大概念下小學數(shù)學的知識理解與教學改進*
——以度量視角下的“數(shù)與運算”為例

□張平 潘禹辰 徐文彬

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“學生應通過數(shù)學學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需的核心素養(yǎng)?！痹撜n程理念不僅明確了學科育人的方向，還涉及新的知識特性以及由此產(chǎn)生的新的教學方式。核心素養(yǎng)的培育離不開知識教學，但是以應試為目的的知識教學給予學生的只是靜態(tài)的內(nèi)容堆積、分裂的線性結(jié)構(gòu)、表層的解題工具。為了培養(yǎng)具有數(shù)學素養(yǎng)的公民，必須重構(gòu)課堂，以使數(shù)學真正被理解，而對知識特性的理解與教學方式改變是課堂重構(gòu)及后續(xù)變革的關鍵。［1］

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求“進一步精選學科內(nèi)容，重視以大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領，使課程內(nèi)容情境化，促進學科核心素養(yǎng)的落實”。其中，源于布魯納的學習結(jié)構(gòu)［2］的“大概念（big idea）”為義務教育數(shù)學課程的教與學提供了可能的方向。大概念是被抽象、概括出來的具有聯(lián)系、整合作用并能被廣泛遷移的核心知識。［3］正因其強調(diào)概念與概念之間的關系，重視各種概念與理解的連貫性和整體性，所以才能促進有意義學習以及學習遷移的發(fā)生。在小學數(shù)學教學中，大概念將引導學生建構(gòu)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)、理解數(shù)學知識本質(zhì)、提高知識遷移和應用能力，從而有效地促進學生核心素養(yǎng)的形成。

基于此，本研究試以“度量”這一大概念來統(tǒng)領“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”，以形成“數(shù)與運算”的知識結(jié)構(gòu)為目的，具體探討相應的知識的理解與教學的改進。

一、度量及其特性

度量是人們認識數(shù)學，繼而認識世界的基本工具。作為小學數(shù)學的大概念之一，度量是一種基本的數(shù)學思想，是用數(shù)學把握客觀世界的基本方式，也是貫穿于整個小學數(shù)學學習的高位概念，其方法具有可遷移性。度量問題極大地推動著數(shù)學的發(fā)展，而人類感知數(shù)量多少和距離遠近的先天本能為其提供了思維基礎。［4］度量是對事物的某些屬性的量化過程，指使用所選的度量單位去度量對象，然后累積度量單位的總數(shù)并得到結(jié)果。其間，度量對象、度量標準（計量單位）、度量方法和度量的準確度缺一不可。

度量的本質(zhì)是比較，該過程蘊含了數(shù)學抽象、數(shù)學推理及數(shù)學建模等思想方法。度量單位的確立就是思維抽象的結(jié)果，至于推理，如自然數(shù)“滿十進一”的計數(shù)方法，十個一為一個十，十個十為一個百，以此類推；又如通過度量并結(jié)合公式來得到圖形面積。度量教學除了要滲透上述數(shù)學思想和方法之外，還需強調(diào)測量特性，以便學生更好地把握度量的科學性、合理性和目的性等原則。

首先，度量單位的統(tǒng)一性是國家與地區(qū)交流和發(fā)展的趨勢使然（如貨幣系統(tǒng)），并且統(tǒng)一的過程也將朝著更加精細的方向改進。其次，度量方法的一致性體現(xiàn)了度量對象與度量單位的比較和數(shù)數(shù)過程。比如度量面積就是基于平方米、平方分米等單位一個一個累積的；分數(shù)可以看作是6個“”的累加，其中的“”則是所謂的“度量單位”。最后，度量結(jié)果具有守恒性。盡管一個度量單位系統(tǒng)內(nèi)可能包含多個度量單位（如度量長度的米、分米、厘米等），但是針對同一個對象，度量結(jié)果守恒。比如小王身高用米做單位是1.78米，而用厘米度量是178厘米，其實結(jié)果“不變”，因為在長度（或高度，其實就是一維度量）單位系統(tǒng)中，178厘米就是1.78米（反之亦然）。

二、度量視角下“數(shù)與運算”的理解

明確了度量這一大概念在小學數(shù)學中的重要性，下面將在該視角下來理解數(shù)與運算，以便為教學改進提供啟示。

（一）度量視角下數(shù)的理解

從度量的角度來看，數(shù)是大小的刻畫，然而量的多少抽象成數(shù)就是數(shù)的大小。下面將從度量的視角來探討小學數(shù)學中的整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，以及數(shù)的比較和等值的理解。

首先，數(shù)源于數(shù)，就是基于度量單位從0開始一個一個累加起來（自然數(shù)的基本單位是1）?！笆M制”的發(fā)明催生了各級計數(shù)單位，用0～9這10個數(shù)字符號和相應的數(shù)位就可以表示無數(shù)個整數(shù)。比如10000這個數(shù)，按我國的計數(shù)方法可以用“萬”來度量，即表示1個萬，西方通常把這個數(shù)用千來度量，表示10個千，這也體現(xiàn)了度量的守恒性。

