為一道數(shù)學(xué)壓軸試題的講評“調(diào)焦”

錢大林

壓軸試題，通常是指在試卷最后面出現(xiàn)的且對綜合能力有較高要求的問題．當(dāng)前針對壓軸題的講評，缺少“對焦”學(xué)生的“真學(xué)情”與“真水平”，沒有提供好合理、有效的教學(xué)活動支撐，導(dǎo)致無法有效幫助學(xué)生從直觀思維達(dá)到“何由以知其所以然”理性思維的跨越，本文從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)學(xué)情出發(fā)，為一道數(shù)學(xué)壓軸試題的講評而主動“調(diào)焦”，經(jīng)歷“嘗試再做，聚焦難點(diǎn)；曬出問題，找準(zhǔn)癥結(jié)；喚醒認(rèn)知，打通節(jié)點(diǎn)；拓展訓(xùn)練，深度學(xué)習(xí)”等四個環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生診斷思維上的痛點(diǎn)，打通理解轉(zhuǎn)化的關(guān)節(jié)點(diǎn)，提升學(xué)生解決壓軸問題的能力，并談?wù)勆虾糜嘘P(guān)數(shù)學(xué)壓軸題講評課的教學(xué)啟示．

1 問題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)f（x）=| x-2a|，g（x） =|x- （a+l）|

分析（ I）略，第（Ⅱ）問是一道絕對值背景下取大函數(shù)的最值問題，此題是筆者所在學(xué)校實(shí)施新教材以來組織的期末檢測試題之一，其背景常規(guī)，關(guān)注函數(shù)圖象、性質(zhì)的靈活運(yùn)用和如何合理分類討論求出相應(yīng)的最小值；該題滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，檢測顯示該題的難度系數(shù)為0.26．本題是檢測過程中的生成性問題，為課堂展開探究活動、實(shí)現(xiàn)問題難點(diǎn)的突圍提供了前提．

2 教學(xué)過程

2.1嘗試再做，聚焦難點(diǎn)

探究任務(wù)1以下解題要點(diǎn)是學(xué)生再做壓軸題后，從幾位有代表性的解法中整理而來（以下簡稱“解題要點(diǎn)”）（見表1），大家通過觀察、比較，能否發(fā)現(xiàn)該解題方法的分類依據(jù)是什么？

學(xué)生1：上述表述很有條理，但少了函數(shù)圖象，看不懂討論背后的原因．

教師：是的，有個“導(dǎo)航圖”那該多好！我們自己能否造圖？

學(xué)生2：上述解法是基于a∈[0，6]，根據(jù)2a，a+l與區(qū)間x∈[2，6]的相對位置關(guān)系討論，但該解法的“小”討論部分：1

教學(xué)設(shè)想“對焦”思維上的兩個難點(diǎn)：第一，隨著參數(shù)a的改變，如何正確畫出每一類取大函數(shù)的圖象，并正確把握兩個函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系；第二，結(jié)合定義域，如何合理分類，求出化筒后取大函數(shù)的最小值，設(shè)置第一份探究任務(wù)旨在聚焦上述難點(diǎn)和暴露學(xué)生內(nèi)隱的答題誤區(qū)．

經(jīng)歷短暫的辨圖后，不少學(xué)生提供了f（x）和g（x）圖象更多的位置關(guān)系，也算預(yù)料之中，分析原因有兩方面：一方面是沒有重視a在[0，6]上的“影響力”；另一方面是忽視了在a∈[0，6]前提下動點(diǎn)（2a，0）與（a+1，1）相對位置關(guān)系．

為了幫助學(xué)生探究錯因，筆者先讓學(xué)生解決如下問題：

教學(xué)設(shè)想“調(diào)焦”到第二份探究任務(wù)是順學(xué)而為，先讓學(xué)生借助圖象發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，高一階段是培養(yǎng)學(xué)生自覺借助函數(shù)圖象解題的重要時間窗口，幫助學(xué)生正確理解并畫出f（x）=| x-2a|和g（x）=|x- （a+1） |+l的圖象，貼近學(xué)生的認(rèn)知邏輯和認(rèn)知心理，也為上述解答的難點(diǎn)突破奠定理解上的基礎(chǔ)，

教師：很好！分類清晰又有條理！根據(jù)圖7，圖8，圖9情形，你能概括出h（x）有幾種類型圖象？

學(xué)生6：根據(jù)取大函數(shù)的“效果”而言，圖8，圖9本質(zhì)是同一類，h（x）圖象本質(zhì)只有如圖10，圖11兩類情形，

2.4拓展訓(xùn)練，深度學(xué)習(xí)

