)問題的目標(biāo)和要求有了更準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)和理解．從數(shù)學(xué)上來看，這也是一個(gè)幾何問題，因此我們還可以做一下幾何上的分析，這個(gè)問題所描述的幾何對(duì)象、幾何關(guān)系都不復(fù)雜，在生活中也能很方便簡(jiǎn)易地制作這樣的材料，因此這就啟發(fā)學(xué)生通過“實(shí)驗(yàn)探究”的方法來獲得本問題的機(jī)理，從而建立它的數(shù)學(xué)模型．

5.3 實(shí)驗(yàn)探究

問題5：當(dāng)纏繞到第二圈時(shí)，怎樣才能使得包扎“緊密”呢？

（學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，老師檢查學(xué)生實(shí)驗(yàn)情況，給予必要的指導(dǎo)，帶領(lǐng)大家進(jìn)行觀察和討論，獲得所提出問題的答案，并點(diǎn)評(píng)）

預(yù)設(shè)：必須將紙帶調(diào)整到一個(gè)恰當(dāng)?shù)膬A斜角，

問題6：為什么實(shí)驗(yàn)要做4種情形呢？綜合4種情形，關(guān)于紙帶的傾斜角，可以得到什么結(jié)論呢？請(qǐng)同學(xué)觀察小組內(nèi)的4個(gè)作品，并思考給出自己的結(jié)論；再觀察老師完成的作品，并回答問題：

預(yù)設(shè)：管道不同、紙帶不同，傾斜角就不同，

猜想（師生）： （半徑，寬度，傾斜角）存在某種函數(shù)關(guān)系：a∽（γ，ω）．

設(shè)計(jì)意圖在時(shí)間和空間較為充足時(shí)，按教師提出的實(shí)驗(yàn)要求，學(xué)生親自動(dòng)手操作．體驗(yàn)利用紙帶纏繞紙筒的整個(gè)過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)管道、紙帶、傾斜角之間體現(xiàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系，并提出猜想．

5.4嘗試建模

（1）引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的數(shù)學(xué)建模方法，進(jìn)行建模．

問題7當(dāng)紙帶順著圓筒表面包扎時(shí)，主要在圓筒的表面上行進(jìn)，即只利用了圓筒的表面部分．對(duì)圓筒的表面，我們能聯(lián)想到什么樣的幾何知識(shí)呢？

預(yù)設(shè)：把圓柱沿中心線剪開，可展開為一個(gè)長(zhǎng)方形平面．

問題8沒錯(cuò)，可以看到，如果將圓柱剪開并展平，那么對(duì)圓柱進(jìn)行包扎，可以等價(jià)于在一個(gè)長(zhǎng)方形平面上進(jìn)行平鋪．

鑒于此，接下來我們可以繼續(xù)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，選取剛才完成的一個(gè)實(shí)驗(yàn)作品，將它沿圓筒中心線剪開，并展平，

設(shè)計(jì)意圖通過用課件動(dòng)態(tài)展示，學(xué)生能直觀地認(rèn)知紙帶纏繞紙筒從空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，將空間問題平面化，削弱了學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象上的思維難度，使教學(xué)過程更流暢．

（2）繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)操作要點(diǎn)：

根據(jù)前面提出的數(shù)學(xué)猜想，現(xiàn)在需要找到三個(gè)幾何量之間的關(guān)系，首先，把三個(gè)幾何量在圖形中標(biāo)出來，如下圖2．

其中，由圓柱展開所得的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)比半徑更容易表示，因此將原來的數(shù)學(xué)猜想中的半徑替換為周長(zhǎng)c．

根據(jù)輔助線的作法，知AB是底邊的垂線，AC是紙帶的寬，則ABC是直角三角形，因此三個(gè)幾何量（圓筒周長(zhǎng)c、紙帶寬度w、紙帶傾斜角α）之的關(guān)系式，就是一個(gè)正弦函數(shù)關(guān)系，即sind：w/c（α∈[0°，90°]），這就是本問題的數(shù)學(xué)模型，它是一個(gè)初等模型，只用到了中學(xué)階段所學(xué)知識(shí)來刻畫和表示變量之間的關(guān)系，

上述模型中，有三個(gè)未知量，任給兩個(gè)，可求出第三個(gè)量，

設(shè)計(jì)意圖將三維圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形的降維思想，使圖形更容易構(gòu)造和觀察．在學(xué)生已具備的知識(shí)能力和認(rèn)知水平下，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，建立關(guān)于半徑、寬度、傾斜角之間的數(shù)學(xué)模型．