其次，小數(shù)是在實際測量和整數(shù)運算（如除法、開方）的需要中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。隨著社會生產(chǎn)力的發(fā)展，對測量精度要求提高，反映在數(shù)學上是對數(shù)量的精確程度的要求提升。當需要用數(shù)來比較精確結(jié)果時，就出現(xiàn)了兩種表示方法：一是用分數(shù)來表示不足整數(shù)的剩余部分；二是發(fā)展度量衡系統(tǒng)，采用更小的度量單位來表示有關的量。這個更小的度量單位就是把自然數(shù)的基本度量單位1不斷地10等分。比如0.53，就是由5個0.1（1的十分之一）和3個0.01（0.1的十分之一）所組成。分數(shù)與小數(shù)一樣起源于度量和均分。用一個標準度量單位（自然數(shù)的基本單位1）去度量一個對象，如果正好量完，結(jié)果便可用整數(shù)表示；如果不能量完，就把原來的標準等分后用更小的單位去度量，如果能量完，結(jié)果就是分數(shù)；如果無論把原來的標準等分多少份，都不能正好量完，結(jié)果就是無理數(shù)。比如就可以看作把“1”等分成5份，用去量了3次正好量完。但如果用圓的直徑（作為單位）去量圓的周長，則無論怎么等分，都不能正好量完，所以，結(jié)果π便是無理數(shù)。

在度量視角下整體認知整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)計數(shù)單位是它們共同的核心概念，其基本計數(shù)單位都是“1”。比如30表示30個1，0.32表示同時，整數(shù)、小數(shù)及分數(shù)還有各自相應的計數(shù)單位系統(tǒng)（如表1），比如30用10去度量，即3個10，0.32用0.01去度量，即32個

表1 自然數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的計數(shù)單位

整數(shù)和小數(shù)的計數(shù)單位都是十進制，分數(shù)的計數(shù)單位則不局限于十進制，是基本度量單位1的任意等分之1份。在認數(shù)的過程中對不同的度量單位（進制）的認識，可以加深對數(shù)的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)感。

最后，數(shù)的大小比較是看各自包含了多少個相同計數(shù)單位的個數(shù)。若計數(shù)單位相同，可以直接進行比較，比如若計數(shù)單位不同，則需要變成相同的計數(shù)單位再進行比較。比如作為它們（共同的）計數(shù)單位，再進行比較。數(shù)的等值是指兩個數(shù)計數(shù)單位不同，但大小相等。在自然數(shù)、小數(shù)和分數(shù)中都有兩個數(shù)等值的情況。比如5萬=50000，表示5個“萬”等于50000個“一”。類似的，一個數(shù)可以用不同的計數(shù)單位去度量，它的計數(shù)單位擴大多少倍，相應的個數(shù)就要縮小多少倍，反之同理。因此一個數(shù)有無限個等值數(shù)，這也是度量結(jié)果的守恒性（如圖1）。由此來解釋分數(shù)、小數(shù)的基本性質(zhì)及商不變的性質(zhì)就非常簡單了。比如1.5=1.50，表示15個0.1等于150個0.01，小數(shù)末尾每添上（減少）一個零，表示相應的計數(shù)單位縮小（擴大）10倍。分數(shù)也是如此。分數(shù)中分母表示計數(shù)單位（等分的份數(shù)），分子表示計數(shù)單位的個數(shù)，分母擴大表示計數(shù)單位變小，因此分子要擴大相應的倍數(shù)，反之亦然（如圖2）。

圖1 數(shù)的等值

圖2 分數(shù)的基本性質(zhì)

（二）度量視角下運算的理解

運算在小學數(shù)學中占據(jù)極其重要的地位，是學生數(shù)學學習的基礎。對于一些學生來說存在著困難，計算教學中算理的紛繁復雜可能是造成學生對算理不理解的重要原因之一。

度量視角下如何理解四則運算？概括地說，就是著眼于運算算理的一致性，促進整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)運算算理的有效遷移，加深學生對運算意義及其本質(zhì)的理解。

首先，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減法的算理有自然的一致性，即相同計數(shù)單位的相加和相減。比如125+38=100+（20+30）+（5+8）。如果是異分母分數(shù)相加減，則要轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)再加減。比如，因計數(shù)單位不同，不能直接相加，需先轉(zhuǎn)化為，便可以得出結(jié)論。

其次，是對乘法運算的理解。歐幾里得曾指出，整數(shù)是一個長度，整數(shù)的乘積是一個矩形。其實，乘法可以從多個角度去理解。比如乘法是“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”，像每小時行駛30千米，5小時行駛多少千米，表示5個30是多少，本質(zhì)上還是加法。度量視角下的理解，就是把一個乘數(shù)看作一條邊，是一維線段，兩個一維的量，在相互作用下，就轉(zhuǎn)化為二維空間。從哲學上說，就是從量變到質(zhì)變的過程。乘法計算類似于面積的度量，面積是用面積單位去度量面的大小，乘法是單位積去度量乘的結(jié)果（如表2）。從乘法的意義來說，如果只關注計算結(jié)果而不考慮結(jié)果的單位，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的乘法運算算理就會被人為割裂成三種不同的運算：整數(shù)乘法回歸加法的意義來理解；小數(shù)乘法的算理是借助積與因數(shù)的變化規(guī)律；分數(shù)乘法是分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。從度量的視角來看，三種運算都是單位積度量的結(jié)果。如整數(shù)乘法就是用1×1（單位積）度量，小數(shù)就是用小數(shù)單位相乘（單位積）度量，分數(shù)乘法就是分數(shù)單位相乘（單位積）度量。

