基于學(xué)習(xí)路徑分析的“角的度量”單元整體教學(xué)*
——以認知階段建構(gòu)度量教學(xué)

□邵蓓瑜 章勤瓊 麻永侃

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出：“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性?！保?］這說明對角的度量，首先需要讓學(xué)生直觀感知角有大小，知道角具備可測量屬性，其次才能進行角的比較，并在描述角的大小過程中產(chǎn)生統(tǒng)一單位的需求。但在實際學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往還不知道“角的大小”，就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)運用量角器量角、畫角的技能。在“角的度量”單元中，設(shè)計怎樣的學(xué)習(xí)任務(wù)才能幫助學(xué)生理解角有大小，在度量的過程中理解度量的本質(zhì)呢？因此，本文從度量教學(xué)的認知順序出發(fā)，根據(jù)學(xué)習(xí)路徑，對這一單元做了整體教學(xué)的思考。

一、確定學(xué)習(xí)目標

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材關(guān)于“角的度量”單元的教學(xué)目標如下：（1）認識角的靜態(tài)概念，即從一點引發(fā)的兩條射線所組成的圖形；（2）角的度量，通過間接比較來認識角的度量單位和用量角器量角的度數(shù)；（3）角的分類，認識角的動態(tài)概念，進一步認識直角、銳角，知道平角和周角，并了解這幾種角的大小關(guān)系；（4）畫角，會畫特定度數(shù)的角。

北師大版教材關(guān)于“角的度量”單元的教學(xué)目標如下：（1）動態(tài)再認識角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的操作活動認識平角和周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系，發(fā)展推理能力；（2）探索角的度量單位的產(chǎn)生過程，認識角的度量單位；（3）會用量角器等工具量角和畫角。

對比兩個版本的教學(xué)目標，可以看到該單元中角的度量部分都包含3個方面：（1）角的內(nèi)涵，只是人教版從靜態(tài)概念（從一點引發(fā)的兩條射線所組成的圖形）中理解，北師大版從動態(tài)角（旋轉(zhuǎn)活動角）中理解；（2）在間接比較中認識角的度量單位；（3）會用量角工具量角和畫角。

（二）單元核心目標

劉加霞教授指出：“生活中有6種常用的感官量：長度、質(zhì)量、容積、角度、面積、體積?！睂W(xué)生對于它們的學(xué)習(xí)以及理解，通常會經(jīng)歷以下5個階段：階段1，量的初步認識；階段2，量的間接比較；階段3，認識國際通用單位并能夠用其描述大?。浑A段4，國際通用單位體系的認識與換算；階段5，利用公式求量的大小。［2］根據(jù)度量教學(xué)的一致性可知，角的度量包括以下3個階段：角的認識；比較角的大??；認識角的單位1°并能夠用單位1°描述角的大小。

由此可知，“角的度量”這一單元的核心目標為：（1）角的內(nèi)涵，指的是學(xué)生能夠直觀知道角有大小，直接和間接比較角的大小。（2）在描述角的大小中產(chǎn)生度量單位。因此，“角的度量”單元的核心目標分為兩個方面：角的大小比較中理解角的內(nèi)涵和描述角的大小中產(chǎn)生度量單位。［3］

（三）核心目標具體化

1.角的大小比較中理解角的內(nèi)涵

角的度量首先要讓學(xué)生知道角有大小，然而角的大小非常抽象。理解角的內(nèi)涵有三個層次：（1）直觀感知角有大小，比如活動角開口變大，就是角變大了。（2）直接比較角的大小，比如借助移動重合（讓頂點對頂點，邊對邊，看另一邊）比較角的大小。（3）間接比較，選擇一個合適的小角作為工具來度量。

2.描述角的大小中產(chǎn)生度量單位

要具體描述一個角的大小或兩個角相差多少，都需要尋找一個合適的小角作為工具來度量，看目標角中包含了多少個小角，通過“數(shù)+單位”來描述角的大小。因此，描述角的大小認知有兩個階段：（1）用非標準角描述；（2）用標準1°描述。

二、確定學(xué)習(xí)起點

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，借鑒范希爾幾何水平理論，以角的概念、直接比較、間接比較來評估學(xué)生對角的內(nèi)涵的理解水平（如表1），對四年級1個班42名學(xué)生進行前測。