探究任務(wù)4下列的拓展問題1是通過新教材例題和習(xí)題資源整合而來；拓展問題2是期末考題的延伸，請大家限時訓(xùn)練，

教學(xué)設(shè)想經(jīng)歷壓軸問題解決的全過程，學(xué)生逐步了解了處理這類含參數(shù)的取大函數(shù)最值問題的一般思想方法，但對畫圖細(xì)節(jié)上的處理、分類討論依據(jù)的確定等思維訓(xùn)練還不夠充分、深刻，要通過拓展訓(xùn)練，進(jìn)一步使一般數(shù)學(xué)思想方法得以內(nèi)化，主動“調(diào)焦”第4份探究任務(wù)，借助拓展1強(qiáng)化取大函數(shù)圖象、取小函數(shù)圖象的畫法并培養(yǎng)遷移能力；借助拓展2，幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、分類討論等一般思想解決問題的觀念，促進(jìn)高階思維．

3 教學(xué)啟示

3.1厘清“生成性”問題，聚焦學(xué)生疑點(diǎn)，打通問題節(jié)點(diǎn)

教師要特別注意積累生成性問題資源，從而更好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與度，提升學(xué)習(xí)活動的效果[1]．在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師需要站在學(xué)生的立場思考所授內(nèi)容，只有將知識充分下沉到學(xué)生能理解的層面，才能把學(xué)生從“淺層學(xué)習(xí)”的泥潭里拉出來[2]．本節(jié)課的主題生成于期末檢測試題中取大函數(shù)問題．學(xué)生缺少解決該類問題相關(guān)的活動經(jīng)驗，面對問題第一反應(yīng)就是“怕”、“不自信”．為此，本節(jié)課立足于現(xiàn)實(shí)學(xué)情，關(guān)注學(xué)生的疑點(diǎn)，主動“調(diào)焦”到如何畫圖，如何分類，如何求最值等學(xué)生的需求面上，設(shè)計了四個層次性探究任務(wù)，幫助學(xué)生打通問題節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)從“知其所以然”到“何由以知其所以然”的跨越，提升了學(xué)生解決壓軸問題的思維能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3.2細(xì)化“微探究”任務(wù)，拉長活動進(jìn)程，減緩思維坡度

《普通高中數(shù)學(xué)課程（2017年）版》提出，在教學(xué)活動中，應(yīng)合理設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，并通過相應(yīng)的教學(xué)實(shí)施，在學(xué)生掌握知識技能的同時，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升和水平的達(dá)成[3]．實(shí)施教學(xué)的方式有許多，其中“微探究”是一種在發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題等環(huán)節(jié)中，進(jìn)行有指導(dǎo)的探究發(fā)現(xiàn)活動[4]．本節(jié)課為了給學(xué)生減緩思維坡度，把教學(xué)合理“調(diào)焦”到了學(xué)生的關(guān)切點(diǎn)上：即如何畫圖，如何尋找分類討論依據(jù)，如何求最小值，分別以四個“微探究”任務(wù)的形式，拉長了思維活動的進(jìn)程，條理化解決了學(xué)生思維上困惑點(diǎn)，同時也兼顧了對“解題要點(diǎn)”的辨析，滿足了學(xué)生的“真”需求，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．

3.3依托“拓展題”訓(xùn)練，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教師更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感悟函數(shù)圖象，作為深刻理解函數(shù)的重要工具和有效手段[2]．針對函數(shù)壓軸試題的“畫圖難、識圖難、用圖更難”的學(xué)生軟肋，本節(jié)課通過拓展訓(xùn)練幫助學(xué)生達(dá)到：正確、快速畫出取大函數(shù)和取小函數(shù)的圖象并能用分段函數(shù)正確表示；根據(jù)函數(shù)f（x）=|ax2 +x+b-a|，借助“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”一般思想，正確求出函數(shù)f（x）在x∈[-l，1]上的最大值．通過問題拓展，把原壓軸試題關(guān)聯(lián)的知識和思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗加以遷移、延伸，引領(lǐng)學(xué)生思維逐步進(jìn)階，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

無論壓軸題難易，都不要急著把正確答案和盤托出，得慢慢來，主動“調(diào)焦”，看清學(xué)生解決壓軸試題“堵點(diǎn)”的源頭，并站在學(xué)生的立場上，把教學(xué)過程“調(diào)焦”到一個個便于學(xué)生理解、愿意參與的層次性探究任務(wù)上，幫助學(xué)生慢慢去體悟、理解．這樣有利于激活學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，能讓“教”與“學(xué)”渾然一體，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升和相關(guān)水平的達(dá)成，

參考文獻(xiàn)

[1]史寧中，王尚志．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：高等教育出版社，2020 （11）： 187

[2]李捷生．函數(shù)理解看圖象亂云飛渡仍從容：基于深度學(xué)習(xí)理論下的函數(shù)應(yīng)用教學(xué)[J]．高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（4）：47

[3]中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[4]蘇洪雨．基于問題設(shè)計的數(shù)學(xué)微探究評價體系構(gòu)建[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（1）：23-28