表2 整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的乘法算理的一致性

最后，在現(xiàn)行小學數(shù)學教材中整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的除法各自為政，其中整數(shù)除法是利用等分和包含的意義，小數(shù)除法則轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法計算，分數(shù)除法則轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法來計算，三種除法的算理沒有一致性，不僅造成教學困難，也不易于學生理解除法的本質(zhì)。而度量視角下的除法運算算理，則可統(tǒng)一為“包含”的意義（如表3），其實質(zhì)是將兩個量變成相同計數(shù)單位的計量，然后用一個量為標準（除數(shù)）去度量另一個量。如此，不僅使整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)除法的算理完全一致，還把除法的意義、比的意義及分數(shù)的相關意義統(tǒng)一起來，打通了三者之間的聯(lián)系。此外，分數(shù)除法用包含的算理進行運算，通過推理，最終也能得到除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)這一結(jié)論：

表3 整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的除法算理的一致性

三、度量視角下“數(shù)與運算”的教學改進

基于上述分析，度量這一大概念具有很強的概括性和包容性，能為學生提供一個整合了各種知識的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和認知框架，而其對學生學習的促進也需要教學的幫助。

（一）重視度量教學，充分發(fā)揮度量的育人價值

重視度量教學，首先要讓學生把握度量單位的本質(zhì)。度量源于比較，關鍵是表征事物某些屬性的順序，標準的確定是得到統(tǒng)一表達的基礎。其次要讓學生經(jīng)歷度量的過程。比如在度量長度的教學中，要讓學生充分利用各種工具對物體長度進行度量，要讓其先產(chǎn)生對統(tǒng)一標準的需求，再進一步判斷最合適的度量標準，從而逐步建立度量單位系統(tǒng)。最后，要讓學生感悟度量的思想方法。比如開展從直觀到抽象的長度單位學習，通過建模來度量某些不可直接比較的量等，由此讓學生意識到用數(shù)學量化世界的價值。

（二）基于度量的認數(shù)教學改進

度量單位是整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)意義一致性的橋梁。當人們舍去事物的具體屬性，將物體個數(shù)抽象為“1”這個基本單位就有了自然數(shù)。再將“1”這個基本單位10等分或者任意等分做單位，就產(chǎn)生了小數(shù)和分數(shù)。計數(shù)單位在數(shù)的認識中很重要。比如認識自然數(shù)的關鍵是十進制，此外還有二進制、六十進制等，因此在認識整數(shù)時，可以先讓學生嘗試不同的計數(shù)標準，如認識10以內(nèi)的數(shù)時，讓學生嘗試把小棒2根一捆、3根一捆……體會計數(shù)標準的多樣性，為以后10根一捆做好鋪墊。小數(shù)的認識既要聯(lián)系分數(shù)的意義，又要注重與整數(shù)的關聯(lián)，十進制的計數(shù)單位將整數(shù)與小數(shù)聯(lián)系在一起，從某種意義上說，小數(shù)是整數(shù)的延續(xù)。至于分數(shù)，可以讓學生從度量意義上了解分數(shù)是怎么產(chǎn)生的，通過分數(shù)單位深刻理解真分數(shù)、假分數(shù)的意義，理解分數(shù)與除法、分數(shù)與比的聯(lián)系，并通過度量的守恒性深入理解分數(shù)的基本性質(zhì)及等值分數(shù)的意義。

（三）基于度量的運算教學改進

現(xiàn)行小學數(shù)學教材在計算教學的四則運算部分，會增加各種算理理解難度和記憶負擔，會阻礙學習遷移的發(fā)生。然而，基于度量，可以高位統(tǒng)攝四則運算算理，使它們具有完全的一致性。從某種意義上說，計算也具有度量的意義：加減法的實質(zhì)是相同計數(shù)單位個數(shù)的累加或遞減；乘法運算類似于面積測量，用單位積去度量計算結(jié)果；除法運算就是把除數(shù)作為1個度量單位去度量被除數(shù)，其意義相當于比。因此，從整數(shù)四則運算開始就要在運算中滲透度量的思想，特別要重視計數(shù)單位的概念。與此同時，整數(shù)、小數(shù)及分數(shù)的運算教學要整體設計，分步實施，環(huán)環(huán)相扣，一脈相承。

總之，基于大概念的數(shù)學教學強調(diào)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，以知識間的緊密聯(lián)系促進學生的有意義學習，并且關注認知的整體性和理解的深刻性，在知識的深層凝練中直指學科本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學思想和方法，是所謂“數(shù)學核心素養(yǎng)”的真諦所在。