表1 “角的度量”單元核心目標的表現(xiàn)性評價框架

（一）角的概念理解情況

在測試題1的訪談中發(fā)現(xiàn)，有79%的學(xué)生屬于視覺水平。他們用圖形的整體輪廓“角是尖的、斜的，用銳角、直角、鈍角的樣子”作為依據(jù)判斷角。有12%的學(xué)生介于視覺水平和分析水平之間，此類學(xué)生雖然能用角的構(gòu)成要素——一個頂點和兩條邊來判斷①～③號圖形，但還是會受到視覺影響而無法判斷④號圖形。僅9%的學(xué)生達到分析水平，能用角的構(gòu)成要素——一個頂點兩條邊來進行判斷。因此，要達到用角的概念來判斷角的目標，首先要讓學(xué)生理解角的內(nèi)涵。

（二）角的大小理解情況

角的內(nèi)涵測試題2中，有32.6%的學(xué)生處于視覺水平，能剝離畫的邊的長短和朝向等無關(guān)因素的學(xué)生占全班的67.4%（如表2）。通過訪談發(fā)現(xiàn)，這67.4%的學(xué)生中，有15.2%的學(xué)生是用量角器進行測量的，有8.7%的學(xué)生是通過眼睛看出來的，這些學(xué)生通過視覺來直接比較出結(jié)果。有26.1%的學(xué)生用三角尺中的最小角作為單位來間接比較出結(jié)果，有17.4%的學(xué)生能直接根據(jù)題目中的小角描同一個角，這些學(xué)生能真正突破畫的邊的長短和方向帶來的干擾。由此可知，全班只有43.5%的學(xué)生具有間接比較的經(jīng)驗，56.5%的學(xué)生需要補充角的大小比較的經(jīng)驗。

表2 學(xué)生角的大小理解情況

通過對學(xué)生角的內(nèi)涵理解水平的前測，從“角的概念”測查中發(fā)現(xiàn)約79%的學(xué)生不會用構(gòu)成要素分析角，從“角的大小”測查中發(fā)現(xiàn)約57%的學(xué)生缺乏間接比較的經(jīng)驗。因此，本單元教學(xué)需要重視對角的內(nèi)涵的學(xué)習(xí)，增加比較角的大小的練習(xí)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，對“角的度量”單元的學(xué)習(xí)路徑做了相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。

首先，理解線段、射線與直線等角的構(gòu)成要素的合理性。借助畫圖體會概念構(gòu)成要素“端點、無限長”表達的合理性。重點是對無限長與端點邏輯關(guān)系的理解。

其次，增加理解角的內(nèi)涵的內(nèi)容。原因有以下三點：（1）根據(jù)學(xué)情測查，約57%的學(xué)生缺乏間接比較經(jīng)驗。僅靠人教版教材例2“從一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫作角”的靜態(tài)含義，學(xué)生并沒有積累例3角的度量中所需要的間接比較經(jīng)驗。（2）學(xué)生需要通過“點對點、邊對邊、看另一邊”的直接比較方法感知等價角含義，理解角的內(nèi)涵，消除畫的邊的長短帶來的迷惑。（3）學(xué)習(xí)例2的靜態(tài)角概念，也無法幫助學(xué)生理解例3中“一個圓平均分成360份，其中的1份是1°”的規(guī)定是合理的。因此，《角》一課要達成以下三點目標：（1）通過旋轉(zhuǎn)活動角，讓學(xué)生直觀感知角的大小。（2）通過對角的直接比較，建立角的大小比較方法和使用等價角的概念，體會角的構(gòu)成要素是射線的合理性。（3）通過間接比較角的大小，增加活動經(jīng)驗和概念理解。

再次，經(jīng)歷角的度量單位的形成過程。（1）在無法直接比較時，需要選擇合適的小角作為一種工具來度量角的大小，并用“數(shù)+小角”的形式描述角的大小。讓學(xué)生經(jīng)歷完整的用非標準單位（小角）描述角的大小的過程，滲透度量意識才是有效的。（2）對小角量化結(jié)果10°的理解，從10°角的累加或細分中描述不同角的大小。建立角的度量單位1°。（3）用1°的角量角的大小，體會度量的本質(zhì)。

最后，通過量角器量角和畫角。

四、單元整體教學(xué)思考及核心課時任務(wù)設(shè)計

綜上所述，增加了“角的再認識”和“認識角的度量單位”兩個內(nèi)容，更符合度量認知的順序和學(xué)生的認知規(guī)律。單元教學(xué)具體安排如表3。

表3 “角的度量”單元教學(xué)安排

從單元整體的視角出發(fā)，關(guān)于角的度量部分有兩節(jié)核心課：“角的再認識”和“認識角的度量單位”?，F(xiàn)對這兩個內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標和學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計如下（見表4）。

表4 “角的度量”單元優(yōu)化后核心課時學(xué)習(xí)目標和學(xué)習(xí)任務(wù)