5.5求解問題

在數(shù)學(xué)建模中，對(duì)問題一般可以作兩類求解，一是求出數(shù)值結(jié)果，另一種是作趨勢(shì)或規(guī)律分析．

5.5.1求問題的數(shù)值結(jié)果

例1根據(jù)下表數(shù)據(jù)，依照上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行云計(jì)算： 解根據(jù)問題的數(shù)學(xué)模型，可求得表中1，2，3三種情形所對(duì)應(yīng)的紙帶傾斜角分別為30°，19.5°，23.6°．

問題8請(qǐng)同學(xué)們分析表中數(shù)據(jù)，并與之前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的驗(yàn)證．請(qǐng)說一說你的分析結(jié)論．

預(yù)設(shè)：根據(jù)情形1，2可知，當(dāng)圓筒周長(zhǎng)相同時(shí)，紙帶的寬度越小，則包扎時(shí)傾斜角越?。鶕?jù)情形2，3可知，當(dāng)紙帶寬度相同時(shí)，圓筒的周長(zhǎng)越小，則包扎時(shí)的傾斜角就越大．

5.5.2對(duì)問題作趨勢(shì)（規(guī)律）分析

本問題的數(shù)學(xué)模型共有三個(gè)量，固定其中一量，則可以分析另外兩個(gè)量的變化關(guān)系，下面選取兩種有意思的情形進(jìn)行分析，

例2根據(jù)本問題的數(shù)學(xué)模型，對(duì)以下兩種情形進(jìn)行分析：

（l）當(dāng)ω→0時(shí)，紙帶的傾斜角a將如何變化？

（2）當(dāng)ω→c時(shí)，紙帶的傾斜角a將如何變化？

解答（1）可解得a→0°．即用寬度很小的布帶去包扎某種管道時(shí)，布帶與垂直線的傾斜角將近似為0度．（2）可解得a→90°，即用寬度很大的布帶去包扎某種管道時(shí)，布帶與垂直線的傾斜角將近似為90度．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生利用所建立的數(shù)學(xué)模型求解問題，抓住問題的實(shí)質(zhì)，有助于帶動(dòng)學(xué)生的思維活躍度，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．

5.6拓展應(yīng)用（課后作業(yè)）

本問題可以從多方面、多角度進(jìn)行拓展，下面給出兩種基本的拓展情形：

（1）如果將紙帶的“傾斜角”定義為與水平線的夾角，則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是什么？

（2）如果包扎管道時(shí)，允許布帶有一定的重疊，那么數(shù)學(xué)模型有什么變化？

設(shè)計(jì)意圖在同一背景下，從不同角度思考問題，體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)的開放性和伸展性．在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)下，進(jìn)一步獲取新的知識(shí)和方法，有助于學(xué)生的思維發(fā)散，提高數(shù)學(xué)邏輯推理能力和創(chuàng)造能力．

5.7課堂小結(jié)

本節(jié)課圍繞管道包扎問題，通過實(shí)驗(yàn)探究的方法獲得了問題的數(shù)學(xué)模型，實(shí)驗(yàn)可以讓我們更接近問題的真相和原理，也可以讓我們有更多的感受和體會(huì)，進(jìn)而提出相關(guān)的猜想或分析，

此外，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，還可以有以下一些收獲：

（1）要善于觀察、發(fā)現(xiàn)和提出問題．

（2）實(shí)驗(yàn)探究是解決問題的一種重要手段．

（3）要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)．

①數(shù)學(xué)猜想的思想；

②降維轉(zhuǎn)化思想：三維圖形降為二維圖形；

③構(gòu)造直角三角形：聚集相關(guān)的幾何量．

（4）要注意細(xì)節(jié)，不斷發(fā)現(xiàn)新的線索，使研究不斷深入和擴(kuò)展．

6 教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)符合教學(xué)設(shè)計(jì)過程，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)學(xué)生分析問題、思考問題、動(dòng)手探究、靈活運(yùn)用知識(shí)、解答問題等能力都得到比較全面的鍛煉，課堂整體有較強(qiáng)的趣味性，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高、積極性強(qiáng)，

但是，教學(xué)中還是存在一些問題，主要的問題應(yīng)該在于，實(shí)驗(yàn)探究的各個(gè)環(huán)節(jié)還需要不斷優(yōu)化，既要控制教學(xué)時(shí)間長(zhǎng)度，也要保證實(shí)驗(yàn)的效果和質(zhì)量，使學(xué)生能真正從實(shí)驗(yàn)中得到收獲和體會(huì)．此外，實(shí)驗(yàn)器材的準(zhǔn)備應(yīng)該再精細(xì)些，盡量減少實(shí)驗(yàn)誤差帶來的影響．

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]李磊．“不等式的性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2019（4）：21-24（本文系四川省教育廳重點(diǎn)教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：JG2018-688）和西華師范大學(xué)重點(diǎn)教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編？-：JGXMZD1825）的研究